Dérivation numérique
A.2 Algèbre linéaire
A.2.3 Normes vectorielles et normes matricielles
SoitAune matrice bloc-carré décomposée ennˆnblocs. SiAest bloc-diagonale ou triangulaire par blocs alors son déterminant est le produit des déterminant des blocs diagonaux :
detA“
SoitAune matrice bloc-carré inversible décomposée en nˆnblocs.
• Si A est bloc-diagonale alors son inverse (décomposée en nˆn blocs) est aussi bloc-diagonale.
• SiAest triangulaire inférieure par blocs (resp. supérieure) alors son inverse (décomposée ennˆnblocs) est aussi triangulaire inférieure par blocs (resp. supérieure).
Dans ces deux cas les blocs diagonaux de la matrice inverse sont les inverses des blocs diagonaux deA.On a donc
A.2.3 Normes vectorielles et normes matricielles
4
A.Annexes A.2.AnnexesA.2.3Normesvectoriellesetnormesmatricielles Denition A.46
Une norme sur un espace vectoriel V est une application}‚}:V ÑR` qui vérie les propriétés suivantes
˛ }vvv} “0ðñvvv“0,
˛ }αvvv} “ |α| }vvv}, @αPK, @vvvPV,
˛ }uuu```vvv} ď }uuu} ` }vvv}, @ pu, vu, vu, vq PV2(inégalité triangulaire).
Une norme sur V est également appelée norme vectorielle . On appelle espace vectoriel
normé un espace vectoriel muni d'une norme. 1
Les trois normes suivantes sont les plus couramment utilisées : }vvv}1“
n
ÿ
i“1
|vi|
}vvv}2“
˜ n ÿ
i“1
|vi|2
¸1{2
}vvv}8“max
i |vi|. Théorème A.47
SoitV un espace de dimension nie. Pour tout nombre réelpě1, l'application}‚}pdénie par
}vvv}p“
˜ n ÿ
i“1
|vi|p
¸1{p
est une norme. 2
Claim A.48 Pourpą1et 1p `1q “1, on a@uuu, vvvPKn 3
}uvuvuv}1“
n
ÿ
i“1
|uivi| ď
˜ n ÿ
i“1
|ui|p
¸1{p˜ n ÿ
i“1
|vi|q
¸1{q
“ }uuu}p}vvv}q. (A.30)
Cette inégalité s'appelle l'inégalité de Hölder. 4
Denition A.49
Deux normes }‚} et }‚}1, dénies sur un même espace vectoriel V, sont équivalentes s'il exite deux constantesC etC1 telles que
}vvv}1ďC}vvv} et }vvv} ďC1}vvv}1 pour toutvvvPV. (A.31) 5 Claim A.50 Sur un espace vectoriel de dimension nie toutes les normes sont équivalentes. 6
Denition A.51 7
A.Annexes A.2.AnnexesA.2.3Normesvectoriellesetnormesmatricielles
Une norme matricielle sur MnpKqest une application}‚}:MnpKq ÑR` vériant 1. }A} “0ðñA“0,
2. }αA} “ |α| }A},@αPK,@APMnpKq,
3. }A`B} ď }A} ` }B}, @ pA,Bq PMnpKq2 (inégalité triangulaire) 4. }AB} ď }A} }B}, @ pA,Bq PMnpKq2
1
Claim A.52 Etant donné une norme vectorielle}‚}surKn,l'application}‚}s:MnpKq ÑR`dénie par
2 3
}A}s“ sup
vvvPKn v vv‰0
}Avvv}
}vvv} “ sup
v vvPKn }vvv}ď1
}Avvv} “ sup
v vvPKn }vvv}“1
}Avvv}, (A.32)
est une norme matricielle, appelée norme matricielle subordonnée (à la norme vectorielle donnée).
4
De plus
5
}Avvv} ď }A}s}vvv} @vvvPKn (A.33) et la norme}A}peut se dénir aussi par
6
}A}s“inftαPR:}Avvv} ďα}vvv}, @vvvPKnu. (A.34) Il existe au moins un vecteuruuuPKn tel que
7
uuu‰0 et }Auuu} “ }A}s}uuu}. (A.35) Enn une norme subordonnée vérie toujours
8
}I}s“1 (A.36)
Théorème A.53 SoitAPMnpCq. On a
}A}1déf.“ sup
vvvPCn vvv‰0
}Avvv}1
}vvv}1 “ max
jPv1,nw n
ÿ
i“1
|aij| (A.37)
}A}2déf.“ sup
v vvPCn
vvv‰0
}Avvv}2 }vvv}2 “a
ρpA˚Aq “a
ρpAA˚q “ }A˚}2 (A.38)
}A}8déf.“ sup
vv vPCn
v vv‰0
}Avvv}8
}vvv}8 “ max
iPv1,nw n
ÿ
j“1
|aij| (A.39)
La norme }‚}2 est invariante par transformation unitaire :
UU˚ “Iùñ }A}2“ }AU}2“ }UA}2“ }U˚AU}2. (A.40) Par ailleurs, si la matrice Aest normale :
AA˚“A˚Aùñ }A}2“ρpAq. (A.41)
9
Remarque A.54 1. Si une matriceAest hermitienne, ou symétrique (donc normale), on a}A}2“ρpAq.
