Moyenne et variance des tailles de sauts

Sur la gure 5.10, nous rappelons les résultats obtenus et présentés au chapitre 3 paragraphe 3.3.2, pour la taille moyenne des sauts. De plus, nous examinons également le comportement de la variance des tailles de sauts. Comme pour l'étude des distributions de taille de sauts, nous avions eec-tué notre analyse sur un même nombre de points. L'estimation de la valeur moyenne exigeant moins de statistiques que pour celle de la distribution, nous pouvons réduire ce nombre de points et donc eectuer notre étude pour un plus grand nombre d'intervalles de diérentes valeurs deK.

La gure 5.10 met en évidence d'une part que la taille moyenne des sauts hsi diverge de manière linéaire avec l'écart au seuil de rupture (Kc − K) : hsi ∝ (Kc− K)−1 et d'autre part que la divergence de la variance5 des sauts

5Nous appelons à tort "variance" le moment d'ordre 2 de la distribution des tailles de

5.3. Moyenne et variance des tailles de sauts 145 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4^{x 10} −3 K c/(K c−K) 〈 s 〉 & 〈 s 2 /8〉 1 /3 (m) 〈 s 〉 fit : y = (2.5 x − 2.1) 10⁻⁴ 〈 s2/8 〉1/3 fit : y = (4.1 x − 1.5) 10⁻⁴

Fig. 5.10  Taille moyenne des sauts hsi (symboles ◦), et racine cubique du moment d'ordre 2 des tailles de sauts (on a divisé par un facteur 8 pour exa-miner les 2 comportements sur une même échelle) hs2i1/3 (symboles ⋄), en fonction de l'inverse de l'écart entre le facteur d'intensité des contraintesK et le facteur d'intensité des contraintes critique KC. Les droites en traits poin-tillés et discontinus représentent respectivemnt les meilleurs ts linéaires : de la taille moyenne des sauts y = (2.5x − 2.1)10−4 et de la racine cubique de la variance des sauts :y = (4.1x − 1.5)10−4.

hs2i avec l'écart au seuil de rupture est cubique soit hs2i ∝ (Kc − K)3. Ces résultats apparaissent en excellent accord avec les prédictions de notre modèle.

Pour être encore plus convaincant et montrer que notre modèle reproduit eectivement de façon remarquable le comportement asymptotique des2 pre-miers moments de la distribution, nous pouvons adopter la même approche qu'au paragraphe précédent en eectuant l'analyse sur un intervalle de K xé. Nous superposons alors sur la gure 5.11, la taille moyenne des sauts hsi et la racine cubique hs2i1/3 en fonction de l'écart au seuil de rupture. Les droites en trait plein correspondent à la prédiction de notre modèle, en utilisant le paramètre hV i = 5ų obtenu à partir des ajustements des distri-butions de tailles de sauts.

Nous observons donc que notre modèle décrit de manière satisfaisante non seulement l'évolution de la distribution des tailles de sauts avec un paramètre libre V quasiment constant, mais également la divergence asymptotique de la taille moyenne et la variance des sauts. On peut remarquer sur la gure

146 Chapitre 5. Mécanisme de croissance par sauts 10⁰ 10¹ 10² 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ K_c/(K_c−K) <s> (m) <s²>^1/3 (m^2/3)

Fig. 5.11  Taille moyenne des sauts hsi (symboles ◦), et racine cubique du moment d'ordre 2 des tailles de sauts hs2i1/3 symboles ⋄), en fonction de l'inverse de l'écart entre le facteur d'intensité des contraintesK et le facteur d'intensité des contraintes critique KC.

5.11 que notre modèle décrit le comportement de la taille moyenne des sauts jusqu'à 1% du seuil de rupture KC ( notre modèle prédit que le rapport de l'écart-type de la taille des sauts sur la taille moyenne des sauts diverge à l'approche du seuil de rupture, et par conséquent la mesure de la variance des sauts est d'autant plus dicile près du point critique. On remarque ef-fectivement qu'à moins de 10% du seuil de rupture, la prédiction du moment d'ordre 2 apparaît moins bonne).

Nous allons maintenant discuter l'échelle de volume des uctuations V obtenue.

Echelle volumique V des uctuations statistiques

Nous rappelons que dans notre approche théorique, le volume V repré-sente l'échelle à laquelle les uctuations statistiques de contrainte sont ca-pables de déclencher un évènement de rupture.

Les ajustements des distributions de tailles de sauts avec comme unique paramètre libre cette échelle volumique V , donnent de manière robuste une taille atomique V1/3 = 1.7Å et montrent donc que les uctuations statistiques de contrainte agissent à une échelle extrêmement petite (beaucoup plus petite que la taille des sauts que nous avons mesurés). On peut également remar-quer que cette valeur apparaît plus petite que celle que nous avions estimée

5.3. Vitesse de croissance moyenne υ 147

à partir de l'analyse des diérents paramètres caractérisant la dynamique d'avancement moyenne (longueur caractéristique de croissance ξ, et temps de rupture τ). Nous avions trouvé eectivement une échelle nanométrique V1/3 ∼ 4nm (voir chapitre 4 paragraphes 4.4.1 et 4.4.2).

La "petitesse" de cette échelle peut être a priori surprenante et déran-geante. Cependant, il faut remarquer que notre approche prédit une limite inférieure pour cette taille microscopique.

D'une part, le mécanisme de dissipation d'énergie proposé permettant de piéger la ssure, sur-estime de manière très importante un véritable proces-sus de dissipation ( par exemple une déformation plastique ou visqueuse). En eet, nous supposons que toute l'énergie élastique libérée lors de l'avan-cement de la ssure est dissipée et ne permet pas à la ssure éventuellement de poursuivre son avancement. En diminuant la dissipation d'énergie, la s-sure pourrait réaliser des sauts de longueur plus importants. Pour obtenir la même vitesse expérimentale, la barrière d'énergie doit être plus importante (pour piéger la ssure plus longtemps), ce qui est alors possible si l'échelle volumique V est plus grande.

D'autre part, nous avons complétement négligé le rôle du désordre sur les propriétés du matériau. Récemment, Scoretti, Ciliberto et Guarino ont montré sur un modèle 1d que le désordre réduit de manière eective la barrière d'énergie à franchir [58, 57], et donc permet la rupture pour des échelles volumiques V plus grandes. En collaboration avec Guarino et Scoretti, nous sommes justement en train de vérier numériquement sur notre réseau de ressorts 2d le rôle du désordre, en distribuant de manière aléatoire le seuil de rupture des ressorts. Des résultats préliminaires semblent conrmer que le désordre réduit les barrières d'énergie à franchir, nous permettant de dénir une température eective plus grande que la température thermodynamique.