Factorisation de Cholesky

ðù SoitAPMnpCqune matrice hermitienne dénie positive.

5

D'après le Corollaire 4.10, page 85, la matriceAadmet une unique factorisationLUet donc d'après

6

le Théorème 4.13, page 91, la matrice hermitienneApeut s'écrire sous la formeA“LDL^˚ oùDest

7

diagonale à coecients réels etLtriangulaire inférieure à diagonale unité. Il reste à démontrer que

8

Di,ią0, @iP v1, nw.

9

CommeAest dénie positive, on a@xxxPCⁿzt0u,xAxxx, xxxy ą0.Or on a

10

xAxxx, xxxy “ xLDL^˚xxx, xxxy “ xDL^˚xxx,L^˚xxxy

On noteteee1,¨ ¨ ¨ , eeenu,la base canonique de Cⁿ et on rappelle que @iP v1, nw,xDeeei, eeeiy “Di,i.Soit

11

iP v1, nw.En choisissantxxx“ pL^˚q^-1eeei‰0,on obtient alors

12

xDL^˚xxx,L^˚xxxy “ xDeee_i, eee_iy “D_i,ią0.

13

4.2.5 Factorisation de Cholesky

14

Denition 4.14

Une factorisation régulière de Cholesky d'une matrice APMnpCqest une factorisation A“ BB^˚ oùBest une matrice triangulaire inférieure inversible.

Si les coecients diagonaux de B sont positifs, on parle alors d'une factorisation positive de Cholesky.

15

Théorème 4.15: Factorisation de Cholesky

La matriceAPMnpCqadmet une factorisation régulière de Cholesky si et seulement si la matrice A est hermitienne dénie positive. Dans ce cas, elle admet une unique factorisation positive.

16

Proof. ùñ SoitAPMnpCqadmettant une factorisation régulière de CholeskyA“BB^˚ avecBest une

17

matrice triangulaire inférieure inversible.

18

La matriceAest hermitienne car

19

A^˚“ pBB^˚q^˚“ pB^˚q^˚B^˚“BB^˚“A.

SoitxxxPCⁿzt0u, on a

20

xAxxx, xxxy “ xBB^˚xxx, xxxy “ xB^˚xxx,B^˚xxxy “ }B^˚xxx}²ą0

carB^˚xxx‰0(B^˚ inversible etxxx‰0). Donc la matriceAest bien hermitienne dénie positive.

21

ðù SoitAPMnpCqune matrice hermitienne dénie positive.

22

D'après le Corollaire 4.13, page 91, il existe alors une matriceLPMnpCqtriangulaire inférieure à

23

diagonale unité et une matriceDPMnpRqdiagonale à coecient strictement positifs telles que

24

A“LDL^˚.

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.5FactorisationdeCholesky On note HMnpRq une matrice diagonale inversible vériant H² “ D (i.e. Hi,i “ ˘Di,i ‰ 0, 1

@iP v1, nw). On a alors ²

A“LHHL^˚“ pLHqpLHq^˚

En posantB“LH,la matriceBest bien triangulaire inférieure inversible car produit d'une matrice ³ triangulaire inférieure inversible par une matrice diagonale inversible et on aA“BB^˚. 4

Montrons qu'une factorisation positive de Cholesky est unique. ⁵

SoientB1 etB2 deux factorisations positives de la matriceA,on a donc ⁶ A“B1B^˚₁ “B2B^˚₂.

En multipliant à gauche parB^-1₂ et à droite parpB^˚₁q^-1 cette équation on obtient B^-1₂ B₁“B^˚₂pB^˚₁q^-1“B^˚₂pB^-1₁ q^˚“ pB^-1₁ B₂q^˚

En notantG“B^-1₂ B1,on tire de l'équation précédente ⁷

G“ pG^-1q^˚. (4.26)