10
2. Si une matriceAest unitaire, ou orthogonale (donc normale), on a}A}2“1.
11
A.Annexes A.2.AnnexesA.2.4Réductiondesmatrices Théorème A.55
1. SoitAune matrice carrée quelconque et}‚}une norme matricielle subordonnée ou non, quel-conque. Alors
ρpAq ď }A}. (A.42)
2. Etant donné une matrice A et un nombre ε ą 0, il existe au moins une norme matricielle subordonnée telle que
}A} ďρpAq `ε. (A.43) 1
Théorème A.56
L'application}‚}E:MnÑR` dénie par
}A}E“
¨
˝ ÿ
pi,jq“Pv1,nw2
|aij|2
˛
‚
1{2
“a
trpA˚Aq, (A.44)
pour toute matrice A“ paijq d'ordren,est une norme matricielle non subordonnée (pour ně2), invariante par transformation unitaire et qui vérie
}A}2ď }A}Eď?
n}A}2, @APMn. (A.45)
De plus}I}E“?
n. 2
Théorème A.57
1. Soit}‚}une norme matricielle subordonnée, etBune matrice vériant }B} ă1.
Alors la matricepI`Bqest inversible, et
›
›
›pI`Bq´1
›
›
›ď 1 1´ }B}.
2. Si une matrice de la formepI`Bqest singulière, alors nécessairement }B} ě1
pour toute norme matricielle, subordonnée ou non. 3
A.2.4 Réduction des matrices
4Denition A.58 5
A.Annexes A.2.AnnexesA.2.5Suitesdevecteursetdematrices
SoitA:V ÑV une application linéaire, représenté par une matrice carréeAPMn relativement à une baseteeeiuiPv1,nw.Relativement à une autre basetfffiuiPv1,nw,la même application est représentée par la matrice
B“P-1AP (A.46)
oùPest la matrice inversible dont lej-ème vecteur colonne est formé des composantes du vecteur f
f
fj dans la baseteeeiuiPv1,nw :
P“
¨
˚
˚
˚
˚
˝
xeee1, fff1y xeee1, fff2y ¨ ¨ ¨ xeee1, fffny xeee2, fff1y xeee1, fff2y ... ...
... ... ... xeeen´1, fffny xeeen, fff1y ¨ ¨ ¨ xeeen, fffn´1y xeeen, fffny
˛
‹
‹
‹
‹
‚
(A.47)
La matricePest appelée matrice de passage de la base teeeiuiPv1,nw dans le base tfffiuiPv1,nw.
1
Denition A.59
On dit que la matrice carrée A est diagonalisable s'il existe une matrice inversible P telle que la matriceP´1APsoit diagonale.
2
Claim A.60 On notera que, dans le cas où A P Mn est diagonalisable, les éléments diagonaux de la
3
matriceP-1APsont les valeurs propres λ1, λ2, . . . , λn de la matriceA, et que lej-ème vecteur colonnepppj
4
de la matricePest formé des composantes, dans la même base que A, d'un vecteur propre associé à la
5
valeur propreλj. On a
6
P-1AP“diagpλ1, . . . , λnq ðñApppj “λjpppj, @jP v1, nw. (A.48) C'est à dire qu'une matrice est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de vecteurs propres.
7
Théorème A.61
1. Etant donnée une matrice carrée A, il existe une matrice unitaire U telle que la matrice U-1AUsoit triangulaire.
2. Etant donnée une matrice normaleA, il existe une matrice unitaire Utelle que la matrice U-1AUsoit diagonale.
3. Etant donnée une matrice symétrique A, il existe une matrice orthogonaleO telle que la matriceO-1AOsoit diagonale.
8
A.2.5 Suites de vecteurs et de matrices
9
Denition A.62
SoitV un espace vectoriel muni d'une norme}‚}, on dit qu'une suitepvvvkqd'éléments deV converge vers un élémentvvvPV, si
lim
kÑ8}vvvk´vvv} “0 et on écrit
v vv“ lim
kÑ8vvvk.
10
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire Théorème A.63
SoitBune matrice carrée. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. limkÑ8Bk“0,
2. limkÑ8Bkvvv“0pour tout vecteurvvv, 3. ρpBq ă1,
4. }B} ă1 pour au moins une norme matricielle subordonnée}‚}. 1
Théorème A.64
SoitBune matrice carrée, et}‚}une norme matricielle quelconque. Alors lim
kÑ8
››Bk›
›
1{k
“ρpBq.
2
A.3 Receuil d'exercices
3A.3.1 Algèbre linéaire
4Sur les matrices 5
Exercice A.3.1
SoitAPMm,npRqetBPMn,mpRqtelles que
xAuuu, vvvym“ xuuu,Bvvvyn, @uuuPRn, @vvvPRm.
Exprimer les éléments de la matriceBen fonction de ceux de la matriceA. 6
Exercice A.3.2 7
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
Soient AetBdeux matrices triangulaires supérieures deMn.SoientEet Fdeux matrices triangu-laires inférieures de Mn.
