10. Les nombres entiers relatifs
Si𝑎, 𝑏 ∈ N et si𝑎 6 𝑏, alors, par définition, il existe un (unique) entier 𝑝 ∈ N avec𝑎+ 𝑝 = 𝑏. On peut noter𝑝 =:𝑏−𝑎. L’opération desoustraction(𝑏, 𝑎) ↦→𝑏−𝑎n’est définie que si𝑎6 𝑏. Le groupe des entiers relatifsZ est défini pour généraliser la soustraction : on souhaite agrandirN en lui ajoutant des éléments de la forme−𝑎 pour tout𝑎 ∈N, vérifiant𝑎+ (−𝑎) =0, tout en préservant l’addition. On pourra ensuite définir la soustraction𝑏−𝑎quelques soient𝑎, 𝑏par𝑏−𝑎:=𝑏+ (−𝑎).
Définition 10.1. Soit𝐺 un ensemble, et★:𝐺×𝐺 →𝐺une opération binaire sur𝐺. On dit que(𝐺 , ★) est un groupesi les conditions suivantes sont satisfaites :
(1) L’opération★est associative;
(2) L’opération★admet un élément neutre : il existe𝑒 ∈𝐺avec𝑒 ★ 𝑥=𝑥=𝑥 ★ 𝑒pour tout𝑥 ∈𝐺. (3) Tout élément de𝐺admet un inverse pour★: pour tout𝑥 ∈𝐺, il existe𝑦 ∈𝐺avec𝑥 ★ 𝑦=𝑒=𝑦 ★ 𝑥. On dit que le groupe𝐺estabélienoucommutatif si de plus, l’opération★est commutative.
Exemples 10.2. (a) Remarquons que (N,+)n’est pas un groupe : la condition (3) de la définition n’est pas satisfaite (on dit que(N,+)estun monoïde).
Définition 10.3. On appelle relation d’équivalence sur un ensemble 𝐸 une relation binaire sur 𝐸 qui est réflexive, symétrique et transitive.
Exemples 10.4. (a) L’égalité sur𝐸est une relation d’équivalence.
Notation10.5. Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble𝐸, et soient𝑎, 𝑏 ∈𝐸. Comme la relation R est symétrique, si on a𝑎R𝑏, alors on a aussi𝑏R𝑎, et on dit simplement que𝑎et𝑏sont équivalent (modulo la relation𝑅). On le note
𝑎∼𝑏 (mod R),
ou plus simplement𝑎∼ 𝑏si R est sous-entendue. De même, si𝑎R𝑏, on dit que𝑎et𝑏ne sont pas équivalents, et on le note𝑎 𝑏(mod R), ou simplement𝑎 𝑏.
Définition 10.6. Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation d’équivalence R et soit𝑥 ∈ 𝐸. On appelleclasse d’équivalence de𝑥 moduloR le sous-ensemble de 𝐸 formé des éléments de𝐸 en relation avec𝑥. On le note en généralC𝑥ou [𝑥]. Ainsi, on a
C𝑥 :=[𝑥] :={𝑦 ∈𝐸; 𝑦 ∼𝑥 (mod R)}. Théorème 10.7. SoitRune relation d’équivalence sur𝐸.
(a) Pour tout𝑥 ∈𝐸, on a𝑥 ∈𝐶𝑥, et en particulier𝐶𝑥 ≠∅.
(b) Pour tout𝑥 , 𝑦 ∈𝐸, on a(𝑥 ∼𝑦) ⇔ (𝐶𝑥 =𝐶𝑦).
(c) Pour tout𝑥 , 𝑦 ∈𝐸, on a(𝑥 𝑦) ⇔ (𝐶𝑥∩𝐶𝑦 =∅).
Démonstration. (a) La relation R étant réflexive, on a 𝑥 ∼ 𝑥 pour tout𝑥 ∈ 𝐸, ce qui revient à𝑥 ∈ 𝐶𝑥 par définition de𝐶𝑥.
(b) Supposons𝑥 ∼ 𝑦, et soit𝑧 ∈ 𝐶𝑥, ce qui équivaut à 𝑧 ∼ 𝑥. Puisque la relation ∼est transitive, on a donc (𝑧∼𝑥et𝑥 ∼ 𝑦) ⇒ (𝑧∼ 𝑦), donc𝑧 ∈𝐶𝑦. On a donc montré
(𝑥 ∼ 𝑦) ⇒ (𝐶𝑥 ⊂𝐶𝑦).
