Résultat d’existence pour un processus de Rafle dégénéré avec une perturbation
Étape 5 Montrons que xp¨q est absolument continue
Nous avons pour presque toutt PI et pour toutn PN On peut donc extraire une sous suite de px9np¨qq et sans perte de généralité, on peut supposer que cette sous suite encore notée px9np¨qq et qui converge faiblement dans L1pI, Hq vers une fonction notée gp¨q PL1pI, Hq. Cela équivaut à ce qui suit Telle que χrT0,tsp¨qest la fonction caractéristique de rT0, ts définie par
χrT0,tsptq “ D’après la convergence faible de px9np¨qq, nous déduisons que
żt
En utilisant le fait que xnp¨q est absolument continue, on obtient xnptq “ xnpT0q `
xnptq ÝÑxptqfaiblement dans H.
Il découle de l’unicité de la limite que
xptq “xpT0q ` żt
T0
gpsqds.
Par consequent,xp¨q est absolument continue avec xptq “9 gptq, pour presque toutt P rT0, Ts.
Étape 6 : Montrons que xp¨q est une solution de pP DPq sur rT0, Ts.
Comme θnptq ÝÑt pour tout t P I, et xnp¨qconverge uniformément vers xp¨q, alors xnpθnptqq ÝÑ xptq pour tout tPI. D’autre part, la continuité de la fonction fpt,¨qsurBr0, ηs (xnpθnptqq PBr0, ηs) assure que, pour tout tPI,
fpt, xnpθnptqqq ÝÑfpt, xptqq dans H. (3.56) Ceci et p3.32qimpliquent que
}fpt, xptqq} ď p1`Mq.βptq p.p tPI.
Maintenant, on montre quexp¨q est une solution depP DPq. Autrement dit xptq `9 fpt, xptqq P ´NCptqpAxptqq p.pt P rT0, Ts. Ceci est équivalent à ce qui suit
DN ĂI :µpNq “ 0et xptq `9 fpt, xptqq P ´NCptqpAxptqq,@tP IzN.
On définit
ζnp¨q:“x9np¨q `fp¨, xnpθnp¨qqq “ζnp1qp¨q `ζnp2qp¨q. (3.57) Telles que
$
&
%
ζnp1qp¨q:“x9np¨q,
ζnp2qp¨q:“fp¨, xnpθnp¨qqq.
(3.58)
Nous avons montré àl’étape 5 queζnp1qp¨q “x9np¨qconverge faiblement vers x9p¨qdans L1pI, Hq. En outre, pour presque tout tPI, et pour tout n,
›
›ζnp2qptq›
›“ }fpt, xnpθnptqqq} ď p1`Mqβptq, βp¨q PL1pI,R`q.
Il s’ensuit que
żT T0
›
›ζnp2qptq›
›dtď p1`Mq żT
T0
βptqdt“ p1`Mq }β}L1pI,R`q. Par conséquentζnp2qp¨q est une suite de L1pI, Hq.
D’autre part, on a
ζnp2qptq “ fpt, xnpθnptqqq ÝÑζp2qptq:“fpt, xptqq dans H, (3.59)
En appliquant le théorème de convergence dominée de Lebesgue, il s’en suit que
ζ2p¨q PL1pI, Hq, (3.60)
et
›
›ζnp2qp¨q ´ζp2qp¨q›
›L1pI,HqÝÑ 0ðñ ζnp2qp¨q ÝÑζp2qp¨q fortement dansL1pI, Hq, Par suite
fp¨, xnpθnp¨qqq ÝÑfp¨, xp¨qq dans L1pI, Hq, Cela implique que
fp¨, xnpθnp¨qqq ÝÑfp¨, xp¨qq faiblement dansL1pI, Hq.
Par conséquent
ζnp¨q:“x9np¨q `fp., xnpθnp¨qqq ÝÑxp¨q `9 fp¨, xp¨qq faiblement dansL1pI, Hq. (3.61) En appliquant le lemme de Mazur à travers p3.61q, on peut extraire une sous suite de ζnp¨qet sans perte de généralité, on peut supposer que cette sous suite encore notée ζnp¨qtelles que :
a Pour presque tout tPI,
ζnptq Pcotx9kptq `fpt, xkpθkptqqq, k ěnu. (3.62) b Cette suite converge fortement dans L1pI, Hq vers x9p¨q `fp¨, xp¨qq. Autrement dit
nÝÑ`8lim }ζnp¨q ´ pxp¨q `9 fp¨, xp¨qqq}L1pI,Hq“ lim
nÝÑ`8
żT T0
}ζnptq ´ pxptq `9 fpt, xptqqq}H “0.
c Pour presque tout tPI,
xptq `9 fpt, xptqq Pč
n
cotx9kptq `fpt, xkpθkptqqq, k ěnu. (3.63) Parp3.21q, on a pour presque tout tPI,
x9nptq `fpt, xnpθnptqqq P ´NCptqpAxnptqq, (3.64) et par p3.33q, on a
x9nptq `fpt, xnpθnptqqq PαptqBH, (3.65) Où
αptq:“ }A}
ρ p1`Mqβptq ` 1
ρ|v9ptq|. Les relations p3.64q,p3.65qimpliquent
´x9nptq `fpt, xnpθnptqqq
αptq PNCptqpAxnptqq XBH.
