Sur cette figure, on a dessin´e autour de chaque point du r´eseau les boules euclidiennes de dia-m`etre λ1. Ces boules sont donc disjointes, et repr´esentent l’empilement de sph`eres associ´e au r´eseau. Les cellules hexagonales repr´esentent le diagramme de Vorono¨ı du r´eseau : chacune des cellules hexagonale est l’ensemble des points de l’espace qui sont plus proches du point du r´eseau au centre de la cellule que n’importe quel autre point. Ces cellules hexagonales sont en translation l’une par rapport `a l’autre par un vecteur du r´eseau : par d´efinition, la cellule de Vorono¨ı centr´ee sur l’origine est (aux bords pr`es) un domaine fondamental du r´eseau, donc son volume est exactement vol(L), c’est `a dire le volume du r´eseau. La densit´e de l’empilement de sph`eres est naturellement d´efinie comme le rapport de volume couvert par les boules sur le volume total, c’est `a dire le rapport de volume entre la boule de diam`etreλ1 et le volume du r´eseau. L’invariant de Hermite reliantλ1
et la racinen-i`eme du volume est en quelque sorte la racinen-i`eme de cette densit´e. Le th´eor`eme de Minkowski traduit le fait que la densit´e est inf´erieure `a 1, c’est `a dire que la boule est plus petite que la cellule.
Fig. 2.3 – Illustration du th´eor`eme de Minkowski
D´emonstration: En effet, on peut choisirf1dans la boule ferm´ee de rayonλ1(L), Supposons qu’on ait r´eussi par r´ecurrence `a construire une famille (f1, ...,fi−1) atteignant lesi−1 premiers minima, alors en prenant une famille libree1, ...,ei dans la boule de rayon λi, au moins l’un des ej n’est pas dans Vect(f1, ...,fi−1) : la famille (f1, ...,fi−1,ej) est libre incluse dans la boule de rayon λi. Par minimalit´e de tous lesλk, k6i,||ej||=λi, la famille libre ainsi compl´et´ee atteint maintenant
lesipremiers minima.
Malheureusement, `a partir de la dimension 5, les familles libres atteignant les minima du r´eseau peuvent n’engendrer qu’un sous-r´eseau, ce qui repr´esente une perte d’information. Pour cette raison, cette notion de famille de Minkowski est peu utilis´ee en pratique.
Comme illustr´e dans la figure 2.3 page 28, le volume et les minima d’un r´eseau permettent de d´efinir la densit´e du r´eseau, en identifiant le r´eseau `a un empilement de boules euclidiennes disjointes de diam`etreλ1. La densit´e de cet empilement est le rapport de volume entre une boule euclidienne de diam`etre λ1 (qui vaut pr´ecis´ement (λ1(L)/2)n·Γ(n+12 )/πn/2 o`u Γ est la fonction d’Euler), et le volume vol(L) du r´eseau. En passant `a la racinen-i`eme, l’analogue de la densit´e de l’empilement est l’invariant de Hermite
D´efinition 2 SoitLun r´eseau de dimensionn, l’invariant de Hermite du r´eseau est par d´efinition : γ(L) =
λ1(L) vol(L)1/n
2
2.4- Objectifs de la r´eduction de r´eseau 29
Tab.2.1 – Valeurs num´eriques de la constante de Hermite
n 1 2 3 4 5 6 7 8 24
γn 1 p
4/3 √3
2 √
2 81/5 (64/3)1/6 641/7 2 4
≈ 1 1.1547 1.2599 1.4142 1.5157 1.6654 1.8114 2 4
Puisque la densit´e d’un empilement est comprise entre 0 et 1 (voir figure 2.3 page 28), on d´eduit en passant `a la racine n-i`eme (et au carr´e), que l’invariant de Hermite γ(L) est major´e par une constante 2√π/Γ(n+12 )1/n2
, qui s’interpr`ete par ailleurs comme le carr´e du diam`etredn de la boule euclidienne de volume 1. D’o`u le th´eor`eme de Minkowski.
