A Mecânica Quântica surgiu para preencher lacunas teóricas e experimentais às quais a Física Clássica não teve argumentos para preencher, como, por exemplo, a catástrofe do ultravioleta [101]. Sendo assim, Niels Bohr e Werner Heisenberg desenvolveram em 1927 a interpretação mais comum para a Mecânica Quântica, que cou conhecida como interpretação de Copenhagen [102]. Nesta interpretação o estado de um sistema físico é descrito por uma função de onda Ψ que contém toda a informação necessária para caracterizar um sistema físico.
Entretanto, a observação de possíveis inconsistências nos fundamentos da teoria quân- tica, mais especi camente na interpretação de Copenhagen, fez Einstein, Podolsky, Rosen em 1935 [103, 92] iniciarem uma série de discussões, ou melhor uma série de Gedanke- nexperiment',' que caram conhecidos como paradoxos EPR, sobre as propriedades que as fortes correlações quânticas tinham sobre a localidade da transmissão de informação. Utilizando uma argumentação bastante engenhosa [101] para discutir os conceitos funda-
teórica (totalmente plausíveis) demonstraram que em certas ocasiões os estados quânti- cos ou apresentam a propriedade de não-localidade ou não serão descrições completas da realidade física.
Para Einstein et al., em um artigo de 1935 [92], um teoria física completa deveria satisfazer duas condições:
• Cada elemento de realidade fazer parte da teoria;
• Quando prevemos com certeza o valor de um observável S, sem perturbar o sistema, então existe um elemento de realidade física relacionado a essa quantidade física. Mas essa realidade física de nida por Einstein entra em con ito com o princípio da incerteza de Heisenberg [101]: se medirmos r uma quantidade s torna-se indeterminada (sendo s e r autovalores de dois observáveis, S e R, que não comutam entre si) e não pode ser mais prevista. O valor de s só pode ser encontrado através de medida direta. Esta medida, porém, irá perturbar o sistema e altera o estado para Ψs, autofunção associada
ao autovalor s (S|Ψsi = s|Ψsi). Ou seja, podemos concluir que, se r é conhecido, s não
apresenta realidade física.
Então, podemos chegar a duas hipóteses:
1. a função de onda não nos fornece uma descrição completa da realidade;
2. quando dois operadores, S e R, não comutam, as duas quantidades físicas relacio- nadas a eles realmente não apresentam realidade física simultaneamente.
Todavia, consideramos como falsa a hipótese (1) e chegamos à conclusão de que auto- funções de operadores que não comutam correspondem à mesma realidade. Dessa forma, chegamos a uma contradição, pois a negação de (1) leva à negação de (2). Portanto, somos forçados a concluir que a função de onda não fornece uma descrição completa da realidade.
Essa argumentação, que contrária a intepretação de Copenhagen, cou conhecida com Teoria de Variáveis Ocultas (TVO) [104]. Estas teorias têm como base fortes condições de localidade. No paradoxo EPR, a localidade signi ca que uma medida no sistema A não pode ser afetada por operações feitas no sistema distante B com o qual A interagiu no passado.
As TVO permaneceram em alta durante muitos anos, bem como a questão da com- pletude da Mecânica Quântica. No entanto, em 1964 John S. Bell [90] demonstrou que, devido às suas fortes condições de localidade, as TVO são restritas a certas desigualdades que não são sempre obedecidas pelo formalismo da Mecânica Quântica.
A explicação baseada em veri cações experimentais, em defesa da interpretação de Copenhagen, é que a função de onda que descreve a superposição de estados quânticos possíveis existe em todos os pontos simultaneamente. O valor s observável do sistema A e o valor do observável r da sistema B não são quantidades independentes, mas são obtidos por uma mesma estrutura dentro das equações da física quântica, o que é conhecido como representação de estados emaranhados. No instante em que é feita a medição do subsistema A, todo o resto da função de onda colapsa em um único estado.
