L’outil numérique

III.1.1 La discrétisation spatiale et la méthode de résolution

Le code de calcul Star-CCM+ utilise la méthode des volumes finis pour discrétiser le domaine de simulation. Ce domaine de calcul est ainsi divisé en une multitude de petits volumes appelés volumes de contrôles (ou encore cellules). Les équations de conservation aux dérivées partielles sont dans un premier temps réécrites sous une forme conservative. Cette méthode utilise la version discrétisée de la forme intégrale des équations de conservation pour chacun des volumes de contrôle. La détermination des flux aux frontières des volumes, passe par l’application du théorème de Green-Ostrogradski (théorème de flux-divergence). Elle permet de transformer les intégrales de volumes des termes de divergences en intégrales de surfaces. Les flux numériques sont ensuite évalués par des approximations en différences finies. Cette méthode est dite localement conservative car les flux sur les frontières communes de chaque cellule sont équilibrés. Enfin le système d’équations est transformé en système d’équations algébriques linéaires, dont le nombre total d’inconnues dans chaque équation est égal au nombre de cellules composant le domaine. Dans Star-CCM+, l’algorithme « Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations » (SIMPLE) est utilisé pour le couplage vitesse/pression.

III.1.2 Les méthodes RANS/URANS et les modèles de fermeture

La méthode RANS utilise le principe de décomposition proposé par Reynolds. Les grandeurs instantanées de l’écoulement sont ainsi décomposées en une partie moyenne et une partie fluctuante. Lorsque l’écoulement est statistiquement stationnaire, elle donne un champ résolu qui correspond à une moyenne temporelle (hypothèse d’ergodicité). Cette méthode modélise toutes les échelles de la turbulence.

Elle est basée sur la décomposition des variables instantanées (𝑓∗) de l’écoulement en une partie moyenne (𝐹) et une partie fluctuante (𝑓) (eq.III-1 et III-2).

Soit pour la vitesse :

𝑈_𝑖^∗ = 𝑈_𝑖+ 𝑢_{𝑖 (eq.III-1)}

et pour la pression :

𝑃∗ = 𝑃 + 𝑝 _(eq.III-2)

avec 𝑈_𝑖 et 𝑃 les moyennes d’ensemble de la vitesse et de la pression instantanées.

Il en résulte les équations de Navier-Stokes moyennées, pour un écoulement incompressible (eq.III-3 et III-4) :

𝜕𝑈_𝑖

85 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑡 ^{+ 𝑈𝑗} 𝜕𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 ^{= −} 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥_𝑖 ^{+ 𝜈} 𝜕2𝑈_𝑖 𝜕𝑥_𝑗𝜕𝑥_𝑗⁻ 𝜕𝑢̅̅̅̅̅_𝑖𝑢_𝑗 𝜕𝑥_𝑗 ^(eq.III-4)

Le passage à la moyenne des équations de Navier-Stokes entraine une perte d’informations qui se traduit par l’ajout de ce que l’on appelle le tenseur de Reynolds qui correspond aux corrélations doubles des fluctuations de vitesse en un point (𝜕𝑢̅̅̅̅̅). La présence de ce tenseur _𝑖𝑢_𝑗 augmente le nombre d’inconnues à 10 pour seulement 4 équations, le système d’équations est donc ouvert. L’utilisation des modèles de turbulences est ainsi nécessaire pour fermer le système d’équations.

La fermeture au premier ordre consiste tout d’abord à résoudre les moments d’ordre 1 des équations (eq.III-3 et III-4) (U, V, W, P) puis de les utiliser pour modéliser les moments d’ordre 2 grâce à une loi de comportement (EVM⁴). Une analogie peut être faite entre la relation de Newton et les contraintes dues à l’agitation turbulente pour un modèle de turbulence du premier ordre, dans ce sens qu’il relie le tenseur de Reynolds (équivalent à une contrainte) au tenseur de déformation du champ moyen. La relation de Boussinesq établit une proportionnalité entre les contraintes turbulentes et les vitesses de déformations du champ moyen. Cette relation part notamment du postulat que le tenseur des contraintes de Reynolds et le tenseur de déformation du champ moyen sont alignés (eq.III-5) (Chassaing, 2000) :

−𝑢̅̅̅̅̅ = −_𝑖𝑢_𝑗 ² 3^{𝑘𝛿𝑖𝑗+ 𝜈𝑡(} 𝜕𝑈̅_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 ⁺ 𝜕𝑈̅_𝑗 𝜕𝑥_𝑖^{) (eq.III-5)}

où 𝜈_𝑡 est le coefficient de proportionnalité à déterminer, appelé viscosité turbulente, 𝑘 l’énergie cinétique turbulente et 𝛿_𝑖𝑗 le tenseur identité (symbole de Kronecker).

