Introduisons d’abord une notation qui nous sera utile dans cette section : Notation8.1. Soit𝑛∈N. Notons[[𝑛]] ⊂ N le sous-ensemble défini par
[[𝑛]]={𝑘 ∈N; 16 𝑘 6 𝑛}. Par exemple, on a[[0]]=∅, [[1]] ={1}et[[4]] ={1,2,3,4}.
Proposition 8.2. Supposons donnés𝑚et𝑛∈N. Alors les conditions suivantes sur𝑚et𝑛sont équivalentes : (a) On a𝑚6 𝑛.
(b) Il existe une injection 𝑓 :[[𝑚]] → [[𝑛]].
Démonstration.
Corollaire 8.3. Supposons donnés𝑚et𝑛∈N. Alors les conditions suivantes sur𝑚et𝑛sont équivalentes :
(a) On a𝑚=𝑛.
(b) Il existe une bijection 𝑓 :[[𝑚]] → [[𝑛]].
Démonstration. L’implication (a)⇒(b) est claire, car il suffit de prendre 𝑓 =id[[𝑚]]. Inversement, si 𝑓 est une bijection, alors 𝑓 et 𝑓−1sont injectives, et on applique la Proposition 8.2.
Définition 8.4. Soit𝐸 un ensemble.
(a) On dit que𝐸estun ensemble finis’il existe𝑛 ∈N et une bijection[[𝑛]] →𝐸. (b) On dit que𝐸estun ensemble infinisi𝐸n’est pas fini.
Proposition 8.5. Si𝐸 est un ensemble fini, alors il existeun unique entier𝑛 ∈ N pour lequel il existe une bijection[[𝑛]] →𝐸.
Démonstration. Cette assertion suit immédiatement du Corollaire 8.3.
Définition 8.6. Soient𝐸et𝐹deux ensembles.
(a) On dit que𝐸et𝐹ont même cardinals’il existe une bijection𝐸→𝐹.
(b) Si𝐸 est un ensemble fini, l’unique entier𝑛∈N pour lequel il existe une bijection[[𝑛]] →𝐸est appelé le cardinal de𝐸. Il est noté card(𝐸)(ou parfois #𝐸, ou encore|𝐸|). On dit aussi que𝐸a𝑛éléments.
(c) Si𝐸 est infini, on dit que𝐸 est
⊲ dénombrables’il existe une bijectionN →𝐸, et
⊲ (infini) non dénombrablesinon.
Exemples 8.7. (a) On a bien sûr card( [[𝑛]]) =𝑛pour tout𝑛 ∈N. En particulier, card(∅) =0.
Théorème 8.8. Soient𝐸et𝐹deux ensembles finis.
(a) Il existe une application injective𝐸 →𝐹si et seulement sicard(𝐸) 6 card(𝐹).
(b) Supposons𝐹≠ ∅. Il existe une application surjective𝐸 →𝐹si et seulement sicard(𝐸) >card(𝐹).
(c) Il existe une application bijective𝐸 →𝐹si et seulement sicard(𝐸)=card(𝐹).
Démonstration. Nous démontrons le point (a) à l’aide de la Proposition 8.2. Le point (b) se démontre de façon similaire à l’aide de l’Exercice 8.3, et le point (c) à l’aide du Corollaire 8.3.
Nous omettons la démonstration de la proposition suivante.
Proposition 8.9. Soit𝐸 un ensemble. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (a) 𝐸est infini ;
(b) Il existe une injection 𝑓 :N →𝐸.
Proposition 8.10. Soit𝐸 un ensemble fini et𝐹 ⊂ 𝐸. Alors (a) 𝐹est fini etcard(𝐹) 6card(𝐸);
(b) Sicard(𝐹)=card(𝐸), alors𝐹 =𝐸.