Or par symétrie de R, on a (𝑥∼ 𝑦) ⇒ (𝑦∼𝑥) ⇒ (𝐶𝑦 ⊂𝐶𝑥). Ainsi, on démontré que (𝑥 ∼𝑦) ⇒ (𝐶𝑥 ⊂𝐶𝑦 et 𝐶𝑦 ⊂ 𝐶𝑥) ⇔ (𝐶𝑥 =𝐶𝑦). Réciproquement, puisque𝑥 ∈𝐶𝑥par (a), siC𝑥 =C𝑦, alors𝑥 ∈𝐶𝑦 et donc𝑥∼ 𝑦. (c) On démontre la contraposée de(𝑐), c’est-à-dire
(𝐶𝑥∩𝐶𝑦 ≠∅) ⇔ (𝑥∼ 𝑦).
Si𝐶𝑥∩𝐶𝑦 ≠∅, choisissons𝑧∈ C𝑥∩ C𝑦. Alors on a𝑧∼𝑥et𝑧 ∼𝑦, donc aussi𝑥 ∼𝑧, d’où𝑥 ∼𝑦par transitivité.
Réciproquement, si𝑥 ∼𝑦alors𝑥 ∈𝐶𝑥 et𝑥∈𝐶𝑦, donc𝑥 ∈𝐶𝑥∩𝐶𝑦, ce qui montre que𝐶𝑥∩𝐶𝑦≠ ∅. Exemples 10.8.
On peut reformuler le Théorème 10.7 de la façon suivante :
Proposition 10.9. SoitRune relation d’équivalence sur𝐸. Les classes d’équivalence de𝐸moduloRforment une partition de𝐸.
Remarque10.10. Réciproquement, si on se donne une partition𝑄 ⊂ 𝑃(𝐸)de𝐸, on peut définir une relation d’équivalence R telle que les ensembles𝐴∈𝑄soient exactement les classes d’équivalence modulo R. Il suffit de définir la relation :
𝑥R𝑦 ⇔ (∃𝐴∈𝑄 , 𝑥∈ 𝐴 et 𝑦 ∈ 𝐴). Exemples 10.11.
Définition 10.12. Soit R une relation d’équivalence sur𝐸. Alors l’ensemble 𝐸/R:= {𝐴 ∈𝑃(𝐸); ∃𝑥 ∈𝐸 , 𝐴=𝐶𝑥}
des classes d’équivalences modulo R est appeléle quotient de𝐸moduloR. L’application 𝜋:𝐸 →𝐸/R, 𝑥↦→𝜋(𝑥) :=C𝑥
est appeléel’application quotient, oula surjection canonique (associée à𝑅).
Intuitivement, dans l’ensemble quotient, on aidentifiétous les éléments d’une classe (on lesa rendus égaux entre eux), et l’application quotient encode ce processus.
Remarque10.13. Remarquons que par définition𝐸/R⊂ 𝑃(𝐸). Donc, il faut bien comprendre qu’unélément de𝐸/Rest unsous-ensemblede𝐸. Si 𝐴∈ 𝐸/R, on sait qu’il existe𝑥 ∈ 𝐸tel que 𝐴=𝐶𝑥 =𝜋(𝑥)(donc𝜋est bien surjective). Cependant, un tel𝑥 est loin d’être unique en général! En effet, le Théorème 10.7 implique que pour tout𝑥 ∈ 𝐴, on a 𝐴=𝐶𝑥.
Définition 10.14. Soit 𝐸 un ensemble, R une relation d’équivalence sur 𝐸, et 𝐴 ∈ 𝐸/R. Un élément𝑥 ∈ 𝐸 avec 𝐴=𝐶𝑥est appeléun représentantde la classe𝐴.
Remarque10.15. Attention! La notation 𝐴 ∈𝐸/R ne fait pas intervenir de représentant de𝐴. Si on utilise la notation𝐶𝑥 ∈𝐸/R au lieu de𝐴, on sous-entend qu’un représentant𝑥de la classe𝐴a été choisi!