Q. 1 1. Que peut-on dire des matricesA˚ etpA˚q˚?
2. Montrer queC“ABest triangulaire supérieure et que Ci,i“Ai,iBi,i, @iP v1, nw.
3. Montrer queG“EF est triangulaire inférieure et queGi,i“Ei,iFi,i,@iP v1, nw.
4. Que peut-on dire des matricesAE etEA? Q. 2 1. CalculerdetpAq.
2. Déterminer les valeurs propres deA.
3. Que peut-on dire si les éléments diagonaux deA sont tous distincts?
Q. 3 Soit D la matrice dénie par
D
¨
˝
2 1 0 0 2 1 0 0 2
˛
‚.
1. La matriceD est-elle inversible? Si oui calculer son inverse.
2. Pour chacune des valeurs propres, déterminer l'espace propre associé.
3. La matriceD est-elle diagonalisable? Justier.
1
Exercice A.3.3
Q. 1 Soit T P Mn,npCq une matrice triangulaire supérieure. Montrer que si T est une matrice normale alors elle est diagonale.
Q. 2 Montrer que APMn,npCqest une matrice normale si et seulement si il existeUPMn,npCq unitaire et DPMn,npCqdiagonale telle queA“UDU˚.
Q. 3 En déduire qu'une matrice normale est diagonalisable et que ses vecteurs propres sont orthog-onaux.
2
Exercice A.3.4
SoitAPMnpCqune matrice hermitienne Q. 1 Montrer que
xAuuu, uuuy PR, @uuuPCn. (A.49) On suppose de plus que la matrice Aest dénie positve.
Q. 2 1. Montrer que les éléments diagonaux deA sont strictement positifs.
2. Montrer que les sous matrices principales deAsont elles aussi hermitiennes et dénies positves.
3
Exercice A.3.5: Procédé de Gram-Schmidt
4
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire SoittvvviuiPv1,nw une base deKn.On construit successivement les vecteursuuui
uuui“vvvi´
i´1
ÿ
k“1
xuuuk, vvviy
xuuuk, uuukyuuuk, @iP v1, nw.
Montrer qu'ils forment une base orthogonale de Kn et queVectpuuu1, . . . , uuuiq “Vectpvvv1, . . . , vvviq,
@iP v1, nw. 1
Correction Exercice A.3.5 Montrons par récurrence surique 2
3
pHqi : Vectpuuu1, . . . , uuuiqest une famille orthogonale etVectpuuu1, . . . , uuuiq “Vectpvvv1, . . . , vvviq 4
Initialisation : Pouri“1,on auuu1“vvv1 etpHq1est vériée. 5 Hérédité : Soitiăn.SupposonspHqi vériée. Montrons alors quepHqi`1 est vraie. 6
On a 7
uuui`1“vvvi`1´
i
ÿ
k“1
xuuuk, vvvi`1y
xuuuk, uuuky uuuk. (A.50)
‚ En eectuant le produit scalaire de (A.50) paruuuj avecjP v1, iwon obtient 8 xuuuj, uuui`1y “ xuuuj, vvvi`1y ´
i
ÿ
k“1
xuuuk, vvvi`1y
xuuuk, uuuky xuuuj, uuuky.
Par hypothèse de récurrence, la familleVectpuuu1, . . . , uuuiqest orthogonale, c'est à dire@pr, sq P 9
v1, iw2,xuuur, uuusy “0sir‰setuuur‰0. On obtient donc 10
xuuuj, uuui`1y “ xuuuj, vvvi`1y ´xuuuj, vvvi`1y
xuuuj, uuujy xuuuj, uuujy “0, @jP v1, iw.
‚ On montre maintenant par l'absurde queuuui`1‰0. 11
Supposonsuuui`1“0.Alors de (A.50), on obtient 12
vvvi`1“
i
ÿ
k“1
xuuuk, vvvi`1y xuuuk, uuuky uuuk
et doncvvvi`1PVectpuuu1, . . . , uuuiqpHq“iVectpvvv1, . . . , vvviq.Ceci entre en contradiction avecVectpvvv1, . . . , v13vvnq
base deKn. 14
‚ On déduit de (A.50) queuuui`1PVectpuuu1, . . . , uuui, vvvi`1q.Par hypothèse de récurrence,Vectpuuu1, . . . , uuu15iq “ Vectpvvv1, . . . , vvviq, ce qui donneuuui`1PVectpvvv1, . . . , vvvi`1qet donc 16
Vectpuuu1, . . . , uuui`1q “Vectpvvv1, . . . , vvvi`1q.