On déduit de la (voir Proposition A.37, page 144), que l'inverse d'une matrice triangulaire inférieure à 8

coecients diagonaux réels strictement positifs est aussi une matrice triangulaire inférieure à coecients 9

diagonaux réels strictement positifs. De la (voir Proposition A.36, page 144), on obtient que le produit ¹⁰ de matrices triangulaires inférieures à coecients diagonaux réels strictement positifs reste triangulaire ¹¹ inférieure à coecients diagonaux réels strictement positifs, on en déduit que les matricesG“B^-1₂B1 et ¹² G^-1“B^-1₁ B2sont triangulaires inférieures à coecients diagonaux réels strictement positifs. Or l'équation ¹³ (4.26) identie la matrice triangulaire inférieure G à la matrice triangulaire supérieurepG^-1q^˚ : ce sont ¹⁴ donc des matrices diagonales à coecients diagonaux réels strictement positifs et on a alorspG^-1q^˚ “G^-1. 15

De l'équation (4.26), on obtient alorsG“G^-1,c'est à direG“I“B^-1₂ B1 et doncB1“B2. 16

Résolution d'un système linéaire par la factorisation de Cholesky ¹⁷

Pour commencer, avec la factorisation de Cholesky point de salut sans matrice hermitienne dénie posi- ¹⁸

tive! ¹⁹

N'utiliser la factorisation de Cholesky pour la résolution d'un système linéaire que si la matrice

du système est hermitienne dénie positive. 20

Soit A P M_npCq une matrice hermitienne dénie positive et bbb P Cⁿ. Grâce au théorème 4.15, on 21

obtient : ²²

23

TrouverxxxPCⁿ tel que

Axxx“bbb. (4.27)

24

est équivalent à ²⁵

26

TrouverxxxPCⁿ solution de

B^˚xxx“yyy (4.28)

avecBla matrice de factorisation positive de Cholesky de la ma-triceAavecyyyPCⁿ solution de

Byyy“bbb. (4.29)

27

On est donc ramené à ²⁸

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.5FactorisationdeCholesky

Algorithme 4.14 Algorithme de base permettant de résoudre, par une factorisation de Cholesky positive, le système linéaire

Axxx“bbb

oùAune matrice de M_npCqhermitienne dénie positive etbbbPCⁿ. Données : A : matrice deM_npCqhermitienne dénie positive,

bbb : vecteur deCⁿ. Résultat : xxx : vecteur deCⁿ.

1: Trouver la factorisation positive de CholeskyBde la matriceA,

2: résoudre le système triangulaire inférieurByyy“bbb,

3: résoudre le système triangulaire supérieurV^˚xxx“yyy.

Ceci permet donc de découper le problème initial en trois sous-problèmes plus simples. De plus,

1

ceux-ci peuvent se traiter de manière indépendante.

2

Algorithme 4.15 FonctionRSLCholesky permettant de résoudre, par une factorisation de Cholesky positive, le système linéaire

Axxx“bbb

oùAune matrice hermitienne de MnpCqdénie positive etbbbPCⁿ. Données : A : matrice deMnpCqsymétrique dénie positive,

bbb : vecteur deCⁿ. Résultat : xxx : vecteur deCⁿ.

1: FonctionxxxÐRSLCholesky(A, bbb)

2: BÐCholeskypAq ŹFactorisation positive de Cholesky

3: yyyÐRSLTriInfpL, bbbq ŹRésolution du systèmeByyy“bbb

4: UÐMatAdjointepBq ŹCalcul de la matrice adjointe deB

5: xxxÐRSLTriSuppU, yyyq ŹRésolution du systèmeB^˚xxx“yyy

6: Fin Fonction

Il nous faut donc écrire la fonctionCholesky (les deux fonctions RSLTriInf etRSLTriSup ayant

3

déjà été écrites et la fonctiontranspose étant simple à écrire).

4

Factorisation positive de Cholesky : écriture de l'algorithme

5

SoitAPMnpCqune matrice hermitienne dénie positive. D'après le Théorème 4.15, il existe une unique

6

Pour déterminer la matriceB,on commence par calculer b1,1(la 1ère ligne deBest donc déterminée)

9

ce qui nous permet de calculer la 1ère colonne deB.

10

Ensuite, on calcule b2,2 (la 2ème ligne deBest donc déterminée) ce qui nous permet de calculer la 2ème

11

colonne deB.Etc ...

12

On écrit en détail les ranements successifs permettant d'aboutir à l'algorithme nal de telle manière

13

que le passage entre deux ranements successifs soit le plus simple possible.