Exemples 10.16.
Revenons àZ. On souhaite construire, en partant deN et son addition, un groupe abélien(Z,+)avec les propriétés suivantes :
(1) N ⊂Z, et l’addition deN est compatible avec l’addition deZ; (2) Si𝑥 ∈Z alors on a𝑥 ∈N ou−𝑥 ∈N;
(3) On peut définir surZ une multiplication compatible avec celle deN.
Nous donnons ci-dessous une définition deZ comme ensemble quotient deN ×N par une relation d’équiva-lence, de façon à ce que la paire (𝑎, 𝑏) ∈N ×N représente l’élément𝑎−𝑏∈Z. On voit bien queN ×N est
“trop gros” : par exemple(1,2)et(2,3) représentent le même élément 1−2=−1=2−3. On veut donc que (1,2)et(2,3)soient équivalents dansN ×N, et deviennent ainsi égaux dansZ. C’est exactement ce que fait la relation suivante.
Lemme 10.17. On considère surN ×N la relationRdéfinie par
∀(𝑎, 𝑏) ∈N ×N,∀(𝑐, 𝑑) ∈N ×N, (𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐, 𝑑) (mod R) ⇔ 𝑎+𝑑 =𝑏+𝑐.
AlorsRest une relation d’équivalence surN ×N. On noteZ :=(N ×N)/Rle quotient deN×N moduloR, et on l’appellel’ensemble des (nombres) entiers relatifs.
Démonstration. La réflexivité de R correspond à la commutativité de+dansN : Pour tous (𝑎, 𝑏) ∈N ×N, (𝑎, 𝑏) ∼ (𝑎, 𝑏) ⇔𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎. La symétrie de R se démontre similairement :
(𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐, 𝑑) ⇔𝑎+𝑑 =𝑏+𝑐⇔𝑐+𝑏=𝑑+𝑎 ⇔ (𝑐, 𝑑) ∼ (𝑎, 𝑏). Enfin, montrons la transitivité; pour cela, supposons(𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐, 𝑑) et(𝑐, 𝑑) ∼ (𝑒, 𝑓). Alors
(𝑎+ 𝑓) + (𝑐+𝑑) =(𝑎+𝑑) + (𝑐+ 𝑓) =(𝑏+𝑐) + (𝑑+𝑒) =(𝑏+𝑒) + (𝑐+𝑑)
où les première et troisième égalités changent l’ordre des termes, et la seconde utilise la définition de R. On en déduit𝑎+ 𝑓 =𝑏+𝑒par simplification, et donc(𝑎, 𝑏) ∼ (𝑒, 𝑓). Ainsi, R est transitive.
Dans la suite, nous dénoterons par[(𝑎, 𝑏)]la classe d’équivalence de(𝑎, 𝑏) ∈N ×N (au lieu de𝐶(𝑎 , 𝑏)).
Proposition 10.18. On considère sur Z l’opération binaire + : Z ×Z → Z, appeléeaddition dans Z, et donnée par
[(𝑎, 𝑏)] + [(𝑐, 𝑑)]= [(𝑎+𝑐, 𝑏+𝑑)]. (10.19) Cette application est bien définie, et munitZ d’une structure de groupe abélien, d’élément neutre [(0,0)], et où l’inverse pour+d’un élément[(𝑎, 𝑏)], noté−[(𝑎, 𝑏)], est donné par−[(𝑎, 𝑏)]:=[(𝑏, 𝑎)].
Démonstration. Remarquons d’abord que dans la formule (10.19), on utilise qu’un représentant (𝑎, 𝑏) de la classe [(𝑎, 𝑏)]a été choisi, et idem pour[(𝑐, 𝑑)] (comparez avec la Remarque 10.15). Dire que l’application +:Z×Z →Z estbien définierevient à dire que la formule[(𝑎+𝑐, 𝑏+𝑑)]pour[(𝑎, 𝑏)] + [(𝑐, 𝑑)]ne dépend pasdes choix des représentants(𝑎, 𝑏)et(𝑐, 𝑑)choisis. C’est facile à vérifier : supposons[(𝑎, 𝑏)] =[(𝑎0, 𝑏0)]
et[(𝑐, 𝑑)] =[(𝑐0, 𝑑0)]. On veut montrer[(𝑎+𝑐, 𝑏+𝑑)]= [(𝑎0+𝑐0, 𝑏0+𝑑0)], ce qui se déduit de (𝑎+𝑐) + (𝑏0+𝑑0) =(𝑎+𝑏0) + (𝑐+𝑑0) =(𝑏+𝑎0) + (𝑑+𝑐0) =(𝑏+𝑑) + (𝑎0+𝑐0).
