Motivations et g´en´eralit´es

Pour un triplet spectral `a unit´e (A, H, D), Chamseddine et Connes [6, 7] ont propos´e une ‘action physique’ ne d´ependant que du spectre de l’op´erateur D ; le principe d’action spectrale

S_Λ(D, A) := Tr^χ_[0,1](DA²/Λ²)

3.2. ACTION SPECTRALE 91

i.e. le nombre de valeurs propres inf´erieures `a une ´echelle de masse Λ. Ici, DA est l’op´erateur de “Dirac” covariant DA := D + A + ǫJAJ−1, o`u A est une 1-forme diff´erentielle universelle repr´esent´ee A ∈ ˜π(Ω1A). ˜π d´esigne toujours la repr´esentation relev´ee `a l’alg`ebre diff´erentielle universelle Ω•A :

˜

π(a₀δa₁· · · δap) := π(a₀)[D, π(a1)]· · · [D, π(ap)], a_i ∈ A, i = 1, · · · , p.

J est la structure r´eelle du triplet (la conjugaison de charge pour les spineurs dans les cas commutatifs comme pour les d´eformations isospectrales) et ǫ ∈ {+1, −1} en fonction de la dimension. Initialement [6, 7], dans le cas presque commutatif du mod`ele standard, le calcul de cette action utilisait `a la place de la fonction caract´eristique χ_[0,1], n’importe quelle fonction lisse φ l’approximant. Pour pouvoir calculer cette action asymptotiquement par des techniques de transform´ee de Laplace, de plus amples conditions sur φ doivent ˆetre impos´ees [40]. Nous reverrons ces conditions lors de son calcul pour les plans de Moyal. Dans le cas `a unit´e, D ainsi que sa perturbation born´ee DA sont `a r´esolvante compacte, donc φ(D2

A/Λ²) est `a trace d`es que φ est suffisamment d´ecroissante `a l’infini ; rn−1φ(r2)∈ L1(R+) est une condition suffisante dans le cas d’un triplet spectral de dimension n.

Concernant l’op´erateur de “Dirac” covariant DA, le point de d´epart r´eside dans l’analogie entre le groupe d’invariance d’une th´eorie de jauge coupl´ee avec la gravitation sur une vari´et´e Riemannienne M , G = U ⋊ Diff(M ) et le groupe d’automorphismes Aut(A) = Int(A) ⋊ Out(A) d’une alg`ebre A, au travers des suites exactes de groupe

1→ U → G → Diff(M) → 1, 1→ Int(A) → Aut(A) → Out(A) → 1.

Les deux constructions co¨ıncident en particulier lorsque A = C∞(M, M_n(C)), n > 1 : Out(A) = Diff(M), Int(A) = C∞(M, SU_n/Z_n). Pour une fonctionnelle d’action d´efinie sur un triplet spectral, il est alors naturel d’imposer que le groupe d’invariance soit le groupe d’au-tomorphismes de l’alg`ebre.

Pour obtenir une th´eorie de jauge avec champs de mati`eres lorsque l’alg`ebre A est presque commutative, c’est-`a-dire lorsqueA = C∞(M )⊗AF (o`u A_F est une alg`ebre finie, en l’occurrence H⊕C⊕M3(C) pour le mod`ele standard de la physique des particules [5–7]), il faut repr´esenter les automorphismes int´erieurs sur l’espace de Hilbert fermioniqueH. En particulier, il faut relever Int(A) sur le groupe des unitaires U(H) des op´erateurs born´es sur H :

U(A) ∋ u 7→ σ(u) = π(u)Jπ(u)J⁻¹∈ U(H).