O fato da informação entre os estados estar fortemente correlacionada quanticamente poderia implicar que a informação seria transmitida de forma não local, o que signi ca que interações entre entidades separadas podem ocorrer instantaneamente, sem que haja qualquer relação material entre elas. É como se não existisse distância física entre dois eventos, nem mesmo o tempo existisse.
Em seu artigo de 1935, Schrödinger [105] descreveu o emaranhamento quântico como: Quando dois sistemas, cujos estados estados conhecemos através de seus representantes (função de onda), entram em interação física temporária devivo às forças conhecidas entre eles, e depois de um tempo de in uência mútua os sistemas voltam a se separar, então não podem mais ser descritos na mesma forma que anteriormente, a saber, associados a cada um deles um representante próprio. Através da interação os dois representantes se tornam emaranhados.
As previsões probabilísticas feitas através da função de onda do sistema são irredu- tíveis no sentido em que não são um mero re exo da falta de conhecimento de variáveis escondidas (TVO). Nos eventos probabilísticos clássicos, como no lançamento de dados, usamos probabilidades para prever o resultado nal pois não possuímos informação su - ciente disponível, apesar de termos certeza que o processo é determinístico e que nossa falta de conhecimento traga a dinâmica caótica do mesmo. As probabilidades são utili- zadas para completar as lacunas do nosso conhecimento. A interpretação de Copenhagen defende que os resultados são indeterminísticos.
tados validados por processos de medida. Foge da alçada das interpretações de Copenha- gen especular para além daquilo que pode ser medido, para o que só pode ser con rmado no imaginário. A interpretação de Copenhagen considera sem sentido perguntas como "onde estava o fóton antes de sua posição ter sido medida?". O ato de observar provoca o "colapso da função de onda", o que signi ca que, embora nos momentos anteriores a observação o estado do sistema permitisse um imenso oceano de possibilidades, apenas uma delas será escolhida aleatoriamente pelo processo de medição, e a função de onda resume-se instantaneamente para satisfazer essa escolha.
As propriedades do emaranhamento quântico são comumente associadas como pro- priedades de sistemas de duas ou mais partículas, mas na verdade são propriedades de qualquer sistema quântico composto, no sentido de que o sistema quântico não pode ser decomposto como um produto de estados de seus subsistemas constituintes, possuindo correlações não locais. Apesar de gerar uma certa estranheza inicial, ainda é possivel descrever o emaranhamento quântico de um único ente físico, iremos assim descrever o emaranhamento entre diferentes graus de liberdade que o compõe (por exemplo, o mo- mentum de um átomo pode se emaranhar com seu spin pela interação com um campo magnético, como no experimento de Stern-Gerlach [106]).
No caso dos sistemas compostos, o espaço global acesível, E, é construído a partir do produto tensorial dos espaços de Hilbert, Ei, associados com os subsistemas. Esses
sistemas compostos são aqueles no qual as suas partes não interagem entre si, mas podem ter interagido no passado.
Dentro deste contexto, o emaranhamento de sistemas compostos surge como uma qualidade de todo estado físico que não pode ser representado como um produto tensorial direto dos elementos dos espaços de Hilbert multiplicados.
Naturalmente, a situação mais rústica de sistema quântico onde ocorre emaranhamento é o caso de um sistema bipartido: um sistema A descrito por um base de estados {|ai}, enquanto o sistema B tem sua base descrita por {|bi}. A descrição do espaço de estados E para o sistema global é feita pelo produto tensorial dos espaços de estados das partes A e B, sendo dim {|ai} = m e dim {|bi} = n, com m ≥ n.
Dentro de E, um vetor |Ψi é dito fatorável se |ψi = |φAi ⊗ |φBi. Se tal decomposição
não for possível, |ψi é dito emaranhado. Qualquer que seja a operação realizada em apenas uma das partes será referida como uma operação local, e o emaranhamento não
pode ser criado e nem destruído por operações unitárias locais. Operações unitárias locais não alteram o emaranhamento, pois apenas transformam uma base qualquer de Schmidt em outra base ortonormal [26].