Notons que les première et troisième égalités changent l’ordre des termes, alors que la deuxième utilise [(𝑎, 𝑏)] =[(𝑎0, 𝑏0)]et[(𝑐, 𝑑)]=[(𝑐0, 𝑑0)].
On définit une application 𝑖 : N → Z par𝑛 ↦→ [(𝑛,0)]. On vérifie facilement que cette application est injective, et qu’elle est compatible avec l’addition. On dénote désormais simplement𝑛l’élément[(𝑛,0)] ∈Z, et on identifie ainsiN avec l’ensemble des éléments de Z de cette forme. L’opposé de𝑛 ∈ N (c’est-à-dire l’inverse pour+) est l’élément[(0, 𝑛)], que nous noterons simplement−𝑛. Bien sûr, on a−(−𝑛) =−[(0, 𝑛)]= [(𝑛,0)]=𝑛. En résumé, si on identifie[(𝑎, 𝑏)]avec𝑎−𝑏, on retrouve l’ensembleZ étudié à l’école.
Comme dernière remarque sur la construction deZ, notons qu’on peut définir la multiplication surZ de la façon suivante. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que la formule utilisée estbien définie. Elle s’inspire bien sûr du calcul(𝑎−𝑏) (𝑐−𝑑) =(𝑎 𝑐+𝑏 𝑑) − (𝑎 𝑑+𝑏 𝑐).
Définition 10.20. On définit une opération binaireZ ×Z →Z,(𝑥 , 𝑦) ↦→𝑥 𝑦par la formule [(𝑎, 𝑏)] [(𝑐, 𝑑)]= [(𝑎 𝑐+𝑏 𝑑 , 𝑎 𝑑+𝑏 𝑐)].
On l’appellela multiplication dansZ.
Pour décrire les propriétés de l’addition et de la multiplication surZ, on introduit la structure suivante.
Définition 10.21. Soit(𝐴,+,·)un ensemble𝐴munit de deux opérations binaires
appeléesadditionetmultiplication, respectivement. On dit que(𝐴,+,·)estun anneau commutatif unitairesi les conditions suivantes sont satisfaites :
(a) (𝐴,+)est un groupe abélien;
(b) La multiplication est associative et commutative;
(c) La multiplication est distributive sur l’addition : pour tous𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, on a𝑎· (𝑏+𝑐) =(𝑎·𝑏) + (𝑎·𝑐); (d) La multiplication admet un élément neutre 1∈ 𝐴.
Proposition 10.22. Avec l’addition et la multiplication définies ci-dessus,(Z,+,·)est un anneau commutatif unitaire. L’élément neutre pour l’addition est 0 = [(0,0)], et l’élément neutre pour la multiplication est 1=[(1,0)].
Démonstration. Nous omettons cette preuve un peu fastidieuse, dont le début a déjà été fait à la Propo-sition 10.18; la suite est similaire, et le lecteur dispose de tout les éléments nécessaires pour la conduire
lui-même.
Notation10.23. Soit (𝐴,+,·)un anneau commutatif unitaire. Alors l’élément neutre pour l’addition est noté 0, et l’élément neutre pour la multiplication est noté 1. Tous deux sont uniques. De même, un inverse de𝑎 ∈𝐴 pour l’addition est unique, et est noté−𝑎.
Définition 10.24. Soit𝐴un anneau commutatif unitaire. On dit que𝑎∈ 𝐴estinversibles’il admet un inverse pour la multiplication, c’est-à-dire s’il existe𝑥 ∈ 𝐴avec𝑎·𝑥 =1. Dans ce cas, il est facile de vérifier qu’un tel𝑥est unique. On l’appellel’inverse de𝑎et on le note𝑎−1.