Démonstration. Le résultat se démontre par récurrence sur𝑛 ∈card(𝐸) ∈N. Si𝑛 =0, alors𝐸 =∅, et donc 𝐹 =∅ =𝐸, et le résultat est vrai. Supposons𝑛 > 1 et le résultat vrai si card(𝐸) =𝑛−1. Supposons donné un ensemble𝐸 avec card(𝐸) =𝑛, et𝐹 ⊂ 𝐸. Si𝐹 =𝐸, alors les assertions sont vérifiées. Il reste à traiter le cas𝐹 ( 𝐸. En utilisant une bijection, on peut se ramener au cas où𝐸 = [[𝑛]]. Dans ce cas, comme𝐹 ≠ 𝐸, il existe 𝑘 ∈ 𝐸 r𝐹, donc 𝐹 ⊂ 𝐸 r{𝑘}. On construit facilement une bijection 𝐸 r{𝑘} → [[𝑛−1]], donc card(𝐸r{𝑘})=𝑛−1. Par hypothèse de récurrence, on en déduit que𝐹est fini, et
card(𝐹) 6card(𝐸r{𝑘})=𝑛−1< 𝑛=card(𝐸),
donc card(𝐹) < card(𝐸). Ainsi, les assertions (a) et (b) sont vraies si card(𝐸) = 𝑛. Par récurrence, la
proposition est démontrée pour tout ensemble fini𝐸.
Théorème 8.11. Soient𝐸 et𝐹 deux ensembles finis de même cardinal, et 𝑓:𝐸 → 𝐹 une application. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(a) l’application 𝑓 est injective ; (b) l’application 𝑓 est surjective ;
(c) l’application 𝑓 est bijective.
Démonstration.
Proposition 8.12. Soit 𝐴⊂ N. Les conditions suivantes sur𝐴sont équivalentes :
(a) L’ensemble𝐴est fini et non-vide.
(b) L’ensemble𝐴admet un maximum : il existe𝑎∈ 𝐴avec𝑛 6𝑎pour tout𝑛∈ 𝐴. Démonstration.
9. Combinatoire
Lacombinatoireest une branche des mathématiques qui vise à décrire des objets ou strucures apparaissant en nombre fini, et en particulier à les compter (on parle alors dedénombrement). Nous allons voir quelques exemples fondamentaux de dénombrement dans ce chapitre.
Proposition 9.1. Soient𝐸et𝐹deux ensembles finis. Alors l’ensemble𝐸∪𝐹est fini, et card(𝐸∪𝐹) =card(𝐸) +card(𝐹) −card(𝐸∩𝐹). et 𝑓, on vérifie alors que l’application
ℎ:[[𝑝+𝑛−𝑟]] → 𝐸∪𝐹 , 𝑥↦→
Démonstration. Ce corollaire se démontre par récurrence sur𝑟, à l’aide de la Proposition 9.1.
Corollaire 9.3(Principe des bergers). Soit 𝐸 et𝐹 des ensembles finis, soit𝑞 ∈N, et supposons donnée une application 𝑓 :𝐸 →𝐹telle que pour chaque𝑦 ∈𝐹on aitcard 𝑓−1({𝑦})
=𝑞. Alors on a card(𝐸) =𝑞card(𝐹).
Démonstration. Si𝐸=∅, alors𝑞=0 et la formule est correcte. Si𝐸 ≠∅, et si𝑥 ∈𝐸, alors𝑥∈ 𝑓−1({𝑓(𝑥)}), donc on a forcément𝑞 >1, et on en déduit que 𝑓 est surjective. Alors
𝐸 = Þ Définition 9.4. Soit𝐸un ensemble et 𝐴un sous-ensemble. On appellefonction caractéristique de 𝐴 l’appli-cation
𝜒𝐴:𝐸 → {0,1}, 𝑥↦→ 𝜒𝐴(𝑥) =
(1 si𝑥 ∈ 𝐴, et 0 sinon.
