Considérons un état mixte de trois qubits de la forme suivante
ρABC =
X
i
pi|ψiiABChψi| . (IV.41)
Supposons que {pi, |ψiiABC} est la décomposition optimale minimisant le tangle moyen de ρABC
par rapport à la bipartition A/BC entre les sous systèmes A et BC. Autrement dit
τA/BC(ρABC) =
X
i
piτA/BC(|ψiiABChψi|). (IV.42)
Comme chaque |ψiiABC dans la décomposition est un état pur de trois qubits, il satisfait
l’inégalité de la monogamie (IV.2). Ainsi, pour chaque i,
τA/BC(|ψiiABChψi|) ≥ τ (ρiAB) + τ (ρ i
AC), (IV.43)
avec ρiAB et ρiAC sont les matrices de densité réduite de |ψiiABC sur les sous-systèmes AB et
AC, respectivement. L’inégalité de la monogamie (IV.43) et l’équation (IV.42) conduisent à
IV.5 Conclusion
Pour un système avec un nombre arbitraire de qubits, l’inégalité (IV.44) devient
τ (ρA1/A2...An) ≥ τ (ρA1A2) + ... + τ (ρA1An), (IV.45)
Pour n’importe quel état mixte de n qubits ρA1A2...An où ρA1Ai désigne la matrice densité
réduite agissant sur les sous-systèmes A1Ai pour i = 2..., n.
5
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons commencé par une introduction de l’intrication et la monoga- mie d’intrication pour des cas simples. Nous avons examiné la relation de monogamie dans les états de type W et GHZ. Nous avons aussi défini les mesures d’intrication bipartites pour les deux états purs et mixtes. Nous avons évalué ces mesures pour des systèmes en basse dimension afin de disposer des outils pour discuter leurs monogamies. Nous avons aussi mis en évidence les différentes approches pour traiter la monogamie d’intrication ainsi que les principaux défis dans le domaine. Enfin nous avons étudié la monogamie d’intrication et la notion de tangle moyen dans des états à trois qubit.
Chapitre V
La dynamique des corrélations quantiques des
états chat de Bell
1
Introduction
L’idée de coder de l’information dans des états cohérents multiphotoniques constitue un outil prometteur dans le domaine de l’information quantique. En effet, les superpositions des états cohérents ont été utilisés comme ressources pour réaliser des protocoles quantiques comme la téléportation [97,98], le calcul quantique [99–101] et pour la correction d’erreurs quantiques [102]. Ces applications expliquent l’attention particulière accordée, à l’identification, la carac- térisation et la quantification des corrélations quantiques dans les systèmes bipartites préparés dans des états cohérents (voir par exemple les travaux [103–105]). Pour quantifier les corré- lations quantiques au-delà de l’intrication, dans les systèmes des états cohérents, des mesures telles que la discorde quantique [106, 107] [66, 67, 109–113] et sa variante géométrique [108] [114–117] ont été utilisées.
D’autre part, la décohérence est un processus crucial pour comprendre l’émergence de classi- cisme dans les systèmes quantiques. Il décrit l’interaction entre le système et son environne- ment. Pour un qubit optique codé dans un état cohérent, l’influence de l’environnement est principalement due à la perte d’énergie. L’amortissement de l’amplitude peut être modélisée en supposant qu’une partie d’énergie et de l’information est perdue après la transmission à travers un diviseur de faisceau [112, 118]. Une autre question importante dans l’analyse du processus de décohérence concerne la distribution des corrélations quantiques entre les états cohérents
bipartites et l’environnement. Il s’en suit que, l’étude de la distribution des corrélations quan- tiques obéit à de sévères restrictions. Ces restrictions sont connues dans la littérature comme la propriété de la monogamie. Le concept de la monogamie d’intrication pour les qubits a été introduit par Coffman, Kundu et Wooters en 2001 [28]. Depuis lors, il a été étendu à d’autres mesures de corrélations quantiques [119–123]. Pour un système tripartite ABE, la relation de la monogamie s’écrit
QA|BE ≥ QA|B+ QA|E, (V.1)
où QA|BE est la corrélation entre A et le sous-système BE et QA|B (reps. QA|E ) est la corrélation
entre A et B (resp A et E).
Dans ce chapitre, on s’intéresse à l’évolution des corrélations quantiques présentes dans les états chat de Bell. Ces états sont des états cohérents de deux modes du champ électromagné- tique. Nous étudierons la distribution des corrélations quantiques entre les états chat de Bell à deux modes et de l’environnement. Pour approcher cette question, nous utiliserons les mesures bipartites : intrication de formation, la discorde quantique et sa variante géométrique.