Exemple 10.25. Dans l’anneau Z, les seuls éléments inversibles sont 1 et −1. On le montre facilement un utilisant la définition de la multiplication dans N etZ, ou en utilisant l’ordre, comme corollaire de la Proposition 10.26.
Les principaux exemples d’anneaux qui seront rencontrés cette année sont l’anneau des entiersZ, les corps Q,R etC, ainsi que les anneaux de polynômes. L’anneauZ sera étudié beaucoup plus en détail dans le cours d’Arithmétique. La relation d’ordre total surN s’étend en une relation d’ordre total surZ, définie par
pour tous𝑥 , 𝑦 ∈Z, on pose𝑥 6 𝑦 ⇔ 𝑦−𝑥 ∈N.
La vérification qu’il s’agit bien d’un ordre total est faite en TD. On résume sans démonstration les propriétés de cet ordre surZ.
Proposition 10.26. La relation d’ordre surZ a les propriétés suivantes.
(a) Pour tous𝑥 , 𝑦, 𝑧 ∈Z, on a𝑥 6 𝑦 ⇔ 𝑥+𝑧 6 𝑦+𝑧. (b) Pour tous𝑥 , 𝑦, 𝑧 ∈Z avec𝑧 >0, on a𝑥 6 𝑦 ⇔ 𝑥 𝑧6 𝑦 𝑧. (c) Pour tous𝑥 , 𝑦, 𝑧 ∈Z avec𝑧 <0, on a𝑥 6 𝑦 ⇔ 𝑥 𝑧> 𝑦 𝑧.
(d) Soit𝐴⊂ Z. Alors les conditions suivantes sur 𝐴sont équivalentes :
⊲ 𝐴est non vide et minoré (il existe𝑤 ∈Z avec𝑤 6𝑥pour tout𝑥 ∈𝐴), et
⊲ 𝐴admet un minimum.
Définition 10.27. Soit 𝐴un anneau commutatif unitaire et𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐴. On dit que𝑦 divise𝑥 (ou que 𝑦 est un diviseur de𝑥) s’il existe𝑧 ∈ 𝐴avec𝑦·𝑧 =𝑥. On note𝑦|𝑥le fait que𝑦divise𝑧, et l’élément𝑧est souvent noté 𝑧 = 𝑥 : 𝑦 à l’école. On appellefactorisation de𝑥 ∈ 𝐴 toute expression de𝑥 comme produit fini d’éléments 𝑦1, . . . , 𝑦𝑛 ∈ 𝐴; on introduit pour cela la notation suivante :
Dans ce cas, on dit que chaque𝑦𝑘est unfacteurde ce produit. Par convention, un produit vide (donc un produit avec aucun facteur) est égal à 1.
Définition 10.28. On dit que𝑛∈N estun (nombre) premiers’il possède exactement deux diviseurs.
Exemples 10.29. (a) Si𝑛est premier, ses seuls diviseurs sont 1 et𝑛. Donc 1 n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur dansN) et 0 n’est pas premier (il a une infinité de diviseurs).
(b) La liste ordonnée des nombres premiers commence par 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37, . . ..
Théorème 10.30. Tout nombre entier𝑛> 2est un produit de nombres premiers. De plus, une telle factorisation de𝑛en produit de nombres premiers est unique (à l’ordre des facteurs près).
Exemples 10.31.
Démonstration de 10.30. On va se contenter ici de démontrer l’existence d’une factorisation d’un entier𝑛en premiers, par récurrence (forte) sur𝑛. Soit doncPla propriété portant sur les éléments de {𝑛∈ N ; 𝑛 > 2}, oùP (𝑛) est l’affirmation que𝑛peut s’écrire comme produit de nombres premiers.
(1)Initialisation.Il est clair queP (2) est vraie puisque 2 est premier.
(2)Itération.Soit𝑛 ∈ N, et supposonsP (𝑘) vraie pour tout entier𝑘 tel que 2 6 𝑘 6 𝑛. Considérons𝑛+1, pour lequel on distingue deux cas :
⊲ Si𝑛+1 est premier, on a terminé.
⊲ Si𝑛+1 n’est pas premier, alors il existe donc deux entiers𝑎, 𝑏 tels que 2 6 𝑎, 𝑏 6 𝑛et𝑛+1=𝑎 𝑏. Mais, par hypothèse de récurrence,𝑎et𝑏 sont produits de nombres premiers, donc𝑛+1 est produit de nombres premiers.