Pour les tores non commutatifs, les plans de Moyal et certaines g´eom´etries presque commutatives, cette repr´esentation est la repr´esentation adjointe : π(u)Jπ(u)J⁻¹ψ = u⋆_Θψ⋆_Θu^∗, ψ ∈ H. Sous cette transformation, l’op´erateur D se transforme comme

D → σ(u)Dσ(u)⁻¹ =D + π(u)[D, π(u^∗)] + ǫJπ(u)[D, π(u^∗)]J⁻¹, (3.2.2) o`u le signe ǫ vient de la relation de commutation DJ = ǫJD, (voir [14, 55] pour une table des signes). Ainsi, DA → DA′ avec A<sup>′</sup> = π(u)Aπ(u<sup>∗</sup>) + π(u)[D, π(u<sup>∗</sup>)] se transforme de mani`ere covariante.

Pour les g´eom´etries presque commutatives C∞(M ) ⊗ AF, en particulier pour le mod`ele standard, avec

D = D/ ⊗ 1_HF + 1⊗ DF, D/ =−ieµ

aγ^a(∂_µ+ ω_µ),

o`u ω est la connection de spin et D<sub>F</sub> une matrice Hermitienne (la matrice de masse fermion-ique), SΛ(D, A) est asymptotiquement calculable en utilisant le d´eveloppement du noyau de la chaleur. Notons d`es `a pr´esent que D/<sup>2</sup><sub>A</sub> peut ˆetre vu comme un Laplacien g´en´eralis´e : D/<sup>2</sup><sub>A</sub> = − (gµν(∂<sub>µ</sub>+ B<sub>µ</sub>)(∂<sub>ν</sub>+ B<sub>ν</sub>) + E) ≡ P o`u gµν est le tenseur m´etrique, B_µ est une con-nection contenant une partie spin et une partie Yang–Mills et E est un endomorphisme du fibr´e spinoriel. On peut montrer formellement [6,7], en d´eveloppant φ en s´erie de Taylor, que S_Λ(D, A) est li´ee aux coefficients de Seeley–DeWitt a_k(P, p) de la trace du semi-groupe de la chaleur

Tr e^−tP
∼t→0(4π)^−n/2X l∈N t^(l−n)/2 Z M µ_g(p) a_l(P, p), (3.2.3) par la relation entre la fonction Z´eta et la trace de l’op´erateur de la chaleur [51] :

ζ_P(s) := Tr(P^−s) = _Γ(s)¹ Z _∞

0

dt t^s−1Tr(e^−tP). (3.2.4) Sur une vari´et´e sans bord, les coefficients de Seeley–De Witt s’annulent a_l(P, .) = 0, lorsque l est impair. On obtient alors dans le cas quadri-dimensionnel

S_Λ(D/ ⊗ 1AF, A) = (4π)⁻² 2 X l=0 Λ^4−2l φ_2l Z M µ_g(p) a_2l(P, p) + O(Λ⁻²), (3.2.5) o`u les ‘moments’ φ_i sont d´efinis par

φ₀ = Z _∞ 0 dt t φ(t), φ₂ = Z _∞ 0 dt φ(t), φ_2(2l+2)= (−1)^lφ^(l)(0), l≥ 0. (3.2.6) Des d´erivations moins formelles de cette relation, n´ecessitant quelques hypoth`eses suppl´ementai-res sur φ, ont ´et´e obtenues dans [40, 82].

Lorsque M est de dimension quatre et A_F = H⊕C⊕M3(C), l’action spectrale unifie la gravitation d’Einstein plus Weyl et le mod`ele standard avec son secteur de Higgs et le m´ecanisme de brisure spontan´ee de sym´etrie (voir [5–7]). Comme nous le verrons dans le cas des plans de Moyal, il n’y a pas de restriction sur les dimensions, mais l’expression des coefficients (3.2.6) sera sensiblement diff´erente.

Remarque 3.2.1. La relation (3.2.4) lie aussi la trace de Dixmier avec le d´eveloppement du noyau de la chaleur et donc l’action de Connes–Lott avec l’action spectrale.

