Le MSSM

χ^C_m ^∂ 2W ∂z_m∂z_n^{χn+ h.c (3.12)}

On a donc construit des int´eractions supersym´etriques et invariantes de jauge.

3.2.3 Le MSSM

Le mod`ele supersym´etrique le plus simple et le plus utilis´e consiste en la super-sym´etrisation du mod`ele standard o`u ne sont ajout´es que les champs et les couplages n´ecessaires `a la coh´erence du mod`ele. Ce mod`ele porte le nom de Mod`ele Standard Super-sym´etrique Minimal ou MSSM [57] [58] [59] [60] [61]. Il est construit de la fa¸con suivante :

– On associe `a chaque boson de jauge un champ de spin ¹₂ appel´e jaugino. Les par-tenaires des champs B_µ et W_µⁱ s’appellent bino et wino et sont not´es ˜B et ˜Wⁱ. En analogie avec le photon, les bosons Z et W^±, on peut former le photino ˜γ, le Zino

˜

Z, et les ˜W^±inos `a partir des champs ˜B et ˜Wi. Les superpartenaires des gluons sont les gluinos ˜g.

– Les partenaires des quarks et des leptons sont de spin–0 et s’appellent les squarks et les sleptons. Il y a un superpartenaire pour chaque degr´e de libert´e, donc deux champs bosoniques sont n´ecessaires par fermion du MS. Ces ´etats seront not´es left et right, ˜q_L, ˜q_R pour les squarks et ˜`<sub>L</sub>, ˜`_R pour les sleptons.

– En outre, deux doublets de Higgs complexes d’hypercharge±1 sont n´ecessaires pour donner leur masse aux quarks et leptons de type haut et bas et pour annuler les anomalies. Les partenaires de spin 0 de ces champs de Higgs s’appellent les higgsinos. Les champs du MSSM sont montr´es dans le tableau 3.1.

Dans sa version locale, la supersym´etrie inclut la gravit´e dans un th´eorie appel´ee la Supergravit´e. On y suppose l’existence de graviton (spin–2) et de son partenaire super-sym´etrique le gravitino (spin–³₂).

Consid´erons maintenant le Lagrangien du MSSM. Les interactions de jauge d´erivent du groupe de jauge du mod`ele standard : SU (3)<sub>C</sub> ⊗ SU(2)L⊗ U(1)Y. Les masses et les couplages des champs de mati`ere sont d´etermin´es par le superpotentielW :

W = 3 X i,j=1  (h_E)_ijH₁L_iE_j^c+ (h_D)_ijH₁Q_iD^c_j+ (h_U)_ijQ_iH₂U_j^c + µH₁H₂ (3.13)

o`u i et j sont les indices de g´en´erations. Les contractions sur les indices SU(2) et SU(3) sont sous-entendues. En particulier,

H1H2≡ ^αβ H1αH_2β = H₁⁰H₂⁰− H₂⁺H₁⁻ (3.14)

Superchamp Particule Spin Superpartenaire Spin V1 Bµ 1 B^{˜ 1}₂ V₂ W_µⁱ 1 W^{˜i 1}₂ V3 G^a_µ 1 ˜g^{a 1}₂ Q (u, d)_L ¹₂ (˜u_L, ˜d_L) 0 Uc u¯_R ¹₂ u˜^∗_R 0 D^c d^¯_R ¹₂ d^˜∗_R 0 L (ν, e)_L ¹₂ (˜ν_L, ˜e_L) 0 Ec e¯_R ¹₂ ˜e^∗_R 0 H₁ (H0 1, H₁⁻) 0 ( ˜H0 1, ˜H₁⁻) ¹₂ H₂ (H₂⁺, H₂⁰) 0 ( ˜H₂⁺, ˜H₂⁰) ¹₂

Tab. 3.1 – Contenu en champ du MSSM.

avec ^αβ le tenseur compl`etement antisym´etrique utilis´e pour la contraction des indices d’isospin faible SU(2)_L α,β = 1,2. De mˆeme, H₁QDc ≡ αβH_1αQa

βDc

a o`u a = 1,2,3 est l’indice de couleur. Les matrices 3×3 hD, h_U et h_E sont les couplages de Yukawa sans dimension donnant les masses des quarks et des leptons. De plus h_D et h_U interviennent dans le m´elange des quarks et donc dans la matrice CKM.

Le Lagrangien obtenu `a partir du superpotentiel (3.13) est : LSUSY =− X j,k ∂2W ∂φj∂φk ψ_jψ_k+ h.c.  −^X j     ∂W ∂φj     2 (3.15)

o`u les φ<sub>i</sub> sont des champs scalaires et les ψ<sub>i</sub> des fermions; W d´epend uniquement des champs scalaires. Le premier terme de (3.15) contient les masses et les interactions de Yukawa des fermions, alors que le second d´ecrit les masses et les interactions bosoniques. Les interactions ainsi obtenues respectent une sym´etrie appel´ee R-parit´e discrimi-nant les champs “standards” (fermions, bosons de jauge et de Higgs) et les superpartenaires (sfermions, higgsinos et jauginos), les premiers ´etant pairs sous la R-parit´e et les seconds impairs. Aussi, toute interaction implique un nombre pair de particules SUSY (“sparticu-les”). C’est `a dire que les sparticules ne peuvent ˆetre produites que par paires, et que toute d´esint´egration de sparticule doit donner un nombre impair de sparticules. C’est pourquoi, dans le MSSM avec conservation de R-parit´e, la particule supersym´etrique la plus l´eg`ere (lightest supersymetric particle LSP) est stable. Comme elle ne peut pas se d´esint´egrer, une certaine quantit´e peut avoir surv´ecu et s’ˆetre d´ecoupl´ee apr`es le Big Bang (chapitre 1).