Th´eor`eme 7 (Minkowski faible) Pour tout r´eseau Lde dimension n, γ(L)6d2n
Ce diam`etre est asymptotiquement ´equivalent `ap
2n/πe, ce qui fournit un majorant asymptotique lin´eaire de l’invariant de Hermite. On peut donc d´efinir la constante de Hermite γn comme le supr´emum desγ(L) lorsqueLd´ecrit l’ensemble des r´eseaux de dimensionn. Naturellement,γn est encore major´ee pard2n.
D´efinition 3 (Constante de Hermite) la constante de Hermiteγnde rangnest par d´efinition : γn = sup
Lde dimn
γ(L)
Parmi les propri´et´es remarquables de la constante de Hermite, on sait que le sup de la d´efinition est en fait un maximum, et que ce maximum est atteint par au moins un r´eseau dont une matrice de Gram est enti`ere : doncγnn est toujours rationnel. En revanche, les valeurs num´eriques deγnne sont connues que pour 16n68 etn= 24, et sont rappel´es dans letableau 2.1 page 29.
Pour les autres dimensions, le meilleur encadrement asymptotique de cette constante est d’apr`es [69] et [18] :
n
2πe +log(πn)
2πe +o(1)6γn 61.744n
2πe (1 +o(1))
Remarquons qu’en lieu et place de la boule euclidienne de diam`etreλ1, on aurait pu empiler des ellipso¨ıdes disjointes de diam`etresλ1(L), λ2(L). . . , λn(L) centr´ees sur les points du r´eseau. Dans ce cas, on peut transformer l’empilement d’ellipso¨ıdes en un empilement de sph`eres au moyen d’une homoth´etie. Le r´eseau image satisfait la borne de Minkowski. Ainsi, non seulement le premier minimum, mais mˆeme la moyenne g´eom´etrique de tous les minima est major´ee parγn :
Th´eor`eme 8 (Minkowski fort) Pour tout r´eseau Lde dimension n,
k
Y
i=1
λi(L)
!1k,
vol(L)1/n6√γn
On a donc montr´e le th´eor`eme de Minkowski, qui permet de borner les minima successifs de tout r´eseauLde dimensionn(et au passage que les minima des r´eseaux les plus denses sont tous ´egaux).
En revenant au probl`eme de r´eduction de r´eseau, le membre droit de l’in´egalit´e fournit un moyen simple de v´erifier si une base donn´ee peut ˆetre am´elior´ee, ou si elle est d´ej`a tr`es r´eduite.
Cependant, on ne peut pas d´efinir une base courte comme “une famille libre qui atteint les minima successifs”, car `a partir de la dimension 5, certains r´eseaux contiennent des familles libres non g´en´eratrices pour lesquelles les vecteurs sont tous plus courts que les minima successifs. Par exemple le r´eseau de Korkine Zolotarev engendr´e par les lignes de la matrice suivante :
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 0
1 1 1 1 1
poss`ede cinq vecteurs lin´eairement ind´ependants de norme 2 :
2 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
mais cette famille de plus courts vecteurs, bien qu’elle soit orthogonale, n’engendre pas le r´eseau.
Cet exemple montre `a quel point il est difficile de trouver un crit`ere meilleur que tous les autres d’une bonne base.
D´efinition 4 (R´eduction au sens de Minkowski) Une base(b1, ...,bn)est r´eduite au sens de Minkowski si pour touti,||bi||= min{||fi|| o`u (b1, ...,bi−1,fi, ...,fd)est une base du r´eseau.
De mani`ere ´equivalente, elle est r´eduite au sens de Minkowski si et seulement si elle v´erifie pour tout i6d, et pour tout (x1, ..., xi, ..., xd) avec (xi, ..., xd) premiers entre eux||x1b1+...+xnbn||>||bi||. Malheureusement, on ne sait plus prouver de bonnes bornes sur la taille maximale d’une base de Minkowski. Plus exactement, le meilleur rapport que l’on puisse prouver entre le i-`eme vecteur etλi est exponentiel eni.