14 15

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.5FactorisationdeCholesky

Algorithme4.16 R₀

1: CalulerlamatrieB

Algorithme4.16 R₁

1: PouriÐ1^àn^faire

2: Calulerbi,i,^{onnaissantles} i´1^premières

olonnesdeB.

3: Calulerlai^èmeolonnedeB.

4: FinPour

1 2

Pour calculer bi,i,connaissant lesi´1premières colonnes deB.on utilise (4.30) : ³ ai,i“

et commeBest triangulaire inférieure on obtient ⁴

ai,i“

Comme lesi´1 premières colonnes deBont déjà été calculées, bi,i est parfaitement déterminée par la ⁶

formule précédente. ⁷

Remarque 4.16 Les hypothèses sur la matriceApermettent d'armer que,@iP v1, nw,ai,i´ři´1

j“1|bi,j|²ą 8

CommeLest triangulaire inférieure on obtient 12

aj,i“

Algorithme4.16 R₁

1: PouriÐ1^àn^faire

2:

Calulerbi,i,^{onnaissantles} i´1^{premièresolonnesde}B.

3: Calulerla i^{ème olonnede}B.

4: FinPour

Algorithme4.16 R₂

1: PouriÐ1^àn^faire

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.5FactorisationdeCholesky

1

Algorithme4.16 R₂

1: PouriÐ1^àn^faire

Algorithme4.16 R₃

1: PouriÐ1^àn^faire

Algorithme4.16 R₃

1: PouriÐ1^àn^faire

Algorithme4.16 R₄

1: PouriÐ1^àn^faire

On obtient alors l'algorithme nal

6

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR Algorithme 4.16 FonctionCholesky permettant de calculer la matriceB,dites matrice de factorisation

positive de Cholesky associée à la matriceA,telle que A“BB^˚.

Données : A : matrice deMnpCqhermitienne dénie positive.

Résultat : B : matrice deMnpCqtriangulaire inférieure avec Bpi, iq ą0, @iP v1, nw

1: Fonction BÐCholesky( A )

2: PouriÐ1ànfaire

3: S₁Ð0

4: Pour jÐ1à i´1 faire

5: S₁ÐS₁` |Bpi, jq|²

6: Fin Pour

7: Bpi, iq ÐsqrtpApi, iq ´S1q

8: Pour jÐ1à i´1 faire

9: Bpj, iq Ð0

10: Fin Pour

11: Pour jÐi`1 ànfaire

12: S2Ð0

13: PourkÐ1ài´1faire

14: S2ÐS2`Bpj, kq ˚Bpi, kq

15: Fin Pour

16: Bpj, iq Ð pApj, iq ´S₂q{Bpi, iq.

17: Fin Pour

18: Fin Pour

19: Fin Fonction

4.2.6 Factorisation QR

1

La tranformation de Householder ²

Denition 4.17: Matrice élémentaire de Householder

Soit uuu P Cⁿ tel que }uuu}₂ “ 1. On appelle matrice élémentaire de Householder la matrice Hpuuuq PMnpCqdénie par

Hpuuuq “I´2uuuuuu^˚. (4.35) ₃

Propriété 4.18

Toute matrice élémentaire de Householder est hermitienne et unitaire. ⁴

Proof. Pour simplier, on noteH“Hpuuuq.Cette matrice est hermitienne car ⁵ H^˚“ pI´2uuuuuu^˚q^˚“I´2puuuuuu^˚q^˚“I´2uuuuuu^˚ “H.

Montrons qu'elle est unitaire (i.e. H^˚H“I). On a

H^˚H“HH“ pI´2uuuuuu^˚qpI´2uuuuuu^˚q

“I´4uuuuuu^˚`4uuuuuu^˚uuuuuu^˚.

Or on auuu^˚uuu“ }uuu}₂“1 par hypothèse et donc ⁶

H^˚H“I´4uuuuuu^˚`4uuupuuu^˚uuuquuu^˚“I.

