Momento de definición

Carlos es quien interviene en este segmento de enseñanza del primer episodio de referencia y la tercera clase. La secuencia de enseñanza en la que se inscribe este episodio tuvo el objetivo de clasificar triángulos acordes con sus propiedades. El contenido abordado incluye la definición de la mediatriz obtenida a partir del proceso de construcción de un triángulo equilátero, proceso que describe al comienzo de la clase. Carlos elabora una síntesis de los conceptos, propiedades y procedimientos abordados en las dos clases previas (línea 1). Posteriormente, promueve la discusión encaminada a establecer que es la mediatriz.

Carlos dibuja sobre la pizarra (ver Figura 5.1) para ilustrar y proporcionar información sobre los triángulos equiláteros ABC y ABD, respectivamente (primer paso de la construcción), obtenido dado el segmento AB. En dicha Figura 5.1, se destaca su punto medio M. Finalmente, la recta que contiene el segmento CD.

Figura 5.1 Dibujo obtenido del proceso de construcción de la mediatriz

En este segmento de enseñanza, las interacciones entre Carlos y los estudiantes están caracterizadas por el tipo de acciones. Para ilustrar estas, se reseñan varias líneas extraídas del primer episodio de referencia en la Tabla 5.6.

Tabla 5.6 Momento de definición Turno

Momento de definición

9 A3: usa la notación de segmento escribe AB y CD

10 Carlos designa el punto medio del segmento AB con M ¿cuántos segmentos ve?

11 Los estudiantes respuesta colectiva cuatro

12 Carlos: si incluye los dos de mayor longitud serian seis. Los segmentos a incluir son: AM, BM, CM, DM y los dos mencionados inicialmente AB y CD. [examina las posibles configuraciones geométricas]. En una de las preguntas se trataba de establecer como eran MA y MB. ¿Cómo eran?

13 Los estudiantes responden en coro que son congruentes 14 Carlos: ¿qué significa que son congruentes?

15 Los estudiantes a varias voces expresan que miden lo mismo.

16 Carlos contradigo eso porque yo les dije que los segmentos congruentes tienen la misma medida y hay que contradecirlo.

Supongamos que dan un segmento de recta (dibujado en la pizarra). Supongamos que tengo una piola, la superpone sobre el arco circular, la mido con una regla y luego con una regla mido el segmento casualmente las dos miden lo mismo, será que ¿son congruentes?

Carlos interviene con acciones como preguntar para precisar elementos de la definición: “Si incluye los dos de mayor longitud serian seis. Los segmentos a incluir son: AM, BM, CM, DM y los dos mencionados inicialmente AB y CD”.

[Examina las posibles configuraciones geométricas]. En una de las preguntas se trataba de establecer cómo eran MA y MB. “¿Cómo eran?” (línea 12);

identificar el sentido dado a un concepto geométrico: “¿Qué significa que son congruentes?” (línea 14); reconocer la representación del objeto geométrico:

“designa el punto medio del segmento AB con M ¿cuántos segmentos ve?”

(línea 10). En menor proporción, se evidencia la explicación para ampliar el sentido dado a la congruencia: "Contradecimos eso porque yo les dije que los segmentos congruentes tienen la misma medida y hay que contradecirlo.

Supongamos que dan un segmento de recta (dibujado en la pizarra) y un segmento de arco (dibujado sobre la pizarra). Supongamos que tengo una piola, la superpongo sobre el arco circular, la mido con una regla y luego con una regla mido el segmento casualmente las dos miden lo mismo, ¿será que son congruentes?” (línea 16). Las explicaciones se amplifican en su duración en el tiempo.

Mientras las acciones de los estudiantes están encaminadas con mayor frecuencia a reconocer los conceptos geométricos que permiten definir un objeto geométrico, ellos responden a coro que “son congruentes” (línea 13) y a varias voces expresan que “miden lo mismo” (línea15); la representación de un objeto, “usa la notación de segmento escribe AB y CD” (línea 9) y respuesta colectiva: “cuatro” (línea 11). Otro tipo de acción es expresar qué incluyen las propiedades que definen un objeto.

Carlos, en su interacción con los estudiantes, regula los contenidos de matemáticas abordados, los que se asocian con el reconocimiento de las propiedades que definen la mediatriz. Así, reconoce parcialmente los segmentos de recta que definen la mediatriz, usa la notación simbólica para designarlos, establece que el punto por el cual pasa la mediatriz es punto medio, los segmentos determinados a partir del punto medio son congruentes por tener la misma medida y usa la notación para designar segmentos congruentes línea 9 “usa la notación de segmento escribe AB y CD, responden a coro que son congruentes” (línea 13) y “a varias voces expresan que miden lo mismo” (línea 15).

El momento de contingencia del pensamiento del estudiante se reconoce en la línea 11, después de retomar el procedimiento de construcción de la mediatriz, a partir de su trazo y el de la recta que contiene el segmento y su intersección, solo se reconocen cuatro segmentos (en la reconfiguración no visualiza a AB Y CD como segmentos como se observa en la Figura 5.1).

En los estudiantes, la perspectiva matemática se hace manifiesta en formulaciones como las siguientes: “A2 asocia la mediatriz con ángulo” (línea 4). Se reconocen parcialmente los segmentos que forman parte de la configuración determinada por la mediatriz y el segmento.

