Nouvelle loi d’endommagement en fatigue

Les deux raisons principales qui nous conduisent à proposer une nouvelle loi d’endommagement sont :

 Il est nécessaire de trouver une base substantielle qui prend en compte le changement de la vitesse de croissance des fissures au cours du cyclage. La fonction d’évolution des fissures dans chaque stade est susceptible d'être un cas particulier d'un principe plus général et compréhensible.

 Il semble aussi important et possible de trouver une loi continue, qui peut décrire l’évolution des fissures en fatigue pour toute la durée de vie du matériau, la nature n'aimant pas les fonctions discontinues.

Forts de ces deux raisons, nous allons proposer un nouveau critère qui prendra en compte l’évolution de la vitesse de propagation des fissures en fatigue sur toute la durée de vie du matériau. La fonction proposée par Tomkins et Wareign, présente ses limites lorsque le seuil de transition entre les fissures PSD et les fissures LC (cf. IV.3.1) est atteint. Un autre facteur peut donc influencer sensiblement la croissance des fissures en fatigue. Une fonction d'accélération Z(N) doit

être introduite pour décrire le changement de la vitesse de croissance lorsque la longueur des fissures atteint une valeur seuil. Cette fonction d'accélération est en constante augmentation au cours du cyclage. La vitesse de croissance des fissures est supposée être proportionnelle à la valeur de cette fonction d'accélération à chaque moment du cyclage. Elle peut donc s’écrire de la manière suivante:

Plusieurs variantes de la fonction Z(N) peuvent être proposées. Nous ferons l’hypothèse que la

première fonction de dérivation Z(N) ne dépend pas de la longueur des fissures et suit une loi

exponentielle :

et

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Chapitre IV : Fatigue à amplitude constante à une échelle plus locale

Si l'équation (IV.14) est valable, l’évolution de la longueur de la fissure principale en fatigue peut alors être décrite par une fonction hyper-exponentielle :

[

]

Où kac est un paramètre cinétique de la fonction d'accélération,

et k0 est un paramètre complexe comprenant Z0.

Ces deux paramètres, kac et k0, sont gouvernés principalement par l’amplitude de la déformation

plastique Δεp/2 (Tableau IV.5). Ils peuvent être décrits de la manière suivante:

(

)

(

)

Dans ces expressions, A, α et B, β sont des constantes intrinsèques au matériau, qui peuvent dépendre de la température et de l’environnement. Ces constantes ont été identifiées de manière empirique en utilisant un ajustement de régression des moindres carrés à partir des résultats de l’évolution de la longueur des fissures obtenus expérimentalement.

Pour définir la longueur initiale des fissures (L0) à prendre en compte pour calculer les constantes

des paramètres kac et k0, une approche alternative à celle définie classiquement par amorçage et

propagation des fissures a été utilisée. Cette approche a été d’abord proposée par Miller [Miller 1995]. Cet auteur considère que la durée de vie en fatigue est entièrement constituée de la phase de propagation des fissures. En effet, pendant le chargement en fatigue dans les composants d’installations industriels, des fissures se forment assez rapidement dans des irrégularités de la surface ou des discontinuités qui sont déjà présent [Miller 1995]. Tandis que sur des éprouvettes lisses, les observations microscopiques de la surface montrent que les fissures se forment uniquement sur des bandes de glissement persistantes, au niveau des joints de grains ou de macles. La longueur initiale L0 a été donc considérée égale à 1. Elle représente la moyenne de la hauteur de

profil totale (Rt) mesuré sur nos éprouvettes polie miroir (Rt= 1,85 ; 0,773 et 0,34 µm), (ce

paramètre de rugosité est la somme de la hauteur de la crête la plus élevée du profil et de la profondeur de creux la plus importante dans la longueur d'évaluation).

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Chapitre IV : Fatigue à amplitude constante à une échelle plus locale

Les valeurs des constantes des paramètres kac et k0 ont alors été identifiés de manière empirique des

résultats expérimentaux, en utilisant un ajustement de régression des moindres carrés, pour une gamme de longueur de fissures comprise entre « L0 = 1 µm et Lf= 12500µm » :

A = 3,71.10-4, α = 1,59, B = 2,34.10-3 et β = 2,06.

La fonction théorique (IV.15) avec les valeurs des constantes précédemment identifiées, décrit assez bien les données expérimentales de l’évolution de la longueur des fissures de fatigue pour l’ensemble des niveaux d’amplitudes de déformation totale étudiées (Figure. IV.33).

Figure IV.33 : Évolution de la longueur de la fissure principale au cours du cyclage, pour les différentes amplitudes de déformation totale étudiées

La figure IV.34 représente l’évolution de la longueur de la fissure principale modélisée par la loi hyper-exponentielle établie, mais avec une échelle logarithmique. Cette représentation révèle que pour l’essai mené avec une amplitude de déformation totale de ∆εt= ± 0,2%, la modélisation ne

décrit pas assez bien l’évolution de la fissure principale pour le premier stade d’endommagement (endommagement précoce). Il faut noter que la durée de vie à cette amplitude de sollicitation est supérieur à 105 cycles (Nf = 142054 cycles). Ce nombre de cycles est supérieur aux nombre de

cycles délimitant le domaine de la fatigue oligocyclique du domaine de la fatigue à grand nombres de cycles. Or, en fatigue à grand nombre de cycles, la phase d’amorçage ne doit plus être négligée [Maiya 1975]. Ce qui signifie qu’à cette amplitude de déformation totale (∆εt= ± 0,2%), la phase

d’amorçage ne doit plus être négligée. En effet, les premières fissures observées à cette amplitude de sollicitation ont été observables qu’à partir environ 22% de la durée de vie totale.

Néanmoins, la durée de vie en fatigue peut tout de même être décrite d’une manière très satisfaisante par cette loi hyper-exponentielle pour cette faible amplitude de sollicitation.

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Chapitre IV : Fatigue à amplitude constante à une échelle plus locale

Figure IV.34 : Évolution de la longueur de la fissure principale au cours du cyclage, pour les différentes amplitudes de déformation totale imposées :

(a) ∆εt= ± 0,6% et ± 0,45%, (b) ∆εt= ± 0,3% et ± 0,2%