L’analyse des dimensions de 𝜈_𝑡 ([L]²[T]^-1) montre que 𝜈_𝑡~𝑢. 𝑙_𝑚. L’objectif des modèles à viscosité turbulente est donc d’arriver à déterminer une échelle de vitesse (𝑢) et de longueur caractéristique (𝑙_𝑚) permettant d’estimer 𝜈_𝑡.

Certains modèles du premier ordre ont recours à l’utilisation de deux équations de transport afin de déterminer la valeur de cette viscosité de turbulence. Le plus répandu dans le milieu industriel est le modèle 𝑘 − 𝜀 standard proposé initialement par Jones et Launder (1972), qui utilise donc deux fonctions caractéristiques de la turbulence : l’énergie cinétique turbulente 𝑘 et le taux de dissipation 𝜀. L’échelle de vitesse est déterminée par l’équation de transport de 𝑘, quant à celle de longueur caractéristique elle est fournie par l’équation de transport de 𝜀. Il existe d’autres modèles à deux équations de transports, dans lesquels, en général, seule la manière de déterminer la longueur caractéristique varie (𝑘 − 𝜔, 𝑘 − 𝑙, 𝑘 − 𝜑…).

Les modèles basés sur la loi de comportement linéaire recensent un certain nombre de défauts connus, tels que la réponse immédiate de la turbulence à une modification du champ moyen, la mauvaise prise en considération de l’anisotropie de la turbulence, l’insensibilité à la courbure des lignes de courants.... Pour tenter d’améliorer les prédictions et prendre en compte l’anisotropie, des lois de comportement non linéaires ont été développées (cubique, quadratique...).

La fermeture au second ordre résout elle aussi les moments d’ordre 1 des équations (eq.III-3 et 4). En revanche, contrairement aux modèles du premier ordre, elle résout les 6 équations de transport des tensions de Reynolds (modèle RSM⁵) ainsi qu’une équation de transport d’une grandeur caractéristique de la turbulence permettant d’estimer une échelle de longueur. Elle ne se base donc plus sur l’hypothèse de Boussinesq. Elle a par ailleurs l’avantage de prendre en compte l’anisotropie et de reproduire un effet mémoire de la turbulence.

4

Eddy Viscosity Model

86

La modélisation URANS est identique à la modélisation RANS, à ceci près qu’elle prend en compte l’instationnarité de l’écoulement par l’ajout du terme (_𝜕𝑡^𝜕). Un schéma de discrétisation temporel implicite basé sur celui proposé initialement par Jameson (1991) est utilisé. Dans le principe, ce schéma est constitué de deux boucles imbriquées : une boucle en temps physique qui permet de décrire l’évolution instationnaire et une boucle en temps dual qui cherche à atteindre un état quasi-stationnaire.

De nombreuses études montrent que la solution URANS moyennée dans le temps est plus proche des résultats expérimentaux que la solution RANS (Laccarino et al., 2003 ; Dejoan et al., 2005). Ceci s’explique par le fait que la méthode URANS résout de manière explicite la partie du spectre contenant les plus grandes échelles et modélise les fluctuations représentatives de l’agitation turbulente. Elle agit alors comme un filtre spatial ou temporel (Fadai-Ghotbi, 2007). La fréquence de coupure de ce filtre est définie par l’échelle intégrale (de longueur ou de temps) du modèle de turbulence. Ainsi, elle ne dépend pas de la taille des mailles. Cette méthode est adaptée lorsque le temps de vie des structures cohérentes aux très grandes échelles est long par rapport à l’échelle de la turbulence de fond (Fadai-Ghotbi, 2007). Dans le cas d’un calcul URANS, l’énergie cinétique totale est donc la somme de l’énergie cinétique modélisée 𝑘_𝑚 et de l’énergie cinétique résolue 𝑘_𝑟 (eq.III-6) :

𝑘 = 𝑘_𝑟+ 𝑘_{𝑚 (eq.III-6)}

III.1.3 La méthode LES

Contrairement à la méthode RANS qui modélise toutes les échelles de la turbulence, la méthode LES (Large Eddy Simulation) consiste à résoudre les grandes structures de l’écoulement qui sont fortement dépendantes de la géométrie et ne modélise que les petites qui sont supposées plus universelles. Dans le principe, un filtre spatial dont le nombre d’onde de coupure 𝜅_𝑐 est donné par la taille des mailles du domaine est appliqué sur chacune des variables de l’écoulement. Le nombre 𝜅_𝑐 définit la taille des échelles qui vont être résolues et celles qui vont être modélisées.