7

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR

Propriété 4.19

SoientxxxPKⁿ etuuuPKⁿ,}uuu}₂“1.On notexxx_k“proj_uuupxxxq^def“ xuuu, xxxyuuuetxxx_K“xxx´xxx_k.On a alors Hpuuuqpxxx_K`xxx_kq “xxx_K´xxx_k. (4.36) et

Hpuuuqxxx“xxx, si xxxx, uuuy “0. (4.37)

1

Proof. On note que par constructionxuuu, xxx_Ky “0. On a

Hpuuuqpxxx_K`xxx<sub>k</sub>q “ pI´2uuuuuu<sup>˚</sup>q pxxx<sub>K</sub>`xxx_kq “xxx_K`xxx_k´2uuu uuu^˚xxx_K loomoon

“0

´2uuuuuu^˚xxx_k

“xxx_K`xxx<sub>k</sub>´2uuuuuu<sup>˚</sup>uuuxuuu, xxxy “xxx<sub>K</sub>`xxx_k´2uuu ulouuomo^˚uuuon

“1

uu u^˚xxx

“xxx_K`xxx<sub>k</sub>´2uuuuuu<sup>˚</sup>xxx“xxx<sub>K</sub>`xxx_k´2xxx_k

“xxx_K´xxx_k. Sixxxx, uuuy “0 alorsxxx_k“0etxxx“xxx_K.

2

Théorème 4.20

Soient aaa, bbb deux vecteurs non colinéaires de Cⁿ avec }bbb}₂ “ 1. Soit α P C tel que |α| “ }aaa}₂ et argα“ ´argxaaa, bbby rπs.On a alors

H

ˆ aaa´αbbb }aaa´αbbb}₂

˙

aaa“αbbb. (4.38)

3

Proof. (voir Exercice 4.2.5, page 98)

4

Exercice 4.2.5

Soient aaa etbbb deux vecteurs non colinéaires de Cⁿ avec }bbb}₂“1. On va chercherαPCet uuuPCⁿ vériant

Hpuuuqaaa“αbbb. (4.39)

Q. 1 1. Montrer que siαvérie (4.39) alors |α| “ }aaa}₂. 2. Montrer que siargα“ ´argpxaaa, bbbyq rπs alorsαxaaa, bbby PR. Q. 2 Soient αetuuuvériant (4.39).

1. Montrer que

| xuuu, aaay |²“ xaaa, aaay ´αxaaa, bbby

2 (4.40)

2. Montrer que siargα“ ´argpxaaa, bbbyq rπs alors xaaa, aaay ´αxaaa, bbby PR^˚`. 3. En déduire que

uuu“ 1

2λpaaa´αbbbq, avec λ“ ˘

ˆxaaa, aaay ´αxaaa, bbby 2

˙1{2

(4.41)

5

Correction Exercice 4.2.5 On poseH“Hpuuuqpour alléger les notations.

6

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR Q. 1 1. On a

}aaa}²₂“ xaaa, aaay “ xH^˚Haaa, aaay carHunitaire

“ xHaaa,Haaay par dénition du produit scalaire

“ }Haaa}²₂“ }αbbb}²₂“ |α|²}bbb}²₂“ |α|².

2. On a par dénition de l'argumentα“ |α|e^ıargα etxaaa, bbby “ | xaaa, bbby |e^{ıargpxaaa,bbbyq}ce qui donne ¹ αxaaa, bbby “ |α|| xaaa, bbby |eıpargα`argpxaaa,bbbyqq (4.42) et donc αxaaa, bbbyest réel siargα`argpxaaa, bbbyq “0rπs. 2

Q. 2 1. On a

Hpuuuqaaa“αbbbðñ pI´2uuuuuu^˚qaaa“αbbb ðñ aaa´2uuupuuu^˚aaaq “αbbb

et donc ³

aaa´2xuuu, aaayuuu“αbbb (4.43) En eectuant le produit scalaire avecaaade cette dernière équation, on obtient ⁴

xaaa, aaay ´2xuuu, aaay xaaa, uuuy “αxaaa, bbby

ce qui prouve (4.40). ⁵

2. On a montré en Q.1 que αxaaa, bbby P R et donc xaaa, aaay ´αxaaa, bbby P R. Il reste donc à montrer que 6

xaaa, aaay ´αxaaa, bbby ą0. 7

‚ Siargα“ ´argpxaaa, bbbyq`πr2πs,alors de (4.42) on obtientαxaaa, bbby ď0et doncxaaa, aaay´αxaaa, bbby ď 8

}aaa}₂ą0 caraaa‰0. 9

‚ Si argα“ ´argpxaaa, bbbyq r2πs,alors de (4.42) on obtientαxaaa, bbby ě0. 10

Comme les vecteursaaaetbbbne sont pas colinéaires on a inégalité stricte dans Cauchy-Schwarz : ¹¹

| xaaa, bbby | ă }aaa}₂}bbb}₂“ }aaa}₂.

