I. 3.1.2.2 Boucle de contrôle de courant
II.2 Notions de commande par mode glissant
La commande par mode glissant a été introduite initialement comme moyen de contrôle des systèmes à structure variable [Utk 99]. Les premiers cas d'application aux convertisseurs DC-DC ont été signalés en 1983 [Bil 83] et en 1985 [Ven 85].
Depuis lors, il y a eu un grand intérêt de la communauté spécialisée dans son développement. Le principal avantage du contrôle SMC sur d'autres types de méthodes de contrôle non linéaires est sa facilité de mise en œuvre. Cela le rend bien adapté aux fins de régulation du courant DC-DC. Cependant, le principal problème associé à l'application du contrôle SMC est sa nature à fréquence variable, qui provoque des pertes de puissance excessives et des interférences électromagnétiques. Néanmoins, si ce problème est correctement géré, le contrôle SMC a un énorme potentiel dans les applications industrielles [Tan 12].
Le contrôle SMC est naturellement bien adapté au contrôle des systèmes à structure variable. Caractérisés par la commutation, les convertisseurs de puissance sont intrinsèquement des systèmes à structure variable. Il est donc approprié d'appliquer le contrôle SMC aux convertisseurs de puissance [Tan 12]. De plus, le contrôle SMC offre une excellente capacité de traitement des grands signaux, ce qui est important pour les convertisseurs DC-DC. Etant donné que la conception des contrôleurs de modulation de largeur d'impulsion (PWM) conventionnels est basée sur les petits signaux, les convertisseurs contrôlés fonctionnent de manière optimale uniquement pour des conditions spécifiques [Mid76] et échouent souvent à fonctionner de façon satisfaisante avec de grandes variations paramétriques ou de charges [For
98] [Kas 92] [Mit 98]. En utilisant les contrôleurs SMC , les convertisseurs peuvent obtenir
une meilleure régulation et des performances dynamiques pour une plage de fonctionnement plus large.
Le principe de la commande par mode glissant est de contraindre l'état du système à atteindre une hypersurface donnée dans l'espace d'état et à y rester.
L'objectif est de forcer le système en question à suivre l'état de référence et de fonctionner selon une dynamique pré-choisie. Une fois que les trajectoires d'états du système atteignent la surface de glissement et y demeurent, ce dernier se trouve en régime glissant. Tant que les conditions du régime glissant restent assurées, les dynamiques du système sont insensibles aux perturbations extérieures et aux variations paramétriques [Ras 04].
II.2.2 Présentation d’un système à structure variable par mode glissant [Lop 06]
Le concept d'algorithme à structure variable, à régime glissant et à commande discontinue peut s'énoncer ainsi (Fig. II.1) : on applique à l'entrée du système à commander une
30
commande ( )u t fournie par un algorithme utilisant une fonction s (fréquemment linéaire) de
la sortie ( )y t et de ses dérivées (ou de l'erreur en sortie e= −y yd et des dérivées de l'erreur), fonction appelée par abus de langage "surface". La surface s =0 peut être une droite ou une hypersurface selon l'ordre du système à commander, dans l'espace des phases de la sortie (ou l'espace des phases de l'erreur en sortie). La dynamique du système à commander est alors définie par s=0et s= au lieu d'être définie par la transmittance entre la sortie ( )0 y t et l'entrée
( )
u t .
La commande comprend en général deux termes (u=ueq+uc) : un terme continu appelé commande équivalente ueq( )t correspondant au régime glissant idéal pour lequel non seulement le point de fonctionnement reste sur la surface mais aussi pour lequel la dérivée de la fonction de la surface reste nulle et un terme de commutation uc = −k sign s. ( )qui impose l'attractivité de la surface.
Fig. II.1. Schéma de principe d'un système monovariable commandé par mode glissant.
II.2.3 Conception de la commande par mode glissant
La conception des régulateurs par mode glissant prend en charge les performances désirées d'une façon systématique, la mise en œuvre de cette méthode de commande nécessite trois étapes :
31 • Le choix de la surface.
• L'établissement des conditions d'existence. • La détermination de la loi de commande.