Uma ferramenta comum para a identi cação de combinações de estados puros é a de- composição em bases de Schmidt [26]. Na decomposição de Schmidt, um estado qualquer do sistema |Ψi, pode ser escrito como:
|Ψi =
m
X
k=1
λk|aki ⊗ |bki, (3.42)
onde m é a dimensão da menor parte, λk> 0ePλ2k = 1. Os coe cientes λksão chamados
de coe cientes de Schmidt e as bases {|aki} e {|bki} são as bases de Schmidt para o vetor
|Ψi. As propriedades de emaranhamento bipartido de estados puros estão inteiramente contidas no conjunto dos seus coe cientes λk, espectro de Schmidt.
Sob um olhar desatento este resultado pode parecer estranho: se o espaço E tem dimensão n × m, como o vetor |Ψi possuiria apenas m coe cientes? Vale lembrar que a decomposição de Schmidt está relacionada diretamente com decomposição em valores singulares (|Ψi = USV†) [87, 30] e o número de elementos não nulos que representam a
matriz diagonal S irá de nir os número m de coe cientes não nulos para a decomposição de Schmidt. O número de coe entes de Schmidt necessários para descrever um estado puro é chamado de número de Schmidt, ns, sendo uma forma de quanti car o emaranha-
mento presente no estado puro |Ψi. Se ns = 1 o sistema puro será fatorável [89]. Como
mencionado, o número ns de um vetor de E é limitado superiormente por m.
Diferenciando-se apenas nas escolhas de fases para as bases, a decomposição de Sch- midt 3.42 é única. Entretanto, toda regra possui uma exceção; e a exceção desta regra são os pares de Bell, que aparecem, como o estado de EPRB [92], quando há igualdade entre dois ou mais coe cientes de Schmdit. Na notação de qubits, análogo quântico de
um registrador binário, os pares de Bell [92] são dados por: |ψ+i = 1 √ 2 |00i + |11i, (3.43) |φ+i = 1 √ 2 |01i + |10i, (3.44) |ψ−i = 1 √ 2 |00i − |11i, (3.45) |φ−i = 1 √ 2 |01i − |10i. (3.46)
Teorema: Todos os pares de Bell são emaranhados.
Para demonstrar, será utilizado apenas o estado |φ+i, já que para qualquer um dos
outros 3 estados escolhidos a demonstração será totalmente análoga. Suponha que |φ+i
possa ser escrito como: c1|0i + c2|1i ⊗c3|0i + c4|1i , (3.47)
com os ci ∈ C . Então temos a igualdade:
|φ+i =
1 √ 2
|01i + |10i= c1c3|00i + c1c4|01i + c2c3|10i + c2c4|11i. (3.48)
A ortogonalidade dos vetores |00i, |01i, |10i e |11i nos impõe as condições: c1c3 =
c2c4 = 0 e c1c4 = c2c3 = √12 que não podem ser satisfeitas simultaneamente, mostrando
que estados de Bell não podem ser separados em um produto tensorial de vetores dos subespaços de Hilbert. Esta forte correlação entre os subsistemas é própria do emaranha- mento. [107].
Na teoria clássica da informação um Bit é a menor unidade de informação que pode ser armazenada e transimitida de uma fonte para um receptor, assumindo somente dois valores possíveis: zero ou um, mais ou menos, sim ou não, para cima ou para baixo, com corrente ou sem corrente... A situação é análoga quando tentamos passar informação usando qubits em sistemas que são regidos pela Mecânica Quântica.
De maneira similar ao bit no processamento computacional, a unidade de informação quântica é o quantum bit ou qubit. Para um q-bit já não falamos em seus valores, mas em seus estados, podendo estar num estado (representado por) |0i ou no estado (representado por) |1i, ou ainda em qualquer superposição deles. Realizações físicas de um q-bit são
dadas por sistemas quânticos que possuem dois autoestados, como por exemplo: fótons (com seus estados ortogonais de polarização), uma partícula com spin 1
2, etc.