On obtient donc ¹²

0ďαxaaa, bbby ď |α|| xaaa, bbby | ă |α| }aaa}₂“ }aaa}²₂

Attention, dans ce casxaaa, aaay ´αxaaa, bbbypeut-être très petit. ¹³

3. De (4.43), on en déduit immédiatement (4.41). 14

Vérions que}uuu}₂“1.On a 15

}uuu}²₂“ xuuu, uuuy “ 1

4|λ|²xaaa´αbbb, aaa´αbbby Or

xaaa´αbbb, aaa´αbbby “ xaaa, aaay ´αxbbb, aaay ´αxaaa, bbby ` |α|<sup>2</sup>xbbb, bbby “ }aaa}<sup>2</sup><sub>2</sub>´αxbbb, aaay ´αxaaa, bbby ` |α|²

“2}aaa}²₂´αxbbb, aaay ´αxaaa, bbby

“2}aaa}²₂´2αxaaa, bbby carαxaaa, bbby “ pαxaaa, bbbyq “αxbbb, aaay PR De plus

4|λ|²“2pxaaa, aaay ´αxbbb, aaayq PR

“2}aaa}²₂´2αxbbb, aaay

˛ 16 17

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR

Exercice 4.2.6

Soientaaaetbbbdeux vecteurs non nuls et non colinéaires de Cⁿ avec}bbb}₂“1.

Q. 1 Ecrire la fonction algorithmiqueHouseholder permettant de retourner une matrice de House-holder H etαPCtels que Hpuuuqaaa“αbbb. Le choix du αest fait par le paramètre δ (0 ou1) de telle sorte que argα“ ´argpxaaa, bbbyq `δπ avec |α| “ }aaa}₂.

Des fonctions comme dotpaaa, bbbq(produit scalaire de deux vecteurs),normpaaaq(norme d'un vecteur), argpzq(argument d'un nombre complexe),matprodpA,Bq(produit de deux matrices),ctransposepAq (adjoint d'une matrice), ... pourront être utilisées

Q. 2 Proposer un programme permettant de tester cette fonction. On pourra utiliser la fonction vecrandpnq retournant un vecteur aléatoire deCⁿ,les parties réelles et imaginaires de chacune de ses composantes étant dans s0,1r(loi uniforme).

Q. 3 Proposer un programme permettant de vérier que δ“1 est le "meilleur" choix.

1

Correction Exercice 4.2.6 Soientaaaetbbbdeux vecteurs non nuls et non colinéaires deCⁿ.

2 3

Q. 1 Les données du problème sontaaa, bbbet δ.On veut calculerαet la matriceHpuuuq.

4

Algorithme 4.17 Calcul duαet de la matrice de HouseholderHpuuuqtelle que Hpuuuqaaa“αbbb.

Données : aaa, bbb : deux vecteurs de Cⁿ non nuls et non colinéaires.

δ : 0ou1,permet de déterminerα.

Résultat : H : matrice de Householder dansMnpCq,

α : nombre complexe, donné par´argpxaaa, bbbyq `δπ.

1: FonctionrH, αs ÐHouseholder(aaa, bbb, δ )

2: abÐdot(aaa,bbb) Źdot produit scalaire dansC.

3: αÐnormpaaa,2q ˚exppi˚ pδ˚π´argpabqqq

4: uuuÐaaa´α˚bbb

5: uuuÐuuu{normpuuu,2q

6: HÐeyepnq ´2˚matprodpuuu,ctransposepuuuqq

7: Fin Fonction

Q. 2 1: nÐ100

5

2: aaaÐvecrandpnq

6

3: bbbÐvecrandpnq

7

4: bbbÐnormpbbb,2q

8

5: rH, αs ÐHouseholderpaaa, bbb,0q

9

6: errorÐnormpH˚aaa´α˚bbb,2q

10

Q. 3 1: nÐ100

11

2: aaaÐvecrandpnq

12

3: bbbÐaaa`1e´6˚vecrandpnq

13

4: bbbÐbbb{normpbbb,2q

14

5: rH₁, α₁s ÐHouseholderpaaa, bbb,1q

15

6: rH₀, α₀s ÐHouseholderpaaa, bbb,0q

16

7: error0ÐnormpH₀˚aaa´α₀˚bbb,2q{_abspα₀q

17

8: error1ÐnormpH₁˚aaa´α₁˚bbb,2q{_abspα₁q

18

˛

19 20

Si l'on souhaite calculer le produit matrice-vecteur Hpuuuqxxx, il n'est pas nécessaire de calculer