II.2.3.1 Choix de la surface de glissement
Le choix de la surface de glissement concerne non seulement le nombre nécessaire de ces surfaces mais également leurs formes. Ces deux facteurs dépendent simultanément de l'objectif visé et de l'application en question.
Soit un système défini par l'équation d'état non linéaire de la forme :
( ) ( ) ( ) n x f x g x u y x = + = (II.1) où : x( )n est la nième dérivée de x en fonction du temps, u la commande du système et
( 1)
[ , ,..., n ]T
x= x x x − le vecteur d'état.
Dans l'équation (II.1), ( )f x et ( )g x ne sont pas connus mais la limite supérieure et le signe de
( )
g x sont connus [Bou 08]. Notre but est d’atteindre un état désiré ( 1)
[ , ,..., n ]
d d d d
y = y y y − en présence des incertitudes du modèle sur f x et ( )( ) g x . On définit le vecteur de l'erreur de
poursuite comme e= −y yd =[ , ,...,e e e(n−1)]T. Une surface de glissement ( )s t variant en
fonction du temps dans l'espace d'état est donnée par [Asa 86] n
1 ( ) n d s t e dt − = + (II.2) où est une constante strictement positive.
Sachant que la condition initiale est donnée par yd(0)= y(0), le problème de poursuite de l'état désiré x t( )=x td( ) revient à maintenir les états du système sur la surface ( ) pour touts t t 0 .
La commande u est choisie de telle sorte que l'existence du mode glissant est établie et que 0
ss .
Un choix particulier est donné par l'équation II.3:
2 1 ( ) ( ) , 0 2 d s t s t dt − (II.3) L'équation (II.3) [Slo 91] qui est appelée condition d'attraction, force les trajectoires d'état à se diriger vers la surface de glissement comme indiqué en Fig. II.2.
32
Fig. II.2. Portrait de phase d'une surface de glissement.
On assume que (0)s 0 et on définit tf comme étant le temps nécessaire à une trajectoire pour atteindre la surface s .
L'équation (II.3) peut être réécrite comme :
( )
d s t
dt − (II.4) En intégrant (II.4) de t =0 à t=tfon obtient :
( )f (0) ( f 0)
s t −s − t − (II.5)
Vu que s t( )f =0, l'équation (II.5) deviendra : (0) .
f
t s (II.6)
f
t peut aussi être obtenu en considérant le cas où (0)s 0, ce qui va nous mener à:
(0) . f
t s (II.7)
L'équation (II.7) garantit que si les trajectoires sont à l'extérieur de ( )s t , elles atteindront la
surface de glissement dans un temps fini inférieur à (0)s . Lorsque la surface de glissement 0
s = est atteinte, l'erreur tend vers zéro (x=xd) exponentiellement avec une constante de temps égale à (n−1) .
II.2.3.2 Condition d'attractivité
Cette condition permet de donner à la surface de glissement une dynamique de convergence vers zéro. Elle est exprimée par [Utk 77]:
( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0
s x si s x
33 Elle peut donc être formulée comme :
( ) ( ) 0
s x s x (II.9)
L'inégalité (II.9) est appelée condition d'attractivité. Elle est globale mais elle n'est pas suffisante pour assurer une convergence en temps fini vers la surface de glissement.
Pour assurer une convergence de ( , )s x t vers 0 en un temps fini, une condition plus forte doit
être respectée. Dans le cas des modes glissants classiques, on utilise généralement la condition d'attractivité non-linéaire dite condition de 𝜂-attractivité [Utk 92]
( ) ( ) ( )
s x s x − s x (II.10) II.2.3.3 Elaboration de la loi de commande
Parmi les commandes de mode glissant utilisées figure la méthode de la commande équivalente basée sur le critère de stabilité de Lyapounov. La loi de commande est choisie telle que la dérivée d'une fonction choisie de Lyapounov soit négative. L'idée est d'utiliser la fonction scalaire ( )s x choisie pour définir une fonction de Lyapounov :
1
( ) ( ) ( ) 2
T
V x = s x s x (II.11) La fonction de Lyapounov est définie positive de manière évidente et sa dérivée est :
( ) ( ) ( )
V x =s x s x <0 (II.12) La commande développée doit satisfaire la condition (II.12).