La respuesta de Carlos se centra en adicionar los segmentos restantes. La perspectiva matemática es importante a este nivel, ya que los estudiantes construyen, describen figuras geométricas y establecen relaciones entre ellas para formular su definición (Common Core State Standards Initiative, 2011;

MEN, 2007). La perspectiva matemática es central porque guarda conexión con

el objetivo propuesto para esta sesión de clase. En consecuencia, el momento contingente es significativo desde lo matemático.

Carlos, con su respuesta de la línea 12, no genera condiciones para aprovechar la apertura que propicia la respuesta del grupo de estudiantes. En concreto, abandona la necesidad de complementar las preguntas mediante situaciones de enseñanza que movilizan un acercamiento desde lo visual que posibilite una mayor variedad de ejemplos y contraejemplos para identificar diferencias significativas (Gutiérrez y Jaime, 2012). Por lo que esta apertura no se aprovecha en el momento oportuno, lo que sería el segundo criterio que ha de cumplir una oportunidad pedagógica. En consecuencia, el momento del pensamiento matemático no satisface los criterios establecidos para su análisis por lo que no configura un momento de enseñanza. Una posible explicación a lo sucedido se deriva de una concepción formalista de la definición por parte del profesor en donde para cada concepto corresponde una única definición.

5.1.8 Momento de conceptualización

Carlos, en el apartado de este primer episodio de referencia, continúa la discusión respecto a la definición de mediatriz. El objetivo asociado a este episodio era conceptualizar la mediatriz.

Carlos, en su práctica, incluye como acción dominante, preguntar con distintas finalidades: “Entonces ¿qué significa mediatriz? Hablemos de las dos cosas,

¿forma un ángulo?” (línea 31); y “¿por dónde pasa?” (línea 33). En una menor frecuencia, provee instrucciones: “Entonces A1 defina lo que es una mediatriz”

(línea 35); y aclaraciones: “Dos rectas no, una recta, ¿qué pasa por dónde?”

(línea 37). Las acciones se desplazan desde preguntar hacia proveer instrucciones y aclaraciones. Como parte de un sistema asimétrico, se consideran como acciones de los estudiantes: responder en colectivo con distinta finalidad, por ejemplo, responden a coro que “forman un ángulo recto”

(línea32); expresar propiedades “Pasa por el punto medio del segmento” (línea 38); y reconocer propiedades “La mediatriz es una línea recta” (línea 27). Como se evidencia, se transita desde responder hacia el reconocimiento de propiedades.

Carlos, en su interacción con la clase, abordó contenidos matemáticos asociados con las propiedades de la mediatriz. Se conjetura un momento del pensamiento matemático contingente, cuando los estudiantes expresan su imagen de la mediatriz como rectas que forman un ángulo recto. Responden a coro que “forman un ángulo recto” (línea 32) y Carlos insiste en preguntar para precisar la definición de mediatriz cuando formula: “Entonces ¿qué significa mediatriz? hablemos de las dos cosas ¿forma un ángulo? ¿Por dónde pasa?

(línea 31). “¿Por dónde pasa?” (línea 33) y “Entonces, A1 defina lo que es una mediatriz” (línea 35). En torno al momento, se reconocen las líneas que están consignadas en la Tabla 5.7.

Tabla 5.7 Momento de conceptualización Turno

Momento de conceptualización 27 A1 La mediatriz es una línea recta

28 Carlos esta recta con respecto a la otra ¿es qué?

29 A8 las líneas tienen el mismo ángulo

30 Los estudiantes murmuran "las rectas forman un ángulo de 90º”

31 Carlos entonces ¿qué significa mediatriz? hablemos de las dos cosas

¿forma un ángulo?

32 Los estudiantes responden en coro forman un ángulo recto.

33 Carlos ¿por dónde pasa?

34 Los estudiantes responden en coro por el punto medio 35 Carlos entonces A1 defina lo que es una mediatriz 36 A1 dos rectas que pasan por el punto medio 37 Carlos dos rectas no, una recta ¿qué pasa por dónde?

38 A1 pasa por el punto medio del segmento

Las matemáticas del estudiante se infiere que están asociadas con la definición de la mediatriz, la perpendicularidad entre la recta (mediatriz) y la recta que contiene el segmento de recta. Asimismo, se reconocieron rasgos de la perspectiva matemática de tal manera que se toma en consideración la idea del estudiante de asociar la mediatriz con un ángulo y además, se considera que la mediatriz no es única: “Dos rectas que pasan por el punto medio” (línea 36). Se reconoce cómo se privilegian unas imágenes de un concepto y se dejan de lado otras imágenes.

Dado que el objetivo de referencia es común por pertenecer al mismo episodio de referencia, es posible interpretar que las matemáticas son accesibles a los estudiantes, ya que se justifica de la misma manera el nexo entre la perspectiva matemática y los referentes curriculares. En relación con el segundo criterio (lo significativo de las matemáticas), se reconocen en las acciones de los estudiantes aspectos de la perspectiva matemática relacionadas con los objetivos matemáticos formulados para esta secuencia de enseñanza. Por tanto, se considera que las matemáticas son significativas desde el punto de vista matemático.

La intervención del grupo de estudiantes en la línea 29 genera apertura, ya que Carlos interviene aclarando para precisar los alcances de la definición de mediatriz como respuesta. Carlos aprovecha la apertura, en el momento adecuado tal como se evidencia en las formulaciones: “Entonces, ¿qué significa mediatriz? Hablemos de las dos cosas, ¿forma un ángulo?” (línea 31);

y “Dos rectas no, una recta, ¿qué pasa por dónde?” (línea 37).