Figure III-1. Spectre d’énergie en nombre d’onde en turbulence pleinement développée. Frontière entre les

échelles résolues et les échelles modélisées en LES.

Dans un écoulement turbulent, l’énergie est contenue dans les grandes structures de l’écoulement. Cette énergie est transférée à travers un processus appelé « cascade énergétique » aux petites structures qui se chargent de la dissiper entièrement. La zone de transfert énergétique au cours de laquelle les grandes structures se brisent en structures de plus en plus petites sans produire ni dissiper d’énergie, est appelée zone inertielle. En LES, le nombre d’onde de coupure

échelles résolues échelles

modélisées

87 𝜅_𝑐 doit se situer dans cette zone inertielle (Figure III-1). Plus 𝜅_𝑐 sera grand, plus la proportion des échelles résolues par rapport aux échelles modélisées prendra de l’importance et plus la méthode LES se rapprochera d’une simulation numérique directe (DNS).

Pour séparer les échelles qui sont résolues de celles qui sont modélisées, un opérateur de moyenne spatiale filtrée est introduit (eq.III-7) :

𝑓̃(𝑥) = ∫ 𝐺_∆(𝑥, 𝑥′)𝑓∗(𝑥′)𝑑𝑥′ _(eq.III-7)

où 𝑓̃ représente une grandeur instantanée filtrée (celle qui est résolue) et non filtrée 𝑓∗, 𝐺_∆(𝑥, 𝑥′) correspond au filtrage spatial au point 𝑥 et ∆ est la taille du filtre.

Les grandeurs de sous-mailles 𝑓′ sont modélisées et définies par (eq.III-8) :

𝑓′ = 𝑓∗− 𝑓̃ _(eq.III-8)

La taille caractéristique ∆ du filtre peut être déterminée par (eq.III-9) (Germano et al., 1991) :

∆= (∆_𝑥∆_𝑦∆_𝑧)^1/3 _(eq.III-9)

avec ∆_𝑥, ∆_𝑦, ∆_𝑧 les pas de discrétisation spatiaux suivant x,y et z.

L’opérateur de moyenne spatiale filtrée est ensuite appliqué aux équations de Navier-Stokes, sur lesquelles il se comporte comme un filtre passe-bas (eq.III-10 et 1) :

𝜕𝑢̃_𝑗 𝜕𝑥̃_𝑗 ^{= 0 (eq.III-10)} 𝜕𝑢̃_𝑖 𝜕𝑡̃ ^{+ 𝑢̃𝑗} 𝜕𝑢̃_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 ^{= −} 1 𝜌 𝜕𝑝̃ 𝜕𝑥_𝑖 ⁺ 𝜕 𝜕𝑥_𝑗^(𝜈 𝜕𝑢̃_𝑖 𝜕𝑥_𝑗^{) −} 𝜕𝜏̃_𝑖𝑗 𝜕𝑥_𝑗 ^(eq.III-11) où le tenseur de contrainte de sous-maille 𝜏_𝑖𝑗 est introduit :

𝜏̃_𝑖𝑗 = 𝑢̃ − 𝑢̃_𝑖𝑢_{𝑗 𝑖}𝑢̃_{𝑗 (eq.III-12)}

Tout comme l’approche RANS, ce terme non linéaire amène de nouvelles inconnues au système d’équations. Pour fermer ce système, il faut alors utiliser un modèle appelé « modèle de sous-maille » permettant de modéliser le tenseur de sous-sous-maille.

Il existe plusieurs manières de modéliser l’effet du tenseur de sous-maille. L’une d’entre elles consiste à ne pas utiliser de modèle. Dans ce cas, ce sont les erreurs numériques qui jouent le rôle de la dissipation moléculaire. Le modèle proposé par Smagorinsky (1963) est l’un des modèles le plus utilisé en LES. Il est basé sur l’hypothèse qu’il existe une relation linéaire entre le déviateur du tenseur de contrainte de sous-maille (𝜏̃_𝑖𝑗^𝐷) et le champ de vitesse de déformation filtrée 𝑆̃_𝑖𝑗 (eq.III-13) :

𝜏̃_𝑖𝑗^𝐷 = −2𝜈_𝑡𝑆̃_{𝑖𝑗 (eq.III-13)}

avec 𝜈_𝑡 la viscosité turbulente.