2
Etats de type Bell en termes des états de Glauber
En général, les états de type Bell se composent de quatre états orthogonaux [124]. Cepen- dant, les quatre états intriqués basés sur les états non orthogonaux sont appelés les états chat de Bell. Prenons les états cohérents d’un mode bosonique |αi et |−αi [125]. Les états |αi et |−αi sont les états de Glauber de l’oscillateur harmonique quantique. Les états de type Bell sont définis, pour un système bipartite AB, comme
|ψ1iAB = h1(|αiA|αiB+ |−αiA|−αiB), (V.2)
|ψ2iAB = h2(|αiA|αiB− |−αiA|−αiB), (V.3)
|ψ3iAB = h3(|αiA|−αiB+ |−αiA|αiB), (V.4)
|ψ4iAB = h4(|αiA|−αiB− |−αiA|αiB), (V.5)
où les facteurs de normalisation hi(i = 1, 2, 3, 4) sont donnés par
h1 = h3 = 1 q 2(1 + p2), h2 = h4 = 1 q 2(1 − p2), avec p = hα |−αi
V.3 Mécanisme de perte de photon pour un état chat de Bell
L’expression des états cohérents de Glauber est
|αi = e−|α|22 ∞ X n=0 αn √ n!|ni , (V.6)
où |ni est un état de Fock et α l’amplitude complexe de l’état cohérent. Les quatre états chat de Bell introduits ci-dessus se résument comme
|α, ±α, mi = N−12
m (|α, ±αi + eimπ|−α, ±αi), (V.7)
où Nm est le facteur de normalisation défini par
Nm = (2 + 2e−4|α| 2
cos mπ)
avec m = 0, 1(mod 2) est un nombre entier. Cette réécriture est pratique dans ce qui va suivre. On note que les états de type Bell à deux modes peuvent être exprimés comme deux qubits logiques (des états cohérents pairs et impairs) qui représentent une superpositions des deux états de Glauber de même amplitude et phase opposée. Ces deux qubits logique sont
|±i = N±(|αi ± |−αi), (V.8)
avec |+i et |−i sont les états pairs et impairs respectivement. Ils forment une base orthogonale de l’espace de Hilbert. Les états cohérents de Glauber pairs et impairs jouent un rôle important à l’échelle des corrélations des états de type Bell non orthogonaux. La production expérimentale de ces états est possible. Par exemple l’état |α, α; 0i peut être produit par l’envoi d’un état de la forme |√2αi + | − √2αi et le vide dans les deux ports d’entrée d’un diviseur de faisceau 50/50. Clairement, la génération des états de type Bell exige une source des états cohérents bidimensionnelle dite états chats de Schrödinger. Il est intéressant de noter que les états de type Bell pourraient être utilisés avec succès pour la téléportation quantique et dans beaucoup d’autres domaines relatifs au traitement quantique de l’information [126].
3
Mécanisme de perte de photon pour un état chat de
Bell
La description du mécanisme de perte de photon, également appelé l’amortissement de l’amplitude, peut être modéliser par l’action d’un diviseur de faisceau. Le diviseur de faisceau
offre une façon simple d’explorer la nature quantique de champ électromagnétique à travers des expériences simples. L’étude des états intriqués a rétabli l’intérêt pour ce dispositif. Beaucoup d’auteurs ont examiné le comportement des états quantiques lors de leur passage à travers un diviseur de faisceau [127, 128]. Récemment, un réseau quantique des séparateurs de faisceaux a été utilisé pour créer les états intriqués multi-partites avec des variables continues [129] et aussi les états cohérents intriqués multi-partites [130].
On considère un système de deux qubits AB (les états de type Bell à deux modes) en interaction avec un environnement E. L’état initial est donné par
ρABE(0) = ρAB(0) ⊗ ρE(0), (V.9)
où
ρAB(0) = |α, ±α; miAB ABhα, ±α; m| , ρE(0) = |0iE Eh0| . (V.10)
La dynamique du système est unitaire. Elle est définie par
ρABE = U ρABE(0)U†. (V.11)
Deux cas peuvent être envisagés. Le premier cas correspond au cas où les deux qubits intéragient seulement avec leurs environnements locaux et le deuxième cas concerne la situation où un seul qubit est affecté par son environnement local. Ici, nous considérerons le cas où le deuxième mode d’états chat de Bell interagit avec l’environnement. Dans ce sens, nous écrivons l’opérateur unitaire décrivant l’évolution dynamique de l’ensemble du système comme
U = I ⊗ B(θ), (V.12)
où I est l’opérateur identité, B(θ) c’est l’opérateur décrivant l’action d’un diviseur de fais- ceau voir figure(V.1) qui peut produire de l’intrication quantique. L’opérateur B(θ) qui décrit l’interaction entre le sous-système B et de l’environnement E est donné par
B(θ) = exp[θ 2(a − Ba + E − a + Ba − E)]. (V.13)
Les objets a+L et a−L (L = B, E) sont les opérateurs d’échelles de l’oscillateur harmonique habituel agissant sur les modes de Fock des sous-systèmes B et E. Les coefficients de réflexion et transmission sont
t = cos θ
2 , r = sin
θ
V.3 Mécanisme de perte de photon pour un état chat de Bell
Figure V.1 – Schéma d’un diviseur de faisceau.