˛ 17 18
Exercice A.3.6: factorisation QR
Soit A P MnpCq une matrice inversible. Pour tout i P v1, nw, on note aaai “ A:,i ses n vecteurs colonnes. En utilisant le procédé de Gram-schmidt sur la base taaa1, . . . , aaanu montrer qu'il existe une matriceQunitaire et une matrice triangulaire supérieureRà coecients diagonaux strictement
positifs tel queA“QR. 19
Correction Exercice A.3.6 On utilise le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt (voir Propo- 20 sition A.12, page 138) pour obtenir la base orthogonaletuuu1, . . . , uuunuen calculant successivement 21
uuui“aaai´
i´1
ÿ
k“1
xuuuk, aaaiy
xuuuk, uuukyuuuk, @iP v1, nw. (A.51)
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
De plus on aVectpuuu1, . . . , uuuiq “Vectpaaa1, . . . , aaaiq,@iP v1, nwOn normalise la base orthogonaletuuu1, . . . , uuunu
1
pour obtenir la base orthonorméeQ“ tqqq1, . . . , qqqnu:
2
qqqi“ uuui
}uuui}2, @iP v1, nw et l'on a aussiVectpqqq1, . . . , qqqiq “Vectpaaa1, . . . , aaaiq,@iP v1, nw.
3
On noteQPMnpKqla matrice dénie par
4
Q“
¨
˝ qqq1 ¨ ¨ ¨ qqqn
˛
‚
Cette matrice est clairement unitaire puisque la basetqqq1, . . . , qqqnuest orthonormée.
5
Montrons queQ˚Aest triangulaire supérieure. On a
6
Q˚A“
¨
˚
˝ qqq˚1
...
qqq˚n
˛
‹
‚
¨
˝ aaa1 ¨ ¨ ¨ aaan
˛
‚“
¨
˚
˝
xqqq1, aaa1y ¨ ¨ ¨ xqqq1, aaany ... ... ...
xqqqn, aaa1y ¨ ¨ ¨ xqqqn, aaany
˛
‹
‚
c'est à direpQ˚Aqi,j “ xqqqi, aaajy,@pi, jq P v1, nw. Par dénition cette matrice est triangulaire supérieure si
7
pQ˚Aqi,j “0pour toutiąj.SoitiP v1, n´1w.La baseQétant orthonormée, on aqqqiKVect`
qqq1, . . . , qqqi´1˘ .
8
CommeVect`
qqq1, . . . , qqqi´1˘
“Vectpaaa1, . . . , aaai´1q, on en déduit que
9
xqqqi, aaajy “0, @jP v1, i´1w.
La matriceQ˚Aest donc triangulaire supérieure.
10
De plus, on a
11
pQ˚Aqi,i“ xqqqi, aaaiy “ xuuui, aaaiy }uuui}2 En prenant le produit scalaire de (A.51) avecuuui on obtient
xuuui, uuuiy “ xuuui, aaaiy ´
i´1
ÿ
k“1
xuuuk, aaaiy
xuuuk, uuukyxuuui, uuuky
“ xuuui, aaaiy car xuuui, uuuky “0, @k‰i(base orthogonale) Commeuuui‰0,on obtientpQ˚Aqi,ią0.
12
On note R“ Q˚A cette matrice triangulaire supérieure avec Ri,i ą0, @i P v1, nw. La matrice Q étant
13
unitaire (i.e. QQ˚“I) alorsA“QR. ˛
14 15
Exercice: 4.1.1
16
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
Q. 2 1. Exprimer les coecients de la matriceBen fonction de la matriceA et des vecteursxxxi, iP v1, nw.
B“P˚AP.
2. En déduire que la première colonne deBest pλ,0, . . . ,0qt.
Q. 3 Montrer par récurrence sur l'ordre de la matrice que la matriceA s'écrit A“UTU˚
oùUest une matrice unitaire etT une matrice triangulaire supérieure.
Q. 4 En supposantAinversible et la décompositionA“UTU˚ connue, expliquer comment résoudre
"simplement" le système linéaireAxxx“bbb.
1
Correction Exercice 4.1.1 2
Q. 1 La première chose à faire est de construire une base contenant uuu à partir de la base canon- 3 ique teee1, . . . , eeenu. Comme le vecteur propreuuu est non nul, il existe j P v1, nw tel que xuuu, eeejy ‰ 0. La 4 familletuuu, eee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenuforme alors une base de Cn caruuun'est pas combinaison linéaire des 5
teee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenu. 6
On notetzzz1, . . . , zzznula base dont le premier élément estzzz1“uuu: 7
tzzz1, . . . , zzznu “ tuuu, eee1, . . . , eeej´1, eeej`1, . . . , eeenu.
On peut ensuite utiliser le procédé de Gram-Schmidt, rappelé en Proposition A.12, pour construire une base orthonormée à partir de cette base.
On calcule successivement les vecteursxxxi à partir de la base tzzz1, . . . , zzznuen construisant un vecteurwwwi
puis on obtient le vecteurxxxi en normalisant x x xi“ wwwi
}wwwi}
Q. 2 1. En conservant l'écriture colonne de la matricePon obtient
B“
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
Q. 3 On veut démontrer, par récurrence faible, la proposition suivante pourně2
3
pPnq @APMnpCq, DUPMnpCqunitaire, DTPMnpCqtriangulaire supérieure, telles queA“UTU˚. Initialisation : Montrons quepP2qest vérié.
4
Soit A2 P M2pCq. Elle admet au moins un élément propre pλ, uuuq(voir Proposition A.37 par ex.)
5
avec}uuu} “1.On peut donc appliquer le résultat de la question précédente : il existe une matrice
6
unitaireP2PM2pCqtelle que la matriceB2“P2A2P˚2 ait comme premier vecteur colonnepλ,0qt.
