Morphologie mathématique et transformée Mojette

 p q  . On note Np,q(x) le pq-voisinage du point x.

La pq-connexité est l’extension transitive de la pq-adjacence. Ainsi, un ensemble de n > 0 points {x₁, . . . , x_n} est pq-connexe si n = 1 ou si n > 2 et :

∀i ∈ [1 . . . n] , ∃j ∈ [1 . . . n] , j 6= i, x_j ∈ N_p,q(x_i)

Cette relation est réflexive, symétrique et transitive et constitue donc une relation d’équivalence.

Le cas particulier où p et q sont premiers entre eux est d’importance capitale. Nous dirons alors que l’ES2P est premier. Dans ce cas, les points générés par

une infinité de dilatations d’un point x du plan discret par l’ES2P ⁿO, (p, q)^o et

n

O, (−p, −q)^o correspondent exactement aux points discrets alignés avec x dans la direction (p, q). Nous appellerons cet ensemble une pq-droite, notée D (x, p, q). Dit autrement, une pq-droite correspond à une infinité de dilatations d’un point de

l’espace discret. À titre d’exemple, la figure 3.24représente une (−2, 1)-droite et

une (3, 2)-droite.

Les ES2P premiers forment donc une classe d’équivalence par la relation de

pq-connexité qui est une droite pq-connexe.

Nous allons maintenant étudier comment les outils de géométrie discrète et de morphologie mathématique, appliqués à la transformée Mojette, permettent de réduire deux problèmes infinis de la tomographie, en les plongeant dans un domaine fini.

3.4.4 Morphologie mathématique et transformée Mojette

Nous avons vu, dans la section précédente sur la morphologie mathématique, qu’il était possible de définir des droites discrètes à partir d’ES2P premiers.

x y

Figure 3.24 – Deux pq-droites : D (O, 3, 2) en noir et D



(4, −3) , −2, 1^ en bleu. Les points sur ces droites sont respectivement (3, 2)- et (−2, 1)-connexes.

naturellement d’identifier un ES2P à un vecteur

  p q   et un ES2P premier à un

angle discret (p, q). Les points échantillonnés par un bin de la projection Mojette dans la direction (p, q) sont pq-connexes et forment un pq-segment discret.

Il existe donc des relations fortes entre la transformée Mojette et la morphologie mathématique.

3.4.4.1 Unicité de la reconstruction

Dans cette section, nous présentons la généralisation du critère de suffisance de données de Katz, défini pour des images rectangulaires, à un support convexe quelconque.

Théorème 3.25 (Support du fantôme minimal d’un ensemble de projections [123]).

Soit P = {(p_i, qi)}_i un ensemble d’angles discrets. Le support d’image I_M formé

par les dilatations successives d’ES2P B_i = {O, (p_i, q_i)} est le support de la plus petite image reconstructible de façon non-unique par l’ensemble des projections Mojette de directions discrètes dans P .

recons-tructible de façon unique pour l’ensemble de projections donné. Il en résulte que

si le support de l’image à reconstruire est convexe et strictement inclus dans I_M,

alors cette image est reconstructible de façon unique. N. Normand montre que ce résultat peut être étendu, lorsque le support de l’image à reconstruire est convexe,

au cas plus général lorsque le support de l’image n’est pas inclus dans I_M, mais

lorsque leur intersection n’est pas I_M tout entier, dont voici l’énoncé.

Théorème 3.26 (Reconstructibilité de forme convexe [123]). Soit P = {(p_i, q_i)}_i

un ensemble d’angles discrets, auxquels on associe un ES2P B_i = {O, (p_i, q_i)} et

I_M leurs dilatations successives. Alors toute image convexe dont le support ne

contient pas I_M est reconstructible par l’algorithme de Mojette inverse Normand

(cf. algorithme2.25page97). Autrement dit, toute image convexe est reconstructible

de façon unique si et seulement si l’érodé de son support par I_M est vide.

3.4.4.2 ESP2 et non-unicité

Le théorème 3.25 est à interpréter au sens des fantômes. En effet, on parle

de l’image I_M formée par la dilatation successive des ES2P correspondant aux

directions discrètes. Le fait que I_M soit reconstructible de façon non-unique signifie qu’elle appartient à l’espace nul de la transformée Mojette. Le fait qu’elle soit de

plus minimale en terme de support signifie que I_M est un fantôme élémentaire

pour l’ensemble de projections. Le théorème 3.25 fournit donc une méthode de

construction du support d’un fantôme minimal pour un ensemble de projections donné, à partir de la dilatation des ES2P correspondant aux vecteurs de projections,

comme nous pouvons le voir sur la figure3.27. Cette méthode est à rapprocher de la

méthode de construction de fantômes par convolution (cf. section2.5.4.1 page 98).

Toujours du point de vue des fantômes, nous pouvons interpréter intuitivement

le théorème 3.26 comme le fait qu’une forme convexe est reconstructible si et

seulement si on ne peut y loger aucun fantôme. De manière équivalente nous avons vu que l’érodé de la forme par le fantôme doit être vide. Lorsqu’une forme convexe n’est pas reconstructible de façon unique, son érodé par le fantôme minimal donne un ensemble de pixels qu’il faudrait ôter de la forme pour la rendre reconstructible de façon unique.

• (2, 1) • • (1, 1) • • (0, 1) • • (−1, 1) •

Figure 3.27 – Dilatations successives d’un pixel central par les éléments struc-turants à deux pixels correspondant aux vecteurs (2, 1), (1, 1), (0, 1) et (−1, 1). L’origine du plan discret est représentée par le symbole •. Pour chaque étape, les pixels jaunes correspondent aux pixels pré-existants et les pixels rouges sont créés par la dilatation des pixels jaunes. Les pixels appartenant à la fois à ces deux catégories sont colorés en orange.

Or, fixer la valeur d’un de ces pixels à 0 équivaut à ôter ce pixel de la forme à reconstruire. Ainsi, il est possible de décomposer une forme convexe en une partie non-reconstructible de façon unique — à laquelle on assigne une valeur arbitraire — et en une partie qui devient alors reconstructible de façon unique. De plus avec cette construction, les pixels non-reconstructibles de façon unique sont ceux sur lesquels on peut translater le fantôme minimal de l’image.

L’érosion d’une forme convexe par les ES2P correspondant à la forme du fantôme minimal fournit donc à la fois la dimension et une base particulière de l’espace nul de la transformée Mojette pour un ensemble de directions discrètes données. Cette base correspond au fantôme minimal pour l’ensemble de directions discrètes, translaté sur chacun des points de l’érodé.