Le diviseur de faisceau modélise la dégradation de la corrélation quantique qui est transmise avec un facteur t = e−λL (qui peut être liée à la perte d’énergie d’une fibre optique), où λ c’est le coefficient de perte de la fibre sur une distance de transmission L. L’évolution dynamique du système sous l’action d’un diviseur de faisceau s’écrite alors comme
ρABE = (I ⊗ B(θ))ρABE(0)(I ⊗ B(θ))†,
= (I ⊗ B(θ))ρAB(0) ⊗ ρE(0)(I ⊗ B(θ))†,
= (I ⊗ B(θ)) |α, ±α; miAB ABhα, ±α; m| ⊗ |0iE Eh0| (I ⊗ B(θ))
†
,
Il est simple de vérifier que le système total est décrit par la matrice densité
ρABE =
1
Nm
(|α, ±αt, ±αri hα, ±αt, ±αr| + eimπ|−α, ∓αt, ∓αri hα, ±αt, ±αr|
+ |−α, ∓αt, ∓αri h−α, ∓αt, ∓αr| + e−imπ|α, ±αt, ±αri h−α, ∓αt, ∓αr|). (V.15) l’état ρABE est pur. Puisque nous nous intéressons à la distribution des corrélations quantiques
dans ce système, on effectue une trace sur tous les modes de l’environnement. Nous obtenons
ρAB = T rE(ρABE) = Nm(t) Nm [1 2(1+Cr) |α, ±αt; mi hα, ±αt; m|+ 1 2(1−Cr)Z |α, ±αt; mi hα, ±αt; m| Z], (V.16) où la quantité Cr = e−2r 2|α|2
et les états |α, ±αt; mi sont définis par |α, ±αt; mi = q 1
Nm(t)
Dans cette dernière équation le facteur de normalisation est
Nm(t) = 2(1 + e−2(1+t 2)|α|2
cos mπ). (V.18)
Dans (V.16) l’opérateur de Pauli Z est défini par
Z |α, ±αt; mi = q 1 Nm(t)
(|α, ±αti − eimπ|−α, ∓αti). (V.19)
De même façon, nous effectuons une trace sur les modes du sous-système B pour obtenir la matrice du sous-système AE. Elle est donnée par
ρAE = T rB(ρABE) = Nm(r) Nm [1 2(1+Ct) |α, ±αr; mi hα, ±αr; m|+ 1 2(1−Ct)Z |α, ±αr; mi hα, ±αr; m| Z], (V.20) où Nm(r), Ctet l’opération Z sont définis par des équations similaires à (V.18) et (V.19) modulo
la substitution t ↔ r (t + r = 1). On peut aussi vérifier que l’état réduit ρBE = T rA(ρABE) est
donné par ρBE = Nm(0) Nm [1 2(1 + C1) |αt, ±αr; mi hαt, ±αr; m| + 1 2(1 − C1)Z |αt, ±αr; mi hαt, ±αr; m| Z]]. (V.21) où Nm(0) = Nm(t = 0) et |αt, ±αr; mi = √1 Nm
(|αt, ±αri + eimπ|−αt, ∓αri) (V.22) Après avoir exprimé les matrices densités réduites des différents sous-composants du système des états chat de Bell couplés à l’environnement, nous allons considérer la distribution des corrélations quantiques entre eux et analyser la relation de la monogamie.
4
Intrication de formation
Avant de discuter la monogamie de l’intrication mesurée par la concurrence et l’intrication de formation [131], nous allons d’abord dériver les expressions explicites de l’intrication de formation dans les états ρAB, ρAEet ρA/BE. Pour cela, nous allons coder chacun des sous-
systèmes bipartites dans une paire de deux qubits logiques que nous avons déjà mentionné dans la section précédente (les états cohérents pairs et impairs).
V.4 Intrication de formation