I.3 Une observable : l’asym´etrie azimutale
I.3.2 Notions d’hydrodynamique
Une approche de type hydrodynamique des propri´et´es et de l’´evolution du milieu form´e four- nit un cadre th´eorique particuli`erement adapt´e `a la description des comportements collectifs donnant lieu au flot elliptique d´ecrit dans le paragraphe pr´ec´edent. Le comportement collectif du milieu est caract´eris´e par une corr´elation entre la position et l’impulsion des particules qui le constituent. Dans un mod`ele hydrodynamique, ces corr´elations se manifestent comme un champ de vitesses longitudinales non nulles.
L’hydrodynamique permet de relier :
• les lois de conservation de l’´energie, l’impulsion et des courants de charge, • l’´equation d’´etat du milieu,
• les propri´et´es thermodynamiques de ce milieu telles que sa viscosit´e, sa conductivit´e
thermique, etc.
Les propri´et´es de la mati`ere et son mouvement collectif sont intimement connect´es. ´Etudier
le mouvement collectif des particules produites dans les collisions renseignera sur l’´equation d’´etat de la mati`ere nucl´eaire. En pratique, ceci est une tˆache difficile `a cause de la nature non lin´eaire des ´equations d’hydrodynamique et de l’´evolution pr´ecise inconnue des collisions d’ions lourds.
Les mod`eles hydrodynamiques reposent essentiellement sur l’´equation d’´etat `a l’´equilibre pour r´esoudre les ´equations de mouvement. Une fois que l’´equation d’´etat et que l’´etat initial d’´evolution sont d´efinis, l’expansion dynamique est d´etermin´ee et il n’est pas n´ecessaire de connaˆıtre les d´etails des interactions au niveau microscopique. L’application de l’hydrodyna- mique suppose g´en´eralement les propri´et´es du fluide proches de celles d’un fluide id´eal (voir paragrapheI.3.2.1), `a savoir : ´equilibre local cin´etique et chimique, sans effets de dissipation.
Le paragraphe I.3.3.2 pr´esente les diff´erents mod`eles qui reproduisent ou non les donn´ees
et notamment les conditions pour lesquelles les mod`eles de fluide hydrodynamique parfaits s’appliquent.
I.3.2.1 Approximation des fluides id´eaux
Les ´equations de mouvement de l’hydrodynamique des fluides relativistes sont l’expression de la conservation locale de l’´energie, de l’impulsion et des charges(39) [153] :
∂µTµν = 0 (I.35)
et
∂µjiµ= 0 (I.36)
avec Tµν le tenseur ´energie-impulsion, et jµ
i, i = 1, ..., n les quadri-courants de conservation des charges. Le tenseur ´energie-impulsion est d´ecrit par l’Eq. (I.37)
Tµν =
Z
d3p (2π)3Ep
µpνf (x, p) (I.37)
avec p, la pression, et f (x, p) la densit´e de particules `a (x, p) donn´ee par unit´e de volume. Dans l’approximation des fluides id´eaux, tous les effets de dissipation comme la viscosit´e ou la conductivit´e thermique sont n´eglig´es, et le syst`eme est suppos´e ˆetre toujours en ´equilibre cin´etique. Le tenseur ´energie-impulsion et les courants de charge jiµ peuvent alors s’exprimer comme les Eqs. (I.38) et (I.39) :
Tµν = (ǫ + p)uµuν − pgµν (I.38)
jiµ = niuµ (I.39)
avec ǫ, et ni respectivement la densit´e d’´energie, et le nombre de densit´e de charge i dans le r´ef´erentiel local du fluide, uµ, la quadri-vitesse du fluide, et gµν le tenseur m´etrique(40). Pour compl´eter le syst`eme d’´equations, l’´equation d’´etat `a l’´equilibre relie la pression aux den- sit´es : p = p(ǫ, n1, ..., nn). Ce sont les donn´ees exp´erimentales qui permettent de contraindre l’´equation d’´etat.
Des effets de dissipations et de viscosit´e peuvent en principe ˆetre rajout´es `a la situation d’´equilibre thermique local mais sont difficiles `a impl´ementer.
