III. M ´ethodes num ´eriques 45
1.4. Notions sur une impl´ementation efficace
R´eseaux utilis´es
Les r´eseaux des syst`emes quasi-unidimensionnels comme les chaˆınes et les ´echelles sont faciles `a traiter puisque l’on peut ais´ement r´ealiser des r´eseaux d’une certaine taille souhait´ee. Avec la connaissance de r´esultats analytiques, on peut ensuite effectuer le passage `a la limite thermodyna-mique comme discut´e dans la section 1.5 de ce chapitre.
Pour les r´eseaux bidimensionnels, seulement certaines tailles permettent une g´eometrie carr´ee avec un nombre de sites pair. Comme illustr´e dans la figure III.1, on utilise des r´eseaux pench´es avec
1. Diagonalisation exacte
tˆache difficile ce qui complique d’effectuer des extrapolations sur le comportement dans la limite thermodynamique.
Codage des ´etats
Dans le langage de la seconde quantification, un ´etat |ψi de n ´electrons est construit par
l’ap-plication den op´erateurs de cr´eation c†i,σ sur l’´etat du vide|0i o`u pour des spin-1
2 du mod`ele de Heisenberg chaque op´erateur cr´ee un ´electron de spinσ =↑, ↓ sur le site i. On exprime la
configu-ration ´electronique correspondante|ci par des groupements de bits et on associe un nombre entier
N (|ci). Pour des spin-1
2 du mod`ele de Heisenberg, un seul bit est suffisant afin de coder un ´etat ´electronique d’un site en sorte que pour quatre ´electrons, on a :
|ψi = c†1,↑c†2,↓c†3,↓c†4,↑|0i = |↑, ↓, ↓, ↑i ⇔ N (|ci) = N (|1001i) = 9. (III.21) Pour des fermions, les op´erateurs anticommutent et il faut d´efinir une convention de l’ordre des op´erateurs si les fermions peuvent s’´echanger. Chaque permutation de deux op´erateurs de cr´eation (de annihilation) entraˆıne donc un facteur de−1 de sorte que l’on obtient enfin un pr´efacteur de ±1 dit « signe fermionique ».
Des mod`eles avec plus de deux ´etats par site, comme par exemple le mod`ele de Hubbard ou des mod`eles effectifs d´eriv´es avec la m´ethode CORE, nous obligent de pr´evoir plus d’un seul bit afin de coder un ´etat ´electronique. Les quatre ´etats par site du mod`ele de Hubbard (cf. l’´equation (I.1)), par exemple, peuvent ˆetre stock´es avec deux bits comme :|0i = |00i, |↑i = |10i, |↓i = |01i et |↑↓i = |11i. Par contre, un mod`ele effectif que l’on peut d´eriver avec CORE, peut atteindre jusqu’`a 10 ´etats par site voire plus et en cons´equence, le stockage de ce mod`ele n´ecessite quatre bits ou
plus. Consid´erons un exemple de l’´equation (IV.8) de la section 2 du chapitre IV o`u l’on a six ´etats par site, dont deux ´etats singulets (|SAi et |SBi) avec spin S = Sz = 0, trois ´etats triplets polaris´es
(|TAi, |TBi et |TCi) avec S = 1 et Sz = +1 et un ´etat quintet compl`etement polaris´e (|Qi) avec
S = 2 et Sz = +2. Afin de stocker ces six ´etats, on les num´erote en commenc¸ant avec 0 et ensuite
on prend le num´ero de l’´etat dans la base binaire ce qui n´ecessite trois bits. Ainsi, on a pour les deux ´etats singuletSA = |000i et SA = |001i, les trois triplets sont stock´es comme TA = |010i,
TB =|011i et TC =|100i et enfin le quintet |Qi = |101i. Dans ce but, on doit ´egalement stocker
des informations suppl´ementaires pour chaque ´etat, comme le spinS ou la composante Szou bien la charge.
Utilisation des sym´etries
Les hamiltoniens que l’on ´etudie et que l’on aimerait diagonaliser poss`edent souvent un grand nombre de sym´etries qui sont li´ees `a des quantit´es conserv´ees. En fonction du syst`eme consid´er´e, on observe par exemple la sym´etrie du groupe de translation o`u pour un secteur de sym´etrie l’impulsion est conserv´ee. Les autres sym´etries incluent l’invariance de rotation du syst`eme, la sym´etrieU (1) comme la rotation autour une direction z (Stot
z conserv´e), l’invariance de jauge glo-bale (nombre de particules conserv´e) et la sym´etrie de rotation du spinSU (2) (spin total conserv´e).
FIG. III.2: Sch´ema de r´eseaux diff´erents avec le couplage au premier voisin not´e parJ1(ou
seule-mentJ), le couplage au deuxi`eme voisin not´e par J2 etδ comme dim´erisation. (a) Le
r´eseau carr´e de √
32× √32 sites, (b) la boucle dim´eris´ee, (c) la boucle frustr´ee. Cf.
figure III.1. D’apr`es Laflorencie et Poilblanc [144].
bloc correspond `a une repr´esentation irr´eductible d’un groupe de sym´etrie. Comme les tailles de ces blocs sont plus petites que la taille de l’espace de Hilbert complet, la tˆache de la diagonalisation est rendue beaucoup plus facile comme le montre le tableau III.1 pour quelques exemples. Pour une impl´ementation efficace il est donc indispensable de profiter au maximum des sym´etries car la consommation de m´emoire ainsi que de temps de calcul sont diminu´es consid´erablement ce qui permet d’acc´eder `a des plus grands syst`emes.
Mod`ele Taille du Groupe de Taille typique de r´eseau sym´etrie l’espace de Hilbert r´eduit
2D Isotrope 6× 6 T36⊗ C4v⊗ I2 9 075 135 300/576 1DJ1− J2 32× 1 T32⊗ C2⊗ I2 601 080 390/128 1DJ1− J2− δ 32× 1 T16⊗ I2 601 080 390/32
TAB. III.1: Groupe de sym´etrie et taille typique de l’espace de Hilbert r´eduit, calcul´ee comme taille de l’espace int´egral dans le secteur Sz = 0 divis´ee par le nombre de sym´etries,
pour trois mod`eles antiferromagn´etiques de spin-12 de Heisenberg (cf. figure III.2). Les sym´etries not´ees sont :TN pour le groupe de translationT , I2pour l’inversion de spin
SZ
x → −SZ
x etCN pour le groupe cyclique. D’apr`es Laflorencie et Poilblanc [144]. Afin de minimiser la consommation de m´emoire pendant la diagonalisation exacte d’un hamilto-nien, diff´erentes techniques sont utilis´ees en profitant de ces sym´etries. Notamment, on ne stocke que les ´etats ou configurations dits « repr´esentatifs », c’est-`a-dire des configurations qui ne sont pas mutuellement reli´ees en appliquant les sym´etries d’espace. Ensuite, parmi un nombre de confi-gurations qui sont li´ees par des sym´etries d’espace, on choisit comme configuration repr´esentative pour des raisons pratiques le plus petit nombre entier correspondant, selon l’´equation (III.21). Comme expliqu´e par Laflorencie et Poilblanc [144] ainsi que dans les th`eses de Dorneich [145] et
1. Diagonalisation exacte 0 50 100 iterations -6 -5 Energies Exact Lanczos Ghosts 20 40 60 iterations 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3