A partir deste ponto da tese, supomos que o leitor já possui um bom entendimento da idéia de emaranhamento em estados mistos e puros. Então, a pergunta lógica seguinte
seria: como saber se posso separar, ou não, o estado que estou analisando? Para responder isso, suponha a situação:
Se Laura e Bruno procedem testes locais, um estado puro fatorado |l, bi é separado. Através de operações unitárias locais, qualquer estado puro fatorado deve ser separado, ou melhor, existem procedimentos característicos que podem ser usados para que Laura e Bruno obtenham qualquer estado puro fatorado. Se nos fosse cedido algum sistema con- ável de sorteios, deveriamos criar um registro onde os estados |lk, bki sejam construídos
com probabilidades pi, de tal forma que qualquer estado poderia ser escrito como
ρ =X
k
pk|lk, bkihlk, bk|, (3.80)
que pode ser elaborado por Laura e Bruno apenas com LOCC. Estados assim montados, em sua maioria, apresentam correlações, ou seja, os resultados de testes locais realizados por Laura estarão correlacionados a resultados de testes locais realizados por Bruno, o que de ne as correlações clássicas.
Existem vários métodos que permitem identi car se um estado é, ou não, emaranhado [26]. Alguns deles são ditos operacionais, ou seja, um simples cálculo determina se um dado estado é (ou não) emaranhado. Mas como every rose has its thorns, é de se esperar que existam estados que se encaixem somente numa classe de critérios mais complicados, mais técnicos, chamados não-operacionais [120, 121].
O que buscamos, então, é uma receita (algum conjunto de critérios operacionais) de separatibilidade que, dado um estado ρ, permita uma resposta: estado separável, ou emaranhado, ou ainda, o que ocorre para alguns critérios: não conclusivo. A estratégia comum é: se ρ é separável, então possui uma certa propriedade (de nida pelo critério assumido). Assim, estados que violam esta propriedade serão emaranhados. Este tipo de procedimento pode levar a testes inconclusivos, no sentido que, se a dita propriedade for veri cada, não sabemos (em geral) se o estado é ou não emaranhado. Como exemplo, iremos discutir dois critérios de separatibilidade bem comuns na literatura: o primeiro, critério de Peres-Horodecki [122], que utiliza a transposição parcial e outro, critério de Nielson e Kempe [123], que usa a majoração, comparando se os estados bases são mais ou menos emaranhados que o estado global.
Desta forma, a determinação de um critério de separabilidade que seja implementável para qualquer que seja o estado que o sistema se encontre ainda é um problema em aberto, pois as técnicas de análise de estados com um grande número de qubits não apresentam uma sistemática global de nida [26, 30].
Critério de Peres-Horodecki
Este critério operacional surge da observação que se ρ representa um estado físico, seu complexo conjugado ¯ρ também é um estado físico [124, 122]. Usa-se então a operação chamada de transposição parcial do estado global, se
ρ = X
m,n,u,v
ρm,n,u,v|m, uihn, v|, (3.81)
sua transposta parcial (neste caso, em relação ao segundo fator) será:
ρTB = X
m,n,u,v
ρm,n,u,v|m, vihn, u|, (3.82)
onde foi feita apenas a troca entre os segundos índices dos produtos tensoriais, v ←→ u. A transposição parcial é uma operação linear no espaço real dos operadores Hermitianos. O critério de Peres-Hodericki assume que se ρ for separável, então ρTB não possuirá
valores negativos. Em outras palavras, se ρTB tem valores negativos, é garantido que ρ
é emaranhado. Esse resultado é valido independente de qual parte será usada para a transposta parcial, ρTA = (ρTB)T. Entretanto, se a dimensão de ρ for maior que 6, esse
teste é completamente inconclusivo.