Afin d’ˆetre complet, il faut souligner ici que la R-parit´e apparaˆıt pour des pr´eoccupations de minimalit´e. Il est possible d’ajouter au superpotentiel des termes violant cette R-parit´e :

W_6R= λLLE^c+ λ⁰LQD^c+ λ⁰⁰D^cD^cU^c+ µ⁰H1L. (3.16) o`u nous avons supprim´e les indices de g´en´erations. La violation de R-parit´e autorise la vio-lation des nombres baryoniques et leptoniques et conduit `a une ph´enom´enologie diff´erente

[62, 63]. En effet la production de sparticule seule est possible et la LSP n’est plus stable et peut se d´esint´egrer !! Il existe de s´ev`eres contraintes sur les couplages λ, λ⁰, λ⁰⁰, and µ⁰ principalement donn´ees par le temps de vie du proton et dans une moindre mesure par les FCNC.

Mais de telles interactions annihilent toute possibilit´e de recherche de mati`ere noire super-sym´etriques par les exp´eriences consid´er´ees dans cette th`ese aussi nous travaillerons dans le MSSM avec conservation de la R-parit´e.

Le potentiel scalaire V provient des termes F et D, ce qui donne : V = F_i^∗F_i+¹₂  D^aD^a+ DⁱDⁱ+ (D⁰)² (3.17) avec Fi= ^∂W(φi) ∂φ_i ^{, (3.18)} et D^a= g₃φ^∗T^aφ , Dⁱ = ¹₂g₂φ^∗σⁱφ , D⁰ = ¹₂g₁Y_φφ^∗_iφ_i. (3.19) T^a= λ^a/2 (a = 1, . . . 8) avec λ^a les matrices de Gell-Mann–Low. σⁱ (i = 1, . . . 3) sont les matrices de Pauli et Y_φ= 2(Q− I3) est l’hypercharge du champ φ.

Le Lagrangien (3.15) conserve la supersym´etrie. Pourtant dans un mod`ele r´ealiste, puisqu’aucune sparticule de mˆeme masse que les particules n’a ´et´e observ´ee, SUSY doit ˆetre bris´ee. Mais, la brisure de la supersym´etrie n’est pas encore r´ealis´ee de fa¸con satisfaisante, aussi nous nous contentons de rajouter des termes de brisure douce i.e qui n’ajoutent pas de divergences quadratiques. Ces termes consistent en des couplages et des termes de masses “soft” pour les jauginos et les sfermions :

– termes de masse des jauginos −¹₂M_aλ^¯_aλ_a, o`u a est l’indice de groupe; – termes de masse des scalaires −Mφ²i|φi|²;

– int´eractions trilin´eaires de scalaires A_ijkφ_iφ_jφ_k; – termes bilin´eaires −Bijφ_iφ_j + h.c.².

La forme du Lagrangien de brisure douce est alors :

−Lsoft = ¹₂M₁B ˜^˜B +¹₂M₂W ˜^˜W +¹₂M₃g˜˜g + m²_H1|H1|²+ m²_H2|H2|² + M_Q²_˜|˜qL|²+ M_U˜²|˜uR^c|²+ M_D²_˜| ˜d_R^c|²+ M_L²_˜|˜`L|<sup>2</sup>+ M<sub>E</sub><sup>2</sup><sub>˜</sub>|˜eR<sup>c</sup>|<sup>2</sup> + h<sub>E</sub>A<sub>E</sub>H<sub>1</sub>`^˜_Le˜_R^c + h_DA_DH₁q˜_Ld^˜c_R+ h_UA_UH₂q˜_Lu˜^c_R+ BµH₁H₂+ h.c. . (3.20)

M₁, M₂, and M₃ sont les masses des jauginos U(1), SU(2) et SU(3) respectivement. m2 H1, m²_H2et Bµ sont les termes de masses pour le champ de Higgs. Les termes de masses scalaires M²_˜

Q, M²_˜

U, M²_˜

D, M²_˜

L et M²_˜

E sont dans le cas le plus g´en´eral des matrices hermitiques 3×3 dans l’espace des g´en´erations, alors que h_UA_U, h_DA_D et h_EA_E sont des matrices 3×3 quelconques. Si on autorise aux param`etres de (3.20) d’ˆetre complexes, nous avons 124 param`etres (masses, phases et angles de m´elanges) libres (⊃ les 19 du MS). Remarquons enfin queLsoft respecte la R-parit´e.