Le coefficient 𝜈_𝑡est une propriété du mouvement du fluide et est proportionnel au produit de l’échelle de longueur donnée par le filtre et la vitesse déduite de 𝑆̃_𝑖𝑗 (eq.III-14) :

88

𝜈_𝑡 = (𝐶_𝑠∆)2√2𝑆̃_𝑖𝑗𝑆̃_{𝑖𝑗 (eq.III-14)} Le coefficient 𝐶_𝑠 est appelé constante de Smagorinsky. La valeur de ce coefficient peut être déterminée à partir de la théorie de Kolmogorov, en supposant que la dissipation de sous-maille est égale à la dissipation des échelles qui ne sont pas résolues. La valeur théorique de cette constante est 𝐶_𝑠 = 0,18. Cette valeur n’est pourtant pas universelle car elle est adéquate dans le cas d’une turbulence homogène et isotrope mais doit être adaptée dans les autres cas. Pour un écoulement en canal, la valeur habituellement conseillée est 𝐶_𝑠 = 0,1. Une des limites de ce modèle est qu’il n’offre pas un comportement satisfaisant à la paroi en raison d’une large surestimation de la viscosité turbulente. Le modèle de WALE (Wall Adapting Local Eddy-viscosity) développé par Nicoud et Ducros (1999) se propose de corriger ce problème en prenant en compte à la fois le taux de déformation et le taux de rotation. Il s’ensuit l’établissement d’une nouvelle constante (𝐶_𝑤) également calibrée à partir d’une turbulence homogène et isotrope mais étant considérée comme une « vraie » constante (𝐶_𝑤=0,5), indépendante de la nature de l’écoulement. De par sa construction, ce modèle fait tendre la viscosité turbulente vers une valeur nulle sans fonction d’amortissement. Il s’avère particulièrement adapté dans le cas des géométries complexes, il a donc été utilisé dans le cadre de cette thèse.

III.1.4 La modélisation de l’interaction fluide/structure (FSI)

La modélisation de l’interaction fluide/structure (FSI) est nécessaire lorsqu’un écoulement de fluide rentre en contact avec une structure en provoquant une déformation de cette dernière. Cette déformation induit alors un changement sur les conditions aux limites appliquées sur la structure et modifie à son tour les caractéristiques de l’écoulement. La modélisation FSI permet d’effectuer le couplage entre un solveur de mécanique des fluides et un solveur de mécanique des structures (Souli & Sigrist, 2009).

Il existe plusieurs types de couplages qu’il est possible de classer dans deux catégories : les couplages faibles et les couplages forts. Dans le cas d’un couplage faible, le fluide agit sur la déformation de la structure mais la réponse de la structure à cette sollicitation n’entraine pas de modification significative de l’écoulement. Ce couplage peut également être fait de la structure vers le fluide. En revanche, dans le cas d’un couplage fort, le mouvement du fluide ainsi que la pression exercée sur la structure, entrainent une déformation et/ou un déplacement de la structure affectant ensuite en retour l’écoulement du fluide.

Le code de calcul Star-CCM+ dispose d’un solveur permettant de calculer les contraintes et les déformations sur les structures. Ceci rend possible le calcul des interactions fluide/structures dans Star-CCM+ sans avoir recours à un logiciel tiers. C’est cette solution qui a été retenue pour simuler les interactions entre les 92 structures souples et l’écoulement dans la passe à poissons. Il est également possible d’effectuer des co-simulations avec un logiciel dédié à la simulation mécanique (Abaqus par exemple) ou même d’effectuer une co-simulation entre deux instances de Star-CCM+. Dans ce dernier cas, une instance de Star-CCM+ modélise l’écoulement du fluide et l’autre les déformations de la structure. La co-simulation est particulièrement intéressante lorsqu’il existe une différence importante entre la dynamique de la structure et la dynamique de l’écoulement.

Dans le contexte de cette étude, il existe un couplage fort entre l’écoulement du fluide et les déformations des structures. La première étape d’une simulation FSI consiste à initialiser l’écoulement autour de la structure. Les contraintes de cisaillement et la pression à l’interface entre le fluide et les structures sont ainsi calculées par le solveur « fluide ». Le solveur « structure » récupère ces informations et calcule leur déformation. Cette déformation entraine un déplacement des points du maillage de l’interface fluide/structure par l’intermédiaire d’une opération de « morphing ». Les équations de transport de la partie fluide sont ensuite résolues en prenant en compte le mouvement du maillage.