21

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR

10² 10³ 10⁴

n 10^-16

10^-15 10^-14 10^-13 10^-12 10^-11 10^-10 10^-9

||Ha-α b||2/|α|

δ=1 δ=0

Figure 4.1: Choix deαdansHouseholder : erreur relative en normeL₂

explicitement la matriceHpuuuq.En eet, on posevvv“2λuuu“aaa´αbbbetβ “2벓 }a}²₂´αxaaa, bbby ą0.

On choisiαde manière à maximiserβ pour éviter une division par un nombre trop petit. On prend donc

α“ }a}₂e^{ıpπ´argpxaaa,bbbyqq} On obtient alors

Hpuuuqxxx“xxx´ 1

βvvvvvv^˚xxx“xxx´xvvv, xxxy

β vvv. (4.44)

1

Corollaire 4.21

SoitaaaPCⁿ aveca1‰0et Dj P v2, nwtel queaj ‰0.Soientθ“arga1 et uu

u_˘“ aaa˘ }aaa}₂e^ıθeee₁ }aaa˘ }aaa}₂e^ıθeee1} Alors

Hpuuu_˘qaaa“ ¯ }aaa}₂e^ıθeee1 (4.45)

oùeee1désigne le premier vecteur de la base canonique de Cⁿ. ₂

Proof. On va utiliser le Théorème 4.20. 3

On poseα“ ˘ }aaa}₂e^ıθ etbbb“eee1.Commeargpxaaa, bbbyq “arga1“ ´arga1“ ´θ,on aargα“θrπs “ 4

´argpxaaa, bbbyq rπs. 5

Les autres hypothèses du Théorème 4.20 sont vériées puisque le vecteuraaan'est pas colinéaire àeee1 6

et que}eee1}₂“1. On a donc ⁷

H

ˆ aaa¯ }aaa}₂e^ıθeee1

}aaa¯ }aaa}₂e^ıθeee1}

˙

aaa“ ˘ }aaa}₂e^ıθeee1.

8

Sur le même principe que l'écriture algébrique de la méthode de Gauss, nous allons transformer la ⁹ matriceAPMnpKqen une matrice triangulaire supérieure à l'aide de matrices de Householder. On a le ¹⁰

théorème ¹¹

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR

Théorème 4.22

Soit A PMnpCq une matrice. Il existe une matrice unitaire QP MnpCq produit d'au plus n´1 matrices de Householder et une matrice triangulaire supérieure RPMnpCqtelles que

A“QR. (4.46)

Si Aest réelle alors QetRsont aussi réelles et l'on peut choisirQde telle sorte que les coecients diagonaux deRsoient positifs. De plus, siAest inversible alors la factorisation est unique.

1

Exercice 4.2.7

SoitBPMm`npKqla matrice bloc

B“

ˆ B_1,1 B_1,2 B2,1 S

˙

où B1,1 PMmpKq et SPMnpKq. On notesssPKⁿ le premier vecteur colonne de Set on suppose quesss‰0 etsssnon colinéaire àeeeⁿ₁ premier vecteur de la base canonique deKⁿ.

Q. 1 1. Montrer qu'il existe une matrice de HouseholderH“Hpuuuq PMnpKqetαPK^˚ tel que

HS“

¨

˚

˚

˚

˝

˘α ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ 0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚ ... ... ...

0 ‚ ¨ ¨ ¨ ‚

˛

‹

‹

‹

‚ .