A parametrização mais geral para estados puros de um qubit, que de ne a esfera de estados puros de Bloch [108], é:
|Ψ(θ, φ)i = cosθ
2|0i + e
iφcosθ
2|1i. (3.49)
Para um espaço de de dois qubits, temos o vetorial C4, com projetivo P3, uma variedade
de dimensão complexa 3, que corresponde à dimensão real 6 [26].
A Teoria de Bell [90] mostrou que a mecânica quântica, em algumas situações, pode ser incompatível com o conceito clássico de transmissão local de informação e que leva a previsões contrárias àquelas via a interpretação de Copenhagen. Os estados emaranhados, como os pares de Bell, violam as desigualdades de Bell [103], o que mostra que a teoria quântica exibe uma forma de não-localidade, isto é, sistemas quânticos podem afetar um ao outro instantaneamente, independente de sua separação espacial. Contudo, medições realizadas na parte A de um sistema não podem revelar informações sobre medições realizadas na parte B.
Para provar que medições quânticas não permitem a transmissão de informação, consi- dere que a parte A e a parte B compartilham o estado possivelmente emaranhado |ΨABi,
e estão realizando medições com os observáveis A e B, respectivamente. Então a proba- bilidade de A obter o valor x e B obter o valor y é dada por:
px,y|A,B = |hx| ⊗ hy||ΨABi|2
px,y|A,B = hΨAB|
|xihx| ⊗ |yihy||ΨABi (3.50)
px|A,B = X y hΨAB| |xihx| ⊗ |yihy||ΨABi px|A,B = hΨAB| h |xihx| ⊗ X y |yihy|i|ΨABi px|A,B = hΨAB| |xihx| ⊗ IB |ΨABi (3.51) que não tem mais nenhuma dependência com as medições realizadas em B, conhecida como condição de não-sinalização: as diferentes partes do sistema não podem trocar informações entre si. Isto é, px|A,B = px|A e py|A,B = py|B.
Outro contraste interessante surge quando confrontamos esse princípio com a teoria do realismo de Einstein [92], que pode ser enunciada como: todos os resultados de medições podem (pelo menos em princípio) ser previstos com probabilidade 1, se tivermos acesso a todas as variáveis ocultas. Ou seja, o resultado de nossas observações já é pré-determinado. Um exemplo, claro e prático, deste princípio é: quando observamos um pássaro azul, apenas descobrimos que ele é azul. Deve haver uma variável que sabe a cor de todas os pássaros, nós apenas não temos acesso a ela (Deus não joga dados).
Desta forma, determinado o sistema conjunto AB, existe uma variável λ tal qual px,yλ|a,b seja 1 ou 0, sendo px,y,λ|a,b a probabilidade dos resultados a e b serem obti-
dos, quando λ é conhecido, dado que as medições x e y foram realizadas. Mesmo assumindo a existência da variável λ, sempre vamos ter probabilidades independentes px,yλ|a,b = pxλ|apyλ|b, o que de ne localidade. E todas correlações de uma teoria realista
local satisfazem a condição de não-sinalização.
Como visto, a relação entre emaranhamento e não-localidade é mais delicada do que parece ser. Estes são dois conceitos não equivalentes. Em algumas situações, podem surgir estados emaranhados mistos que a troca de informações é local, isto é, não violam as desigualdades de Bell. Dado um estado emaranhado qualquer, ψAB, existe outro estado
φAB que não viola a desigualdade de Bell, mas tal que a combinação de tais estados seja
não-local. Isso signi ca que os estados emaranhados têm sempre uma não-localidade escondida que pode ser ativada. Satisfazer a desigualdade de Bell implica em localidade, não satisfazê-la implica em não-localidade, o que signi ca que um ponto irá alterar outro
ponto do espaço instantaneamente.