7
La matriceB2 est donc triangulaire supérieure et commeP2 est unitaire on en déduit
8
A2“P˚2B2P2.
On poseU2“P˚2 matrice unitaire et T2“B2 matrice triangulaire supérieure pour conclure que la
9
propostionpP2qest vraie.
10
Hérédité : Supposons quepPn´1qsoit vériée. Montrons quepPnqest vraie.
11
SoitAn P MnpCq. Elle admet au moins un élément propre pλ, uuuq (voir Proposition A.37 par ex.)
12
avec}uuu} “1.On peut donc appliquer le résultat de la question précédente : il existe une matrice
13
etTn´1PMn´1pCqtriangulaire supérieure telles que
16
La matriceQn est unitaire. En eet on a
19
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
La matriceTn est donc triangulaire supérieure et on a par dénition de Bn 1
Tn“Q˚nPnAnP˚nQn.
Or A inversible équivalent à detpAq ‰ 0 et donc la matrice T est inversible. La matrice T étant 8 triangulaire inférieure on peut résoudre facilement le système par la méthode de remontée. 9 2. une foisyyy déterminé, on résoudU˚xxx“yyy.CommeUest unitaire, on obtient directementxxx“Uyyy. 10
˛ 11 12
Inverse d'une matrice 13
Exercice A.3.7 14
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
SoitAPM3pRqdénie par
A“
¨
˝
1 1 1 1 2 2 1 2 3
˛
‚
Q. 1 Calculer le déterminant de la matriceA.Que peut-on en conclure?
Q. 2 Calculer si possible l'inverse de la matrice Aen utilisant la technique de la matrice augmentée.
1
Exercice A.3.8
Soient AetB,deux matrices deMnpKq.
Q. 1 Montrer que
AB“IñBA“I (A.53)
Conclure.
2
Exercice A.3.9
Q. 1 Soit Aune matrice inversible et symétrique, montrer que A´1 est symétrique.
Q. 2 Soit Aune matrice carrée telle que I´Aest inversible. Montrer que ApI´Aq´1“ pI´Aq´1A.
Q. 3 SoientA,Bdes matrices carrées inversibles de même dimension telle queA`Bsoit inversible.
Montrer que
ApA`Bq´1B“BpA`Bq´1A“`
A´1`B´1˘´1
3
Exercice A.3.10
SoitLPMnpCqune matrice triangulaire inférieure.
Q. 1 A quelle(s) condition(s) la matrice Lest-elle inversible?
On supposeLinversible et on noteX“L-1.
Q. 2 Montrer que Xest une matrice triangulaire inférieure avec Xi,i“ 1
Li,i, @iP v1, nw.
4
Correction Exercice A.3.10
5
Q. 1 La matriceLest inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Or le déterminant d'une
6
matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux. Pour avoir L,matrice triangulaire,
7
inversible, il est nécessaire et susant d'avoir
8
Lii‰0, @iP v1, nw.
Q. 2 La matriceXétant la matrice inverse deL,on a
9
LX“I (A.54)
On noteXXXrjs“X:,j lej-ème vecteur colonne de la matriceXeteeerjs lej-ème vecteur de la base canonique
10
deCn (erjsi “δi,j).
11
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
L'équation (A.54) peut donc se réécrire 1
L
ou encore, déterminer la matriceXinverse deLreviens à résoudre les nsystèmes linéaires suivants: 2 LXXXrjs“eeerjs, @jP v1, nw. (A.55)
‚ Pour montrer queXest triangulaire inférieure il sut de vérier que pour toutj P v2, nw 3
Xirjs“0, @iP v1, j´1w.
Soit j P v2, nw. On décompose la matrice L en la matrice bloc carré 2 par 2 ou le premier bloc 4 diagonal, notéLj´1,est une matrice triangulaire inférieure inversible de dimensionj´1.Le système 5
(A.55) s'écrit alors 6
LXXX
On en déduit donc que nécessairement 8
¨
Xest triangulaire inférieure. 10
‚ Par dénition du produit matricielle, de l'équation (A.54) on tire pour toutjP v1, nw 11
pLXqj,j “ pIqj,j ðñ
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.1Algèbrelinéaire
SoitAPMn,npKqetU,B, Vtrois matrices rectangulaires.
Q. 1 Sous quelles hypothèses peut-on dénir la matrice G suivante G“A´1´A´1U`
I`BVA´1U˘´1
BVA´1? (A.56)
Q. 2 Montrer que pA`UBVqG“I.Conclure.
Q. 3 Soit βPR etuuu, vvvPCn.Calculer pA`βuuuvvvtq´1.
1
Exercice A.3.12
Etant donnée une matriceDPMn,npCq, on pose
D“A`ıBavecA,BPMn,npRq Sous certaines hypothèses à préciser, établir la relation
D´1“`
A`BA´1B˘´1
´ıA´1B`
A`BA´1B˘´1
.