Diff´erents mod`eles d´efinissent le temps de thermalisation ou les grandeurs de pression et de densit´e rattach´ees `a l’hydrodynamique. Parmi ces mod`eles, les plus r´epandus sont les mod`eles g´eom´etriques, les mod`eles de cascades de partons ou des mod`eles de dynamiques de fluides. Ils seront d´etaill´es dans le paragraphe I.3.3.
I.3.2.2 Dynamique des fluides relativistes
De la mati`ere nucl´eaire tr`es dense et chaude serait form´ee dans les collisions centrales d’ions lourds `a haute ´energie (une discussion des implications peut ˆetre lue dans la r´ef´erence [154]). Dans le d´ebut des ann´ees 1970, il ´etait commun´ement admis qu’elle devait ˆetre compress´ee et chauff´ee en g´en´erant des ondes de chocs qui pourraient ˆetre calcul´ees avec l’aide de la dynamique des fluides. D’un point de vue exp´erimental, une ´etude des particules ´emises dans ces collisions devrait donner des indices sur la nature de ce milieu dense et chaud. L’application de la dynamique relativiste des fluides a ´et´e r´ealis´ee `a la fois par rapport au
flot transverse [155] et par rapport `a l’´echappement sous pression de la mati`ere perpendi-
culairement au plan de r´eaction [156] (voir aussi la revue [157]). La majorit´e des codes de (39)Les charges ici sont des grandeurs au sens large, caract´eristiques du milieu, qui sont conserv´ees lors de la collision : charge
´electrique, nombre baryonique, isospin, etc.
simulation de dynamique des fluides relativistes utilisent la formule de Cooper-Frye pour cal- culer des spectres `a l’´etat de gel [158]. Le flot elliptique aux ´energies ultra-relativistes a ´et´e pour la premi`ere fois discut´e en 1992 comme ´etant un effet de la dynamique des fluides [159]. L’int´erˆet principal du flot elliptique repose sur une ´echelle de temps petite pendant lequel il est g´en´er´e et par cons´equent sa sensibilit´e `a l’´equation d’´etat du milieu [160, 161]. L’im- pl´ementation de la dynamique des fluides relativistes id´eaux a ´et´e r´ealis´ee dans le cadre de mod`eles `a 3+1 dimensions [162, 163, 164].
Un des probl`emes de l’application de la dynamique des fluides relativistes id´eaux est que la reproduction du spectre en impulsion transverse des particules observ´ees n´ecessite l’utilisa- tion d’une temp´erature de gel thermique de 130 MeV, alors que les rapports de particules mesur´es sugg`erent une temp´erature de gel chimique de 160 MeV. Le gel chimique devrait
avoir lieu avant le gel thermique dans la mesure o`u le type de particules devraient d’bord
se stabiliser avant leurs interaction. Ce probl`eme peut ˆetre dissimul´e par renormalisation ad-hoc du spectre de certaines particules telles que les kaons ou les protons, comme dans les deux approches suivantes :
• ´Equilibre chimique partiel : introduction d’un potentiel chimique ad-hoc relatif `a chaque
hadron, `a la temp´erature o`u le taux de production de ce hadron s’annule. Ces mod`eles ne
reproduisent pas correctement la d´ependance en impulsion transverse et en masse du flot elliptique.
• Mod`ele hybride d’hydrodynamique et description microscopique : la phase hadronique
est trait´ee via un calcul microscopique bas´e sur l’´equation de Boltzmann ce qui permet de s´eparer les hadrons au moment du gel chimique en fonction de leur saveur. Cette approche reproduit relativement bien les spectres de production et de flot elliptique et sera d´etaill´ee au paragraphe I.3.3.
Actuellement, le d´eveloppement le plus r´epandu de la dynamique des fluides relativistes est une impl´ementation visqueuse de dimensions 3+1. L’importance de la viscosit´e a ´et´e relev´ee depuis longtemps [165], et des progr`es r´ecents ont ´et´e r´ealis´es quant `a la formulation des
fluides visqueux dans une description de QGP (voir par exemple [166,167]).
Un traitement correct du gel et de sa s´eparation entre gel chimique et gel thermique (le gel chimique arrivant avant le gel thermique) est r´ealis´e le plus facilement en adoptant des mod`eles hybrides d’hydrodynamique associ´es `a une description microscopique de la collision. En effet, ceux-ci sont capables de calculer le gel sans utiliser les param`etres utiles pour d´ecrire les sections efficaces et les d´ecroissance des r´esonances [168].