Lemme 9.5. Soit𝐸 un ensemble. L’applicationΦ:P (𝐸) → F (𝐸 ,{0,1})définie par 𝐴↦→ 𝜒𝐴est bijective.
Démonstration. En effet, on vérifie que l’applicationΨ : F (𝐸 ,{0,1}) → P (𝐸) définie par 𝜒 ↦→ 𝜒−1({1})
est une réciproque deΦ.
Proposition 9.6. Soient𝐸et𝐹deux ensembles finis.
(a) L’ensemble𝐸×𝐹est fini, etcard(𝐸×𝐹) =card(𝐸) ·card(𝐹).
(b) L’ensembleF (𝐸 , 𝐹)est fini, etcard F (𝐸 , 𝐹)
=card(𝐹)card(𝐸). (c) L’ensemble𝑃(𝐸)des parties de𝐸est fini, etcard 𝑃(𝐸)
=2card(𝐸).
Remarque9.7. Les Propositions 9.1 et 9.6 sont vraies aussi si𝐸 =∅ou𝐹=∅. Pour la Proposition 9.6 points (b) et (c), on utilise bien sûr la convention𝑛0=1, et en particulier,
00=1
(par opposition à 0𝑝=0 pour tout𝑝≠0), qui est justifiée par l’égalité card(F (∅,∅)) =1.
Démonstartion de la Proposition 9.6.
Exemple 9.8. (a) On veut par exemple se donner une liste de tous les éléments de F ( [[2]],[[3]]). Par la Proposition 9.6.(b), on sait qu’il y en a 32=9, et on sera sûr de ne pas en oublier!
Dans la définition suivante, on utilise l’applicationfactorielledonnée dans la Définition 7.35.
Définition 9.9. Pour tout(𝑛, 𝑝) ∈N ×N, on définit𝐴
𝑝
𝑛 ∈N par 𝐴
𝑝 𝑛 =
( 𝑛!
(𝑛−𝑝)! si 𝑝6 𝑛, et 0 si 𝑝 > 𝑛. Par abus de notation, on a donc𝐴
𝑝
𝑛 =𝑛· (𝑛−1) ·. . .· (𝑛−𝑝+1).
Dénombrons maintenant le nombre d’injections entre deux ensembles finis.
Proposition 9.10. Soient𝐸 et𝐹 deux ensembles finis aveccard(𝐸) = 𝑝 etcard(𝐹) = 𝑛. Alors il existe 𝐴
𝑝 𝑛
injections de𝐸dans𝐹; autrement dit
card {𝑓 ∈ F (𝐸 , 𝐹); 𝑓 est injective}
= 𝐴
𝑝 𝑛. Démonstration.
Exemple 9.11. Reprenons l’Exemple 9.8, et comptons dans la liste donnée les applications injectives. D’après la Proposition 9.10, il y en a 3!/(3−2)!=3!=6. En effet :
Il est maintenant facile de compter le nombre de bijections d’un ensemble fini.
Corollaire 9.12. Soit𝐸un ensemble fini aveccard(𝐸) =𝑛. Alors il existe𝑛!bijections de𝐸dans𝐸; autrement dit
card {𝑓 ∈ F (𝐸 , 𝐸); 𝑓 est bijective}
=𝑛!.
Démonstration. Par le Théorème 8.11, comme𝐸est un ensemble fini, une application de𝐸dans𝐸est bijective si et seulement si elle est injective. Il y a donc autant de bijections de𝐸dans𝐸que d’injections de𝐸 dans𝐸. Ce nombre est 𝐴𝑛
𝑛 =𝑛! par la Proposition 9.10.
Définition 9.13. Pour tout(𝑛, 𝑝) ∈N ×N, on définit 𝑛𝑝
∈N par
𝑛 𝑝
= ( 𝑛!