Ainsi,P (𝑛+1)est vraie. Par le Théorème 7.31 (avec initialisation en𝑛=2),P (𝑛) est vraie pour tout élément
𝑛 >2.
Rappelons la définition de la valeur absolue|𝑏|de𝑏∈Z, vue en TD :|𝑏| = (
𝑏 si𝑏> 0,
−𝑏 si𝑏 <0.
Théorème 10.32(Division euclidienne dansZ). Soient𝑎, 𝑏 ∈Z deux entiers relatifs, avec𝑏 ≠0. Il existe un unique couple(𝑞, 𝑟) ∈Z ×N tel que
𝑎 =𝑏 𝑞+𝑟 , et 06𝑟 < |𝑏|.
Démonstration. Nous omettons la démonstration, qui s’appuie sur la Proposition 8.12. Elle sera étudiée dans
le cours d’Arithmétique.
Cette division est celle que l’on apprend à l’école primaire, quand on effectue des divisions posées de nombre entiers, avec reste. Si on enlève la condition 06 𝑟 < |𝑏|, alors il existe une infinité de couples (𝑞, 𝑟) tels que𝑎=𝑏 𝑞+𝑟.
Définition 10.33. Dans le Théorème 10.32, on dit que le couple(𝑞, 𝑟) s’obtient à partir de𝑎et𝑏pardivision euclidienne. Le nombre𝑏est appeléle diviseur, le nombre𝑞estle quotientet le nombre𝑟estle reste. Exemple 10.34.
Il est facile de vérifier que si𝑛 ∈N∗et si𝑑 ∈N divise𝑛, alors𝑑 6 𝑛: en effet, on alors𝑛=𝑑+𝑑(𝑛−1). On en déduit que si 𝑚, 𝑛 ∈ N, l’ensemble 𝐴 = {𝑑 ∈ N;𝑑|𝑚 et𝑑|𝑛} est fini. Comme il est non vide (car 1 ∈ 𝐴), il admet un maximum par la Proposition 8.12. D’autre part, comme dansZ on a(−1) (−1) =1, on vérifie facilement que𝑑|𝑛est équivalent à𝑑| (−𝑛). La définition suivante a donc un sens.
Définition 10.35. Soient𝑚, 𝑛∈Z, avec𝑚≠0 ou𝑛≠0. On appelleplus grand diviseur commun de𝑚et𝑛le nombre
pgcd(𝑚, 𝑛)=max{𝑑 ∈N ;𝑑|𝑚 et𝑑|𝑛}. On dit queles nombres𝑚et𝑛sont premiers entre euxsi pgcd(𝑚, 𝑛) =1.
Exemples 10.36.
Proposition 10.37. Soient𝑎, 𝑏 ∈Z avec 𝑏 ≠0, et soient𝑞et𝑟 le quotient et le reste de la division de𝑎par 𝑏, donc𝑎=𝑏 𝑞+𝑟 avec|𝑟|< 𝑏. Alors on apgcd(𝑎, 𝑏) =pgcd(𝑏, 𝑟).
Démonstration. On vérifie facilement par double inclusion l’égalité suivante : {𝑑∈N; 𝑑|𝑎 et𝑑|𝑏}={𝑑 ∈N; 𝑑|𝑏 et𝑑|𝑟}
Ces ensembles finis étant égaux, leur maxima sont aussi égaux.
En itérant ce procédé, on obtient un algorithme efficace pour calculer pgcd(𝑎, 𝑏), appeléalgorithme d’Eu-clide.
Exemple 10.38. On souhaite calculer pgcd(2640,768). On effectue les divisions euclidiennes suivantes 2640=768·3+336
768=336·2+96 336=96·3+48
96=48·2+0
et on en déduit pgcd(2640,768) =pgcd(768,336) =pgcd(336,96) =pgcd(96,48) =pgcd(48,0)=48.
Lemme 10.39 (Lemme de Gauß). Soient𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈Z avec𝑎 ≠ 0. Supposons quepgcd(𝑎, 𝑏) =1et𝑎divise 𝑏 𝑐. Alors𝑎divise𝑐.
Démonstration.