2
Matrices blocs
3
Exercice A.3.13
On considère les matrices blocs suivantes
A“
¨
˚
˚
˝
1 2 1 0 3 4 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
˛
‹
‹
‚
“
ˆ C I I 0
˙
et B“
¨
˚
˚
˝
1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 3 4 3 4
˛
‹
‹
‚
“
ˆ I 0 C C
˙
avec par identication
I“ ˆ1 0
0 1
˙
et C“ ˆ1 2
3 4
˙
Q. 1 Calculer les matrices ABetBAen utilisant l'écriture bloc.
Q. 2 Exprimer les matrices ApA`Bqetp2B´AqpB`Aqen fonction des matricesCetI.
4
Exercice A.3.14
Soient APMn,kpKqet BPMk,npKq.On noteLla matrice L“
ˆ I´BA B 2A´ABA AB´I
˙ .
Q. 1 Montrer que la matriceL est bien dénie et spécier les dimensions des blocs.
Q. 2 CalculerL2. Que peut-on en conclure?
5
Exercice A.3.15: résultats à savoir
6
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.2Normes SoientAPMmpCq,BPMnpCqetDPMm,npCq.
Q. 1 Calculer, en fonction des déterminant de AetB,le déterminant des matrices E“
ˆ A O O In
˙ , F“
ˆ Im O O B
˙
, etG“
ˆ A 0 0 B
˙ . Q. 2 SoitH“
ˆ A D 0 B
˙
. En utilisant les factorisationsQRdes matricesA etB,montrer que
detpHq “detpAqdetpBq. (A.57)
Q. 3 En déduire qu'une matrice triangulaire supérieure par blocs est inversible si et seulement si ses matrices blocs diagonales sont inversibles.
Q. 4 En déduire qu'une matrice triangulaire inférieure par blocs est inversible si et seule-ment si ses matrices blocs diagonales sont inversibles.
1
A.3.2 Normes
2Normes vectorielles 3
Exercice A.3.16
Soientxxxetyyy deux vecteurs deCn.
Q. 1 Trouver αPCtel quexαxxx´yyy, xxxy “0.
Q. 2 En calculant}αxxx´yyy}22,montrer que
| xxxx, yyyy | ď }xxx}2}yyy}2. (A.58) Q. 3 Soitxxx‰0. Montrer alors que l'inégalité (A.58) est une égalité si et seulement si yyy“αxxx.
4
Correction Exercice A.3.16 5
Q. 1 ‚ Sixxx“0,alorsαquelconque. 6
‚ Sixxx‰0,alors 7
xαxxx´yyy, xxxy “0 ðñ αxxxx, xxxy ´ xyyy, xxxy “0
Orxxx‰0,ce qui donne 8
α“ xyyy, xxxy
xxxx, xxxy. (A.59)
Q. 2 On a 9
}αxxx´yyy}22 “ xαxxx´yyy, αxxx´yyyy
“ αxαxxx´yyy, xxxy ´ xαxxx´yyy, yyyy
“ ´ xαxxx´yyy, yyyy, car xαxxx´yyy, xxxy “0
“ ´αxxxx, yyyy ` xyyy, yyyy
En utilisant (A.59), on obtient alors 10
}αxxx´yyy}22 “ ´xyyy, xxxy
xxxx, xxxyxxxx, yyyy ` xyyy, yyyy
“ ´ xyyy, xxxy xxxx, yyyy ` xyyy, yyyy xxxx, xxxy xxxx, xxxy
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.2Normes
Commexyyy, xxxy “ xxxx, yyyy,on a xyyy, xxxy xxxx, yyyy “ | xxxx, yyyy |2et donc
1
}αxxx´yyy}22 “ 1 xxxx, xxxy
´
´| xxxx, yyyy |2` }xxx}22}yyy}22
¯ (A.60)
ě 0.
On a alors
| xxxx, yyyy |2ď }xxx}22}yyy}22 La fonctionxÞÑ?
xétant croissante surr0;`8r,on obtient (A.58).
2
Q. 3 Soitxxx‰0. On veut montrer que
| xxxx, yyyy | “ }xxx}2}yyy}2 ðñ yyy“αxxx ð On supposeyyy“αxxx.On a alors
xxxx, yyyy “αxxxx, xxxy “α}xxx}22 ùñ | xxxx, yyyy | “ |α| }xxx}22. Comme}yyy}2“ |α| }xxx}2,on a aussi
}xxx}2}yyy}2“ |α| }xxx}22. On en déduit alors
| xxxx, yyyy | “ }xxx}2}yyy}2.
ñ On suppose| xxxx, yyyy | “ }xxx}2}yyy}2. Avec cette hypothèse, l'équation (A.60) devient }αxxx´yyy}22“0
et doncαxxx´yyy“0,c'est à direyyy“αxxx.
3
˛
4 5
Exercice A.3.17
Soientxxxetyyy deux vecteurs deCn. Q. 1 Démontrer l'inégalité triangulaire
}xxx`yyy}2ď }xxx}2` }yyy}2. (A.61) Q. 2 Sixxxetyyysont non nuls, prouver que l'inégalité (A.61) est une égalité si et seulement siyyy“αxxx avec αun réel strictement positif.