2. On noteuuuPK<sup>m`n</sup>,le vecteur déni parui“0,@iP v1, mwetum`i“ui,@iP v1, nw.Montrer que

HpuuuqB“

ˆ B1,1 B1,2

B2,1 HS

˙ . Soient kP v0, n´1wet A^rksPM_npKqla matrice bloc dénie par

A^rks“

˜

R^rks F^rks O A^rks

¸

oùR^rksest une matrice triangulaire supérieure d'ordreket A^rks une matrice d'ordren´k.

Q. 2 1. Sous certaines hypothèses, montrer qu'il existe une matrice de HouseholderH^{rk`1s</sup> telle queH<sup>rk`1s}A^rks“A^rk`1s.

2. Soit A P MnpKq. Montrer qu'il existe une matrice unitaire Q P MnpKq, produit d'au plus n´1 matrices de Housholder, et une matrice triangulaire supérieureRtelles que A“QR.

3. Montrer que siA est réelle alors les coecient diagonaux deRpeuvent être choisi positif.

4. Montrer que si Aest réelle inversible alors la factorisationQR,avecRà coecient diagonaux positifs, est unique.

2

Correction Exercice 4.2.7

3

Q. 1 1. D'après le (voir Corollaire 4.21, page 101) avecaaa“sss,en posantα“ ˘ }sss}₂e^ıargs1 et

4

uuu“ sss´αeeeⁿ₁ }sss´αeeeⁿ₁} on obtientHpuuuq “αeeeⁿ₁.

5

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR

. D'après la question ³ précédente sisss‰0 etsssnon colinéaire àeee^n´k₁ premier vecteur de la base canonique deK^n´k alors ⁴

2. il sut d'appliquer itérativement le résultat précédent n´1 fois en posant A^r0s “A et A^rk`1s “ 8

H^{rk`1s</sup>A<sup>rks</sup> oùH<sup>rk`1s} est soit une matrice de Householder soit la matrice identité. Par construction ⁹

la matriceA^rn´1s est triangulaire supérieure et l'on a 10

A^rn´1s“H^rn´1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆH^r1sA

On pose H“H^rn´1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆH^r1s et R“A^rn´1s.La matrice Hest unitaire car produit de matrices ¹¹

unitaires. On note Q“H^˚ On a ¹²

Q“H^r1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆH^rn´1s

car les matrices de Householder et matrice identité sont unitaires et hermitiennes. ¹³ 3. SiA est réelle alors par constructionQ et Rsont réelles. Les coecients diagonaux peuvent alors ¹⁴ être choisi positif lors de la construction de chaque matrice de Householder. ¹⁵ 4. Pour montrer l'unicité d'une telle factorisation, on note Q1, Q2, deux matrices orthogonales etR1, 16

R2,deux matrices triangulaires à coecients diagonaux positifs telles que ¹⁷ A“Q1R1“Q2R2.

CommeAest inversible les coecients diagonaux deR1 etR2sont strictement positifs. On a alors ¹⁸ I“AA^-1“Q1R1R^-1₂ Q^-1₂

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.2.Résolutiondesystèmeslinéaires4.2.6FactorisationQR

et donc

1

Q^-1₁ Q₂“R₁R^-1₂ ^def“T.

CommeQ1est orthogonale on aT“Q^t₁Q2 et

2

T^tT“ pQ^t₁Q2q^tQ^t₁Q2“Q^t₂Q1Q^t₁Q2“I.

De plus la matriceT“R₁R^-1₂ est triangulaire supérieure à coecients diagonaux strictement positifs

3

puisque produit de triangulaire supérieure à coecients diagonaux strictement positifs. D'après

4

le théorème (factorisation de Cholesky) il existe une unique matrice L triangulaire inférieure à

5

coecients diagonaux strictement positifs telle que LL^t “ I et Cette matrice L est la matrice

6

identité. On en déduit queT“L^t“Iet doncQ₁“Q₂ etR₁“R₂.

7

˛

8 9

Exercice 4.2.8: Algorithmique

Q. 1 Ecrire une fonction FactQR permettant de calculer la factorisation QR d'une matrice A P MnpCq.

On pourra utiliser la fonction Householder (voir Exercice 4.2.6, page 100).

Q. 2 Ecrire un programme permettant de tester cette fonction.

10

Correction Exercice 4.2.8

11

Q. 1 L'objectif est de déterminer les matricesQ, matrice unitaire, etRmatrice triangulaire supérieure

12

telle queA“QR.