L’op´erateur D n’est plus `a r´esolvante compacte dans le cas non compact, et il va falloir introduire une r´egularisation suppl´ementaire pour d´efinir l’action spectrale. Cette r´egularisation sera donn´ee par un ´el´ement positif de l’alg`ebre A et par analogie avec le cas commutatif non compact, pourra ˆetre qualifi´ee de r´egularisation spatiale.

D´efinition 3.2.2. Pour un triplet spectral sans unit´e (A, eA, H, D) de dimension spectrale n, l’action spectrale est donn´ee par

S_Λ(D, A, ρ) := TrH π(ρ) φ(DA²/Λ²)

3.2. ACTION SPECTRALE 93

Comme dans le cas unital, DA=D +A+ǫJAJ−1 (ǫ∈ {+1, −1} ) et A ∈ Ω1

D( eA) est dor´enavant une 1-forme auto-adjointe de l’alg`ebre `a unit´e eA repr´esent´ee

A^∗= A =X

i∈I

π(bⁱ₀) [D, π(bⁱ1)],

o`u I est un ensemble fini, b<sup>i</sup><sub>0</sub>, b<sup>i</sup><sub>1</sub> ∈ eA, 0 ≤ ρ ∈ A et de plus, 0 ≤ φ et Λ sont comme dans le cas `

a unit´e.

Remarque 3.2.3. i) Cette d´efinition donne une importance suppl´ementaire au choix du plonge-ment unif`ere de l’alg`ebre. La 1-forme A ´etant maintenant construite `a partir de eA, toutes les consid´erations de sym´etrie discut´ees dans le cas compact, restent alors valables. Ce point est cru-cial car l’existence d’unitaires dans l’alg`ebre est primordiale pour impl´ementer l’invariance de jauge : S_Λ(D, A, ρ) est par construction invariante sous l’action des automorphismes int´erieurs relev´es sur l’espace de Hilbert π(u)Jπ(u)J⁻¹. Dor´enavant la r´egularisation ρ se transforme aussi

(

A → uAu^∗+ u[D, u^∗], ρ → uρu∗.

ii) Les positivit´es de ρ et de φ sont suffisantes pour donner lieu `a une action d´efinie positive. iii) D’autres r´egularisations existent. En l’occurrence, Tr

φ DA² π(ρ)⁻¹


avec ρ un ´el´ement inversible et positif de l’alg`ebre, est aussi bien d´efinie. Cependant, pour les plans de Moyal, ce type de r´egularisation ne donne pas un acc`es direct `a un d´eveloppement asymptotique.

Dans le cas d’une g´eom´etrie commutative (ou presque commutative) non compacte et sans bord A = C∞

c (M ), il est ais´e de montrer que ρ e^{−t P}, t∈ R∗

+, o`u P est un Laplacien g´en´eralis´e et ρ∈ Cc<sup>∞</sup>(M ), est `a trace. Pour cela, on peut utiliser les mˆemes techniques d’op´erateur pseu-dodiff´erentiel que celles que nous utiliserons lors du paragraphe suivant. La formule (3.2.4) a dans ce cas un analogue

ζ_ρ,P(s) := Tr(ρ P^−s) = _Γ(s)¹ Z _∞

0

dt t^s−1Tr(ρ e^{−t P}). (3.2.8) Pour P = (D/ + A + ǫJAJ⁻¹)², on obtient

S_Λ(D/ ⊗ 1A_F, A) = (4π)^−n/2 m X l=0 Λ^n−2lφ_2l Z M µ_g(p) a_2l(P, p) ρ(p) + O(Λ^n−2(m+1)), o`u{a2l} d´esigne toujours les coefficients de Seeley–DeWitt, qui dans le cas d’une vari´et´e non com-pacte ne sont plus que localement int´egrables. Cependant, a_2l(P, .)ρ(.) est globalement int´egrable car ρ∈ C∞

c (M ). Les coefficients{φ2l} ont la forme (3.2.6) dans le cas quadri-dimensionnel ; leurs expressions en dimension quelconque sera ´etabli lorsque l’on traitera le cas des plans de Moyal.