Q. 3 Déduire de (A.61) l'inégalité suivante :
| }xxx}2´ }yyy}2| ď }xxx´yyy}2. (A.62) Q. 4 Soient xxx1, . . . , xxxp, p vecteurs deCn.Montrer que
›
›
›
›
›
p
ÿ
i“1
xxxi
›
›
›
›
›2
ď
p
ÿ
i“1
}xxxi}2. (A.63)
6
Correction Exercice A.3.17
7
Q. 1 On rappele que}xxx}22“ xxxx, xxxy.On obtient, en utilisant les propriétés du produit scalaire,
8
}xxx`yyy}22 “ xxxx`yyy, xxx`yyyy
“ xxxx, xxxy ` xxxx, yyyy ` xyyy, xxxy ` xxxx, xxxy
“ }xxx}22` }yyy}22` xxxx, yyyy ` xyyy, xxxy.
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.2Normes Pour tout nombre complexez, on az`z“2 Repzq,et|z| ěRepzq.1 Commexyyy, xxxy “ xxxx, yyyy, on a 1
}xxx`yyy}22 “ }xxx}22` }yyy}22`2 Repxxxx, yyyyq (A.64) ď }xxx}22` }yyy}22`2| xxxx, yyyy |.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne
| xxxx, yyyy | ď }xxx}2}yyy}2
et donc 2
}xxx`yyy}22 ď }xxx}22` }yyy}22`2}xxx}2}yyy}2
“ p}xxx}2` }yyy}2q2. La fonction xÞÑ?
xétant croissante sur r0;`8r,on obtient }xxx`yyy}2ď }xxx}2` }yyy}2.
Q. 2 Soientxxxetyyy deux vecteurs deCn non nuls. On veut démontrer que }xxx`yyy}2“ }xxx}2` }yyy}2ðñyyy“αxxx, αą0.
ð On supposeyyy “αxxxavecαą0. 3
On a alors 4
}xxx`yyy}2 “ }xxx`αxxx}2
“ }p1`αqxxx}2
“ |1`α| }xxx}2.
Commeαą0, on a |1`α| “1`αet donc 5
}xxx`yyy}2“ }xxx}2`α}xxx}2. (A.65)
De plus, on a 6
}yyy}2 “ }αxxx}2
“ |α| }xxx}2
“ α}xxx}2, car αą0.
D'après (A.65), on en déduit
}xxx`yyy}2“ }xxx}2` }yyy}2.
ñ On suppose que 7
}xxx`yyy}2“ }xxx}2` }yyy}2. (A.66)
Ce qui donne 8
9
}xxx`yyy}22“ }xxx}22` }yyy}22`2}xxx}2}yyy}2 (A.67)
On déduit alors de l'égalité (A.64) que 10
Repxxxx, yyyyq “ }xxx}2}yyy}2. (A.68) Or, on a,@zPC, Repzq ď |z|et donc, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz
}xxx}2}yyy}2“Repxxxx, yyyyq ď | xxxx, yyyy | ď }xxx}2}yyy}2 ce qui impose
| xxxx, yyyy | “ }xxx}2}yyy}2.
D'après l'exercice précédant, cette égalité est vériée si et seulement siyyy“αxxxavecα“ xyxxyy,xxx,xxxyxxy. 11
Il nous reste à vérier que αą0. 12
L'hypothèse (A.66) avecyyy“αxxxdevient 13
}xxx`yyy}2“ |1`α| }xxx}2“ }xxx}2` }yyy}2“1` |α| }xxx}2. (A.69)
1En eet,z“a`ıbetz“a´ıbd'oùz`z“2a.De plus,|z|2“a2`b2ěa2ce qui donne|z| ě |a| ěa.
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.2Normes En combinant ces deux inégalités, on obtient alors
| }xxx}2´ }yyy}2| ď }xxx´yyy}2. Q. 4 On eectue une démonstration par récurrence.
4
‚ Soitną2,on suppose quePpnqest vériée (hypothèse de récurrence). On veut alors montrer que
7 La propriétéPpn`1qest donc vériée.
10
On a donc démontré par récurrence que la propriétéPpnqest vraie pour toutně2.
11
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.2Normes Q. 1 Soit la fonctionfptq “ p1´λq `λt´tλ avec0ăλă1.Montrer que pour tousαě0etβě0
on a
αλβ1´λďλα` p1´λqβ. (A.71)
Soientxxxetyyydeux vecteurs non nuls deCn.Soientpą1et qą1vériant p1`1q “1.
Q. 2 On poseuuu“ }xxx}xxx
p etvvv“}yyy}yyy
q. En utilisant l'inégalite (A.71), montrer que l'on a l'inégalité de
Hölder n
ÿ
i“1
|uivi| ď 1 p
n
ÿ
i“1
|ui|p`1 q
n
ÿ
i“1
|vi|q “1. (A.72)
Q. 3 En déduire l'inégalité de suivante
| xxxx, yyyy | ď }xxx}p}yyy}q. (A.73) Quel est le lien entre l'inégalité de Hölder et l'inégalité de Cauchy-Schwarz?
1
Correction Exercice A.3.18 2
Q. 1 L'inégalité (A.71) est vériée siα“0ouβ“0.Il nous reste donc à la vérier pourαą0etβą0.
Dans ce cas (A.71) s'écrit
ˆα β
˙λ
ďλα
β ` p1´λq c'est à dire
fpα βq ě0.