Considere agora um estado de 2-qubits, como exemplo da aplicação da técnica, escrito em termos de um dos estado de Werner [116]:
F = p|ψ−ihψ−| + (1 − p)I 4, (3.83) sendo |ψ− i = √1 2
| − +i − | + −i e I é uma matriz identidade de dimensão 4. Na representação matricial, temos:
ρ = 1 4 1− p 0 0 0 0 p + 1 −2p 0 0 −2p p + 1 0 0 0 0 1− p (3.84)
e sua transposta parcial (em relação ao segundo fator) será:
ρTB = 1 4 1− p 0 0 −2p 0 p + 1 0 0 0 0 p + 1 0 −2p 0 0 1− p (3.85)
, que possui seu menor autovalor dado por 1−3p
4 . Desta forma, o estado ρ é emaranhado
(pelo critério de Peres-Horodecki) para p > 1
3. Contudo, um grupo de pesquisadores
conhecido como família Horodecki mostrou que a su ciência não se veri cava para tais análises generalizadas [125]
De forma mais abrangente, o critério de Peres-Horodecki pode ser citado como: um estado ρ é separável se, e somente se, para qualquer mapa (operador que age no espaço dos operadores) positivo M, Mρ é positivo [124, 122].
Um mapa M é um operador que age nos espaços dos operadores, ou seja, se R é um operador, então MR também o é. Um mapa é positivo quando leva operadores positivos em operadores positivos. De acordo com esses conceitos, podemos concluir que a transposição utilizada por Peres é um mapa positivo, uma vez que este procedimento não modi ca o conjunto dos autovalores de uma matriz [124,122].
Critério de Neilsen-Kempe
Outro importante critério operacional, criado por Nielsen e Kempe [123], é conhecido como critério da majoração da separabilidade dos estados. A forma usual de quanti car a desordem em sistemas físicos é através do uso de medidas entrópicas. Do ponto de vista clássico, se um sistema tem duas partes, partes i e j, a entropia do sistema global S2 não
de von Neuman [126], S(p) = −Tr[p log p] é extensamente utilizada em várias situações. Assim, pode-se de nir uma entropia condicional S(2|i) = S2 − Sj que é a entropia do
sistema i, uma vez que é conhecida a entropia da parte j do sistema [127]. Quando se fala de probabilidades clássicas, S(2|i) é sempre positiva. De forma que a variação de entropia de um sistema isolado também seja sempre positiva ou nula, segundo a 2a lei da
termodiâmica.
Supondo, que os estados não são emaranhados tem-se S(2|i) = Si, sendo S(2|i) > 0.
Entretanto, se S(2|i) < 0, então o estado global ρ2 =Pkpkρ k
i ⊗ ρkj é não separável. Para
estados separáveis, ρ2 é necessariamente mais misturado que os estados locais ρi e ρj. Ou
seja, se ρi (ou ρj) for mais misturado que ρ2, então ρ2 é um estado não-separável.
Critério entrópico: Se S(2|i) = S2− Sj < 0, então ρ2 é um estado emaranhado.
Considere o conjunto de todas as distribuições de probabilidades possíveis para uma variável aleatória Γ, o espaço amostral de Γ. Vamos considerar o caso em que o espaço amostral possua N elementos, sendo a probabilidade de cada resultado (γk) ser obtido
representada por pk = P (Γ = γk).
O conjunto de todas as distribuições de probabilidades pk para Γ é o conjunto de todos
os vetores em RN com coordenadas não-negativas e que somam um. Esse conjunto é um
invólucro convexo de (N − 1) pontos em RN. A envoltória convexa será denotadas por
Θ.
Para dois vetores ~s e ~e ∈ Θ. Sejam ~s↓ e ~e↓ os vetores obtidos de ~s e ~e com as
coordenadas ordenadas em ordem descrescente. Dizemos que ~s é majorado por ~e, ~s ≺ ~e, ou que ~s majora ~e, ~s ~e, se para todo k tem-se
k X i=1 ~s↓ ≤ k X i=1 ~ e↓. (3.86)
Critério da Majoração [123]: Sejam ρ o operador densidade que representa com- posto, ~v é o vetor cujas entradas são os autovalores de ρ ,~s e ~e vetores cujas componentes são os autovalores dos operadores densidade reduzidos ρS e ρE. Se é separável, então
~v↓ ≺ ~s↓, ~e↓.
Diz-se então que x é mais misturado que z quando z x. Podemos agora enunciar o critério de Nielsen e Kempe:
Critério de Nielsen e Kempe: Se ρ2 é separável, então: λ(ρi) λ(ρ2) e λ(ρj)
λ(ρ2), onde λ(ρ2), λ(ρi) e λ(ρj) representam os autovalores de ρ2 e de suas matrizes
reduzidas, respectivamente.