Analyse de la dynamique intermittente

V 〉 (m.s − 1 ) F = 250 N ; L_i = 1 cm F = 220 N ; L i = 2 cm F = 170 N ; L_i = 3 cm F = 160 N ; L i = 4 cm pente = 1

Fig. 3.33 Vitesse moyenne d'avancement de la ssurehV i, en fonction de l'inverse de l'écart entre le facteur d'intensité des contraintesK et le facteur d'intensité des contraintes critique KC, pour diérentes expériences de uage.

Nous observons eectivement un comportement singulier de cette vitesse moyenne d'avancement en fonction de l'inverse de l'écart au seuil de rupture. Nous pouvons remarquer 2 diérents régimes : proche du seuil de rupture la vitesse de croissance semble diverger de manière linéaire avec l'écart au seuil de rupture 1

KC−K, et lorsqu'on s'éloigne du seuil de rupture la vitesse de croissance moyenne chute de manière vertigineuse. Nous mesurons des vitesses initiales moyennes de l'ordre de V ∼ 10−6m.s−1.

Nous montrerons un modèle dans la suite qui nous permet de comprendre ce comportement de la vitesse d'avancement moyenne de la ssure.

Nous avons décrit de manière détaillée la dynamique moyenne de crois-sance d'une ssure sous contrainte, examinons maintenant le caractère inter-mittent de cette dynamique.

3.3 Analyse de la dynamique intermittente

Nous avons mis en évidence que la croissance de la ssure est intermit-tente : la ssure reste piégée pendant un certain temps d'atintermit-tentetw et puis soudainement avance d'un saut de taille s. Cette dynamique intermittente est donc caractérisée par un couple d'évènements : {s, tw}.

3.3. Détection des sauts 79

3.3.1 Détection des sauts

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40 60 80 100 120 140 160 180 200 L fissure (cm) Temps (s) 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 50 55 60 65 70 75 80 L_fissure (cm) Temps (s) Evènement j Longueur du saut s_j Temps d’attente t j

Fig. 3.34 Courbe de croissance et détection des évenements de sauts. Expérience de traction F = 270N et Li= 1cm

La gure 3.34 montre le relevé de ces évènements à partir des courbes de croissance établies précédemment. Lors d'une expérience de traction, nous détectons typiquement 50 sauts. Chaque évènement de saut est caractérisé par sa taille, le temps d'attente pendant lequel la ssure n'a pas avancé, l'ins-tant d'apparition du saut et la longueur de la ssure à cet insl'ins-tant. Nous avons eectué cette procédure pour l'ensemble des diérentes expériences réalisées (1cm < Li < 4cm et 140N < F < 280N), correspondant à plus d'une cen-taine d'expériences. Nous obtenons ainsi de l'ordre de 5000 évènements de sauts à analyser.

L'objectif est d'établir les distributions des temps d'attentetw et des sauts de longueurs s, an de mieux comprendre la nature du processus d'endom-magement. Or, an de pouvoir comparer les diérents sauts détectés, il est nécessaire de déterminer le paramètre de contrôle de cette dynamique inter-mittente. Nous allons montrer que le facteur d'intensité des contraintes qui donne une estimation de la contrainte à la pointe du défaut est la quantité physique jouant le rôle de paramètre de contrôle de la dynamique de rupture sous-critique.

Un Paramètre de contrôle : la contrainte à la pointe de la ssure La gure 3.35 montre les histogrammes de la taille des sauts de lon-gueur de la ssure relativement à la lonlon-gueur de la ssure. L'analyse des

80 Chapitre 3. Résultats Expérimentaux

histogrammes 3.35 ore une estimation de la zone d'endommagement, dite "process zone", distance en avant de la pointe de la ssure jusqu'à laquelle les évènements de fracturation se produisent.

Nous pouvons observer que 97% des sauts sont tels que la longueur de la ssure est dix fois plus importante que la taille des sauts soit LSaut

Lf issure < 0.1. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 L Saut/L Fissure N 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10⁰ 10¹ 10² 10³ L Saut/L Fissure N

Fig. 3.35  Histogrammes du rapport entre la taille d'un saut et la longueur de la ssure LSaut

Lf issure

On remarque donc, que dans nos expériences de fracture, les évènements de rupture apparaissent à proximité de la pointe du défaut. Ceci montre une nouvelle fois l'importance du phénomène d'intensication de la contrainte à la pointe de la ssure, qui provoque l'avancement de la ssure. Nous avons déjà mis en évidence le rôle crucial de ce phénomène d'amplication de la contrainte en tête du défaut en examinant la longueur critique de ruptureLc

en fonction de la contrainte appliquée ( voir la gure 3.12).