(𝑛−𝑝)!𝑝! si𝑝 6𝑛, et 0 si𝑝 > 𝑛. Par abus de notation, on a donc 𝑛𝑝
= 𝑛· (𝑛𝑝−· (1) ·𝑝−...1· () ·𝑛...−·𝑝1+1). On appelle 𝑛𝑝
le coefficient binomial “𝑝parmi𝑛”. Proposition 9.14. Les coefficients binomiaux satisfont au propriétés suivantes.
(a) Pour tout𝑛 ∈N, on a(𝑛0) =1=(𝑛𝑛)et(𝑛1) =𝑛. (b) Symétrie :si0 6 𝑝 6 𝑛, alors 𝑛𝑝
= 𝑛−𝑛𝑝
. (c) Formule de Pascal :si06 𝑝 6 𝑛, alors
𝑛+1 𝑝+1
= 𝑝𝑛+1 + 𝑛𝑝
.
(d) Formule du Binôme de Newton :pour tous(𝑎, 𝑏) ∈R2, et pour tout𝑛∈N r0, on a (𝑎+𝑏)𝑛=
𝑛
Õ
𝑘=0
(𝑛𝑘)𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘. Démonstration.
Remarque9.15 (Le triangle de Pascal). La formule de Pascal permet d’établir facilement une table des coeffi-cients binomiaux sous la forme d’un triangle :
Proposition 9.16. Soit 𝐸 un ensemble fini de cardinal card(𝐸) = 𝑛, et soit 𝑝 ∈ N. Alors il existe 𝑛𝑝
sous-ensembles de𝐸 de cardinal𝑝; autrement dit,
card({𝐴∈ P (𝐸); card(𝐴) =𝑝})= 𝑛𝑝
. Démonstration.
Exemple 9.17. Par exemple, comptons les sous-ensembles à 2 éléments de 𝐸 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Comme card(𝐸) =4, il y en a 42
=4!/2!2!=6.
Exemple 9.18. Si on applique la formule du binôme de Newton donnée dans la Proposition 9.14.(d) à𝑎=𝑏=1, on trouve
2𝑛=
𝑛
Õ
𝑘=0
(𝑛𝑘)
Si𝐸 est en ensemble fini de cardinal𝑛, on sait que P (𝐸) est de cardinal 2𝑛. Grâce à la Proposition 9.16, on comprend que l’égalité ci-dessus correspond à compter le nombre d’éléments deP (𝐸) en additionnant, pour chaque𝑘, le nombre de sous-ensembles de𝐸 de cardinal𝑘.
Remarque9.19. Les résultats ci-dessus dénombrent des ensembles d’applications (par exemple les injections dans la Proposition 9.10), ou le nombre de sous-ensembles de taille donnée (comme la Proposition 9.16). En fait, ces dénombrements correspondent à choisir d’une certaine façon 𝑝objets dans un ensemble donné de𝑛 objets. On résume le vocabulaire associé dans le tableau suivant :
Étant donné un ensemble𝐸 contenant𝑛objets distincts,
. . .une permutation 𝑛d’objets distincts oui. 𝑛!
En effet, on a les observations suivantes.
- Le dénombrement des combinaisons avec répétition sera fait en exercice.
- Une permutation de𝐸correspond à une bijection𝐸→𝐸. Il y en a𝑛! par le Corollaire 9.12.
Exemples 9.20.
Les questions de dénombrement sont élémentaires à poser, mais souvent la réponse peut-être compliquée. Par exemple, il n’est pas complètement évident de dénombrer les surjections. La formule suivante sera démontrée en TD.
Proposition 9.21. Soient𝐸et𝐹deux ensembles finis aveccard(𝐸)= 𝑝etcard(𝐹) =𝑛. Alors il existe
𝑛
Õ
𝑘=0
(−1)𝑘(𝑛𝑘) (𝑛−𝑘)𝑝
surjections de𝐸 sur𝐹; autrement dit, cette somme est égale àcard {𝑓 ∈ F (𝐸 , 𝐹); 𝑓 est surjective} .