89 Pour résoudre numériquement les équations aux dérivées partielles liées aux problèmes de mécanique du solide, la méthode des éléments finis est habituellement utilisée. En revanche, pour les problèmes de mécanique des fluides, la méthode des volumes finis est plus adaptée, car elle est plus performante pour résoudre les termes non-linéaires. Dans Star-CCM+, les problèmes liés au fluide et à la structure sont résolus par la même méthode : les volumes finis (« Finite Volume Stress Analysis » pour la partie structure).

Dans le cas des simulations réalisées au cours de cette étude, le déplacement attendu à l’extrémité des cylindres est de l’ordre du centimètre, soit environ 7% de leur hauteur. D’autre part, des mesures expérimentales menées pour déterminer le module d’Young ont permis d’observer le caractère élastique et isotrope du matériau. Un matériau est considéré élastique quand il existe une relation linéaire entre la contrainte et la déformation. En outre, lorsqu’un matériau élastique est soumis à un cycle du type charge/décharge, il retrouve sa forme initiale, contrairement à un matériau élastoplastique. Le problème de la partie structure est donc résolu sous l’hypothèse des grandes déformations et d’élasticité linéaire.

Dans Star-CCM+, la formulation des grandes déformations est en fait construite à partir de l’hypothèse des petites déformations, en considérant qu’entre chaque itération les déformations sont faibles (Souli & Sigrist, 2009). Cette technique est basée sur la Formulation Lagrangienne Actualisée, qui met à jour la position des nœuds après chaque itération dans un pas de temps, permettant ainsi de respecter l’hypothèse des petites déformations. Pour cela, le maillage de la partie structure se déforme, ainsi que celui de la partie fluide qui doit s’adapter à la nouvelle forme de la structure. Ce processus est considéré comme étant « topologiquement » constant, dans le sens où chacune des cellules conserve les mêmes cellules voisines mais leur forme peut varier au cours du temps. Les équations de transport de mécanique des fluides sont alors résolues en prenant en compte le mouvement arbitraire du maillage. Star-CCM+ utilise une formulation mixte Arbitraire Lagrange-Euler (ALE) qui combine à la fois les formulations eulérienne et lagrangienne pour décrire le mouvement des particules fluides.

La relation constitutive qui lie la déformation au déplacement dans le cas de petites déformations est de la forme (eq.III-15) :

𝜀_𝑖𝑗 = ¹ 2^{. (} 𝜕𝑢_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 ⁺ 𝜕𝑢_𝑗 𝜕𝑥_𝑖^{) (eq.III-15)}

avec 𝜀_𝑖𝑗 le tenseur des déformations linéarisé et 𝑢_𝑖 le vecteur déplacement.

L’hypothèse d’un comportement linéaire et élastique du matériau, toujours pour des petites déformations, permet d’écrire la relation entre les déformations et les contraintes dans la structure sous la forme suivante (loi de Hooke) (eq.III-16) :

𝜎_𝑖𝑗 = 2. 𝜇. 𝜀_𝑖𝑗+. 𝑡𝑟(𝜀). 𝛿_{𝑖𝑗 (eq.III-16)}

avec 𝜎_𝑖𝑗 le tenseur des contraintes, 𝜀_𝑖𝑗 le tenseur des déformations, 𝛿_𝑖𝑗 le symbole de Kronecker et 𝜇 et  les coefficients de Lamé de la structure.

Les coefficients de Lamé peuvent être déterminés à partir du module d’Young E et du coefficient de Poisson 𝜈 de la structure (eq.III-17 et III-18) :

 = ^{𝐸. 𝜈}

(1 + 𝜈). (1 − 2. 𝜈) ^(eq.III-17)

𝜇 = ^𝐸

2. (1 + 𝜈)

90

Pour les problèmes instationnaires, l’équation à résoudre est la loi de mouvement, ou première loi de Cauchy, qui peut-être écrite sous la forme locale (assortie des conditions aux limites) :

𝜌^𝑑 2𝑢

𝑑𝑡2 = ∇𝜎 + 𝜌𝑓 (eq.III-19)

avec 𝑓 la densité massique des forces de volumes et 𝜌 la masse volumique du matériau.

La résolution du problème consistant à déterminer le champ de déplacement 𝑢 qui satisfait à la fois les relations eq.III-16,17 et 18, l’équation (eq.III-19) et les conditions aux limites, est ensuite effectuée par la méthode des volumes finis.