En appliquant le théorème p1.3.5q, il s’en suit que Où σp´BdCptqpxnptqq,¨q est la fonction support associée à`
´BdCptqpxnptqq˘ .
Par ailleurs, de p3.63q et p3.66q, on peut déduire que pour presque tout tPI, et pour tout ξPH, xξ,xptq `9 fpt, xptqqy ďinf
En outre, le fait que la fonction distance dCp¨qp¨q est Lipschitzienne (en particulier localement Lipschit-zienne), alors pour tout t P I, σp´BdCptqp¨q, ξq est semicontinue supérieurement sur H. Ce qui donne , pour presque tout tPI, pour tout ξP H,
Puisqueξ est choisi arbitrairement, nous avons sup
ξPH
“xξ,xptq `9 fpt, xptqqy ´σp´αptqBdCptqpAxptqq, ξq‰
ď0. (3.67)
En utilisant le théorème p1.3.2q, le fait que BdCptqpAxptqq est un sous ensemble convexe fermé de H, il découle que
d`
xptq `9 fpt, xptqq,´αptqBdCptqpAxptqq˘
“ sup
Il découle de ceci et p3.67q que Par ailleurs, pour tout tPI
BdCptqpAxptqq Ă NCptqpApxptqq.
On déduit de la définition du cône normal et le fait queαptq ě0, on a
´xptq ´9 fpt, xptqq PNCptqpAxptqq p.pt PI.
On observe que
xpT0q “ lim
nÝÑ8xnpT0q “x0. Par conséquent, la fonction xp¨qest une solution de pP DPq.
Étape 7 : Montrons les estimations p3.6qet p3.7q.
Soit xp¨qla solution unique de pP DPq. Selon la proposition p2.2.2q, on a }xptq `9 fpt, xptqq} ď }A}
Par conséquent, d’après la condition de croissance de f, on a }xptq} ď9 Par ailleurs, puisque la fonctionxp¨q est absolument continue, alors on déduit
}xptq} ď }x0} ` żt
T0
}x9psq}ds, (3.71)
Ce qui donne Les inégalités p3.70qet p3.72qimpliquent que
}xptq} ď9 Par conséquent, le lemme de Gronwall garantit que, pour toutt PI
żt
Parp3.69q et p3.77q, on obtient
}x9ptq `fpt, xptqq} ď }A}
ρ βptqp1`lq ` 1
ρ|v9ptq| p.p tP rT0, Ts. (3.78) Étape 8 : Montrons l’unicité de la solution du problème pP DPq.
Soientx1p¨q, x2p¨qdeux solutions de l’inclusion différentielle pP DPq, alors
$
&
%
´x91ptq ´fpt, x1ptqq PNCptqpAx1ptqqp.p tP rT0, Ts, x1pT0q “x0, Ax0 P CpT0q.
et $
&
%
´x92ptq ´fpt, x2ptqq PNCptqpAx2ptqqp.p tP rT0, Ts, x2pT0q “x0, Ax0 P CpT0q.
Par la monotonie du cône normal deCptq, on a
x´x91ptq ´fpt, x1ptqq `x92ptq `fpt, x2ptqq, Ax1ptq ´Ax2ptqy ě0.
Ce qui implique
xx91ptq ´x92ptq, Apx1ptq ´x2ptqqy ď xfpt, x1ptqq ´fpt, x2ptqq, Apx2ptq ´x1ptqqy ď }fpt, x1ptqq ´fpt, x2ptqq} }Apx2ptq ´x1ptqq}.
PuisqueAest un opérateur linéaire borné etf estkp¨q´Lipschitzienne sur un ensemble borné, nous avons xx91ptq ´x92ptq, Apx1ptq ´x2ptqqy ď }A} }x1ptq ´x2ptq} }fpt, x1ptqq ´fpt, x2ptqq}
ď }A}kptq }x1ptq ´x2ptq}2. Ce qui donne
1 2
d
dt xx1ptq ´x2ptq, Apx1ptq ´x2ptqqy ď }A}kptq }x1ptq ´x2ptq}2. (3.79) En utilisant l’inégalité p3.79q, le fait que l’opérateur A est ρ´coercif, il découle que
d
dtxx1ptq ´x2ptq, Apx1ptq ´x2ptqqy ď 2
ρ}A}kptq xx1ptq ´x2ptq, Apx1ptq ´x2ptqqy. (3.80) On peut donc appliquer le lemme de Gronwall à traversp3.80q, on obtient
xx1ptq ´x2ptq, Apx1ptq ´x2ptqqy ď0.
PuisqueA estρ´coercif, cela implique clairement que
}x1ptq ´x2ptq}2 “0.
Par suite
x1ptq “ x2ptq.
Ce qui justifie l’unicité.
Partie 2 : Supposons maintenant que żT T0
βpsqdsě ρ
ρ` }A}. (3.81)
Dans ce cas, on considère une subdivision (plus fine) de rT0, Ts donnée par T0 ăT1 ă...ăTn “T,
tel que, pour tout iP t0,1, ..., n´1u,
żTi`1
Ti
βpsqdsă ρ
ρ` }A}, (3.82)
et d’après la partie 1 , il existe une fonction absolument continue sur rT0, Ts solution de problème pP DPq. L’unicité découle de la monotonie du cône normal et de la condition de la Lipschitzité def.
Ce qui termine la preuve du théorème. l