13

Données : A : matrice deM_npKq.

Résultat : Q : matrice unitaire deM_npKq.

R : matrice triangulaire supérieure deM_npKq.

14

On rappelle la technique utilisée dans la correction de l'exercice 4.2.7 pour déterminer l'ensemble des

15

matrices de Householder permettant de transformer la matriceAen une matrice triangulaire supérieure.

16

On pose

17

A^r0s“A, A^{rk`1s</sup>“H<sup>rk`1s}A^rks, @kP v0, n´2w

oùH^rk`1sest soit une matrice de Householder soit la matrice identité. Plus précisement, on notesssPK^n´k

18

le vecteur composé desn´kdernières composantes de lak`1-ème colonne deA^rks etaaa“ ˆ 000k

s s s

˙

19 .

‚ Sis₁“0oussscolinéaire àeee^n´k₁ premier vecteur de la base canonique deK^n´k alors

20

H^rk`1s“Hpuuuq.

En notanteeeⁿ<sub>k`1</sub> lek`1-ème vecteur de la base canonique deKⁿ, cette matrice peut-être calculée

21

avec la fonctionHouseholder par

22

rH<sup>rk`1s</sup>, αs ÐHouseholderpaaa, eee<sup>n</sup><sub>k`1</sub>,1q

‚ sinonH^rk`1s“I.

23

On a vu que dans ce casA^rn´1s est triangulaire supérieure. On poseH“H^rn´1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆH^r1s qui est une

24

matrice unitaire. On a alorsR“A^rn´1s “HAet Q“H^˚.

25

Algorithme4.18 R₀

1: CalulerQ^etR

Algorithme4.18 R₁

1: HÐH^rn´1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆH^r1s

2: RÐH˚A

3: QÐH^˚

26

4.Résolutiondesystèmeslinéaires 4.3.Résolutiondesystèmeslinéaires4.3.1Normesvectorielles

Algorithme4.18 R₁

1: HÐH^rn´1sˆ ¨ ¨ ¨ ˆH^r1s

2: RÐH˚A

3: QÐH^˚

Algorithme4.18 R₂

1: HÐI

2: A^r0sÐA

3: PourkÐ0^àn´2^faire

4: CalulerH^{rk`1sàpartirde}A^rks

5: A^{rk`1s</sup>ÐH<sup>rk`1s}˚A^rks

6: HÐH^rk`1s˚H

7: FinPour

8: RÐH˚A Ź^ouRÐA^rn´1s

9: QÐH^˚

1

Algorithme4.18 R₂

1: HÐI

2: PourkÐ0^àn´2^faire

3: CalulerH^{rk`1sàpartirde}A^rks

4: A^{rk`1s</sup>ÐH<sup>rk`1s}˚A^rks

5: HÐH^rk`1s˚H

6: FinPour

7: RÐA^rn´1s

8: QÐH^˚

Algorithme4.18 R₃

1: HÐI

2: PourkÐ0^àn´2^faire

3: aaaÐ r000k;A^rkspk`1 :n, k`1qs

4: rH<sup>rk`1s</sup>, αs ÐHouseholderpaaa, eee<sup>n</sup><sub>k`1</sub>,1q

5: A^{rk`1s</sup>ÐH<sup>rk`1s}˚A^rks

6: HÐH^rk`1sH

7: FinPour

8: RÐA^rn´1s

9: QÐH^˚

2

Ici, l'opérateurr‚;‚sest l'opérateur de concaténation de deux vecteurs. ³ Algorithme 4.18 FonctionFactQR

Données : A : matrice deMnpKq.

Résultat : Q : matrice unitaire deMnpKq.

R : matrice triangulaire supérieure deMnpKq.

1: FonctionrQ,Rs Ð FactQR (A)

2: HÐI

3: RÐA

4: PourkÐ0à n´2faire

5: aaaÐ r000_k;Rpk`1 :n, k`1qs

6: rS, αs ÐHouseholderpaaa, eeeⁿ_k`1,1q

7: RÐS˚R

8: HÐS˚H

9: Fin Pour

10: QÐH^˚

11: Fin Fonction

Q. 2 ⁴

˛ 5 6

Dans le document Analyse numérique élémentaire (Page 96-109)