Ainsi, la contrainte à la pointe de la ssure apparaît comme la quantité physique gouvernant la dynamique de rupture. Cette grandeur peut être estimée notamment grâce au facteur d'intensité de contraintes K. Comme nous avons mesuré la longueur de la ssure correspondante pour chaque saut, nous pouvons en déduire la contrainte à la pointe du défaut au moment du saut, grâce au facteur d'intensité de contraintes correspondant : K = σ^qLψ(H

L) où ψ est un facteur de correction géométrique. La gure 3.36 montre les distributions des facteurs d'intensité de contraintesK.

Nous pouvons déduire de l'examen de ces distributions le seuil de rup-ture de nos échantillons, correspondant au facteur d'intensité des contraintes

3.3. Sauts de longueur 81 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10⁶ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 K ( N.m^−3/2) 1−C N 2 4 6 8 x 10⁶ 0 50 100 150 200 250 300 350 K ( N.m^−3/2) N K C

Fig. 3.36  Distribution Cumulée normalisée CN des facteurs d'intensité des contraintes et en insert distribution des facteurs d'intensité des contraintesK. Les distributions sont construites en utilisant les facteurs d'intensité des contraintesK mesurés au moment d'un saut pour l'ensemble des expériences réalisées.

critique, en déterminant la valeur de K au delà de laquelle la probabilité d'obtenir un saut devient nulle, (en pratique, nous avons déterminé la valeur de K à partir de laquelle ǫ = 1− CN(K)

max(C_N) < p = 2.10−3)3. Nous obtenons alors KC = (6.4 ± 0.1)106N.m⁻³2. On remarque que cette valeur est en très bon accord avec la valeur obtenue à partir de l'examen des longueurs critiques mesurées pour chaque expérience, soit KC = (6.1 ± 0.3)106N.m−³₂.

Nous allons donc ordonner l'ensemble des évènements de sauts détectés en fonction de la contrainte à la pointe de la ssure, an d'examiner la dis-tribution des sauts de longueur de la ssure.

3.3.2 Sauts de longueur

Nous pouvons désormais examiner la distribution des sauts de longueur de ssure pour diérentes valeurs du facteur d'intensité des contraintesK. La gure 3.37 montre les distributions des tailles de saut pour l'ensemble des sauts détectés, pour diérents intervalles de valeurs deK. Pour obtenir chaque distribution, nous avons utilisé le même nombre de points, soit typi-quement 1000 points. Puis, nous choisissons une fenêtre logarithmique. Nous précisons sur la gure 3.37 les gammes de facteurs d'intensité des contraintes

82 Chapitre 3. Résultats Expérimentaux

choisies K. On remarque que pour les valeurs de K les plus faibles et les plus importantes (respectivement loin et proche du seuil de rupture), les bandes de K sont plus larges, dû au manque de statistiques.

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² L_Saut (cm) P(S) K = ( 0.52 ± 0.03 ) K C K = ( 0.60 ± 0.02 ) K C K = ( 0.66 ± 0.02 ) K C K = ( 0.73 ± 0.02 ) K C K = ( 0.85 ± 0.06 ) K C

Fig. 3.37  Distribution de probabilité des tailles de sauts pour diérentes va-leurs du facteurs d'intensité des contraintes K. Les droites en traits discontinus et pointillés servent de guides pour les yeux.