Montrons quefptq ě0,@tPs0,`8r.
On af1ptq “λp1´tλ´1qet
f1ptq “0 ô 1´tλ´1“0
ô t“1car ´1ăλ´1ă0
De plus, on atλ´1“epλ´1qlnptq. 3
• Etudions la fonction sur s0,1r. On a pourtPs0,1r, lnptq ă 0 et doncpλ´1qlnptq ą0.Comme la 4 fonctionexpest croissante, on en déduitexpppλ´1qlnptqq ą1et alorsf1ptq ă0. 5 6
• Etudions la fonction surs1,`8r.On a pourtPs1,`8r,lnptq ą0et doncpλ´1qlnptq ă0.Comme 7 la fonction expest croissante, on en déduit 0ăexpppλ´1qlnptqq ă1et alorsf1ptq ą0. 8
Le minimum def est donc atteint ent“1 et on a
@tPs0,`8r, fpxq ěfp1q “0.
L'inégalité (A.71) est donc vériée@αě0,@βě0 et@λPs0,1r. 9
Q. 2 On poseλ“ 1p Ps0,1r.on a alors1´λ“ 1q.On pose
α“ |ui|pě0, β“ |vi|q ě0.
En utilisant (A.71), on obtient directement
|ui||vi| ď1
p|ui|p`1
q|vi|q, @iP v1, nw.
En sommant surion obtient:
n
ÿ
i“1
|uivi| ď1 p
n
ÿ
i“1
|ui|p`1 q
n
ÿ
i“1
|vi|q “1
p}uuu}pp`1 q}vvv}qq Comme par construction}uuu}p“ }vvv}q “1,on obtient
n
ÿ
i“1
|uivi| ď 1 p`1
q “1.
A.Annexes A.3.AnnexesA.3.2Normes
Q. 3 Par construction, on a
n
ÿ
i“1
|uivi| “ 1 }xxx}p}yyy}q
n
ÿ
i“1
|xiyi| et donc en utilisant l'inégalité (A.73) on obtient
n
ÿ
i“1
|xiyi| ď }xxx}p}yyy}q. De plus
| xxxx, yyyy | “ |
n
ÿ
i“1
xiyi| ď
n
ÿ
i“1
|xiyi| “
n
ÿ
i“1
|xiyi| ď }xxx}p}yyy}q. Pourp“q“2, l'inégalité de Hölder entraine l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
1
˛
2 3
Exercice A.3.19
Soitpą1et qle nombre tel que 1q “1´p1. Q. 1 Vérier que @pα, βq PC2 on a
|α`β|pď |α||α`β|p{q` |β||α`β|p{q. (A.74) Q. 2 En utilisant l'inégalité de Hölder et (A.74), démontrer l'inégalité de Minkowski :
}xxx`yyy}pď }xxx}p` }yyy}p, @xxxPCn, @yyyPCn, pě1. (A.75)
4
Normes matricielles
5
Exercice A.3.20: Norme de Frobenious SoitAPMnpCq.On dénit l'application}‚}F par
}A}2F “
n
ÿ
i“1 n
ÿ
j“1
|aij|2. (A.76)
Q. 1 On note, respectivement,AAAi,:,@iP v1, nwetAAA:,j,@jP v1, nw les vecteurs lignes et colonnes de A.Montrer que
}A}2F “
n
ÿ
i“1
}AAAi,:}22“
n
ÿ
j“1
}AAA:,j}22“trA˚A. (A.77) Q. 2 Montrer que
}Axxx}2ď }A}F}xxx}2, @xxxPCn. (A.78) Q. 3 Montrer que cette application est une norme matricielle (nommée norme de Frobenius).
Q. 4 Calculer}A˚}F et }In}F oùIn est la matrice identitée deMnpCq.
6
Exercice A.3.21 1
A.Annexes A.4.AnnexesA.4.1Codessurlaméthodededichotomie/bisection SoitAPMm,npCq.Montrer les propriétés suivantes
1. }A}2“ max
}xxx}2“1 }yyy}2“1
| xAxxx, yyyy |.
2. }A}2“ }A˚}2. 3. }A˚A}2“ }A}22.
4. }U˚AV}2“ }A}2 quandUU˚“Iet VV˚“I 2
Exercice A.3.22
SoientAPMm,npCq,BPMn,lpCq, xxxPCn etpě1.Montrer que
}Axxx}p ď }A}p}xxx}p (A.79)
}A}p “ max
}xxx}p“1
}Axxx}p (A.80)
}A}p “ max
}xxx}pď1
}Axxx}p (A.81)
}AB}p ď }A}p}B}p (A.82) 3
Exercice A.3.23
SoitAPMnpCq. Montrer que l'on a
}A}1 “ max
jPv1,nw n
ÿ
i“1
|aij|, (A.83)
}A}2 “ ρpAA˚q1{2, (A.84)
}A}8 “ max
iPv1,nw n
ÿ
j“1
|aij|. (A.85)
1
A.Annexes A.4.AnnexesA.4.1Codessurlaméthodededichotomie/bisection
A.4 Listings
2