Nous observons 2 régimes, selon la taille des sauts. Pour les petites tailles de sauts comprises entre environ 100µm (qui correspond à la résolution de notre détection) et 1mm environ, la distribution ne dépend pas de la valeur du facteur d'intensité des contraintes. Alors que pour les tailles de sauts plus importantes, nous remarquons que la queue de la distribution évolue en fonction de la contrainte à la pointe du défaut. En eet, on observe une longueur de coupure qui augmente avec le facteur d'intensité des contraintes K. Ceci met en évidence que la taille moyenne des sauts augmente avec la contrainte à la pointe de la ssure, lorsqu'on se rapproche du seuil de rupture. Taille moyenne des sauts de longueur

Nous pouvons également examiner la taille moyenne des sauts en fonction du facteur d'intensité des contraintes. Comme pour l'étude des distributions de taille de sauts, nous eectuons notre analyse (ici une moyenne), sur un même nombre de points. Comme l'estimation de la valeur moyenne exige moins de statistiques que pour celle de la distribution, nous pouvons réduire ce nombre de points et donc eectuer notre étude pour un plus grand nombre

3.3. Temps d'attente 83

de boîtes de diérentes valeurs de K. Les barres d'erreur sur les gures 3.38 permettent de visualiser la largeur des bandes deK sur lesquelles nous eec-tuons la moyenne des tailles de sauts.

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 <K>/K_C <S> (mm) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 K C/(K C−<K>) <S> (mm)

Fig. 3.38  à gauche : Taille moyenne des sauts hSi, en fonction du fac-teur d'intensité des contraintes K normalisé par le facfac-teur d'intensité des contraintes critique KC. à droite : Taille moyenne des sauts hSi, en fonction de l'inverse de l'écart entre le facteur d'intensité des contraintesK et le fac-teur d'intensité des contraintes critique KC. La droite en pointillés bleus est le meilleur t linéaire : y = 0.27(x − 1)

Nous remarquons sur les gures 3.38 que la taille moyenne des sauts augmente très fortement avec le facteur d'intensité des contraintes et diverge à l'approche du seuil de rupture KC. La gure 3.38 de droite montre la divergence de la taille moyenne des sauts qui se comporte linéairement en fonction de l'écart au seuil de rupture : KC

KC−K.

3.3.3 Temps d'attente

Distribution des temps d'attente

Nous pouvons réaliser la même analyse pour étudier les temps d'attente séparant 2 sauts consécutifs. Nous présentons sur la gure 3.39, la distribu-tion de probabilité des temps d'attente tw pour la même gamme de facteurs d'intensité des contraintes K que celle choisie précédemment. Chaque distri-bution de probabilité a été obtenue avec le même nombre de points.

Nous remarquons que la dépendance de la distribution de probabilité des temps d'attente tw en fonction du facteur d'intensité de contraintes K n'est pas aussi claire que celle pour les distributions des tailles de sauts. Cependant, on peut remarquer un décalage systématique vers la gauche des distributions,

84 Chapitre 3. Résultats Expérimentaux 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁻⁸ 10⁻⁷ 10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰ P t w (s) K = ( 0.52 ± 0.03 ) K_C K = ( 0.60 ± 0.02 ) K_C K = ( 0.66 ± 0.02 ) K_C K = ( 0.73 ± 0.02 ) K C K = ( 0.84 ± 0.05 ) K C

Fig. 3.39  Distribution de probabilité des temps d'attente tw séparant 2 sauts consécutifs pour diérentes valeurs du facteurs d'intensité des contraintesK.

lorsqu'on se rapproche du seuil de rupture KC. Ceci correspond au fait que le temps d'attente moyen htwi diminue en fonction du facteur d'intensité des contraintes K.

Temps d'attente moyen

Nous allons donc examiner le temps d'attente moyenhtwi en fonction de la contrainte à la pointe de la ssure.

La gure 3.40 montre que le temps d'attente moyen semble diminuer de manière exponentielle en fonction de la contrainte à la pointe du défaut estimée grâce au facteur d'intensité des contraintesK, lorsqu'on se rapproche du seuil de rupture KC. Les barres d'erreur permettent de visualiser la largeur des intervalles de K sur lesquels on réalise les moyennes.

On peut remarquer qu'il semble dicile de mesurer des temps d'attente moyen htwi plus grands que 1000s. On est amené à se demander si cet eet n'est pas dû à un problème de bruit lors de notre analyse d'images où l'on considère peut-être à tort des petits sauts de1 pixel (surtout que la probabi-lité d'avoir un évènement dû au bruit est d'autant plus grande que le temps d'attente est long)4.

4Nous discuterons cet éventuel problème de bruit au chapitre 5, qui pourrait avoir des