Faten Khalloufi-Mouha 1 Résumé
60. Mohamed : la longueur de la ficelle enroulée est 3 + P égale 3 + 6,28
61. Prof : cette longueur de la ficelle nous a permis de faire un tour et de revenir au même point M’. Cette longueur de la ficelle constitue une autre mesure du même arc orienté I M’puisque vous avez fait un tour complet et vous êtes retourné au même point M’….
Lorsque vous avez atteint N pour la cinquième fois qu’elle était la longueur de la ficelle enroulée ?
Dans son intervention [45] l’enseignant s’appuie sur l’idée de l’enroulement expérimentée avec la situation poulie afin d’introduire la notion de « mesure » de l’arc orienté et l’idée de l’existence de plusieurs mesures. Cette intervention fait apparaitre l’utilisation du terme « mesure » qui est associé à la notion d’arc alors que les élèves son habitués à utilisé la notion de longueur d’un arc géométrique. Ceci explique l’intervention de Mohamed [46]
Les interventions [46], [47], [48] et [49] attestent que les élèves sont attachés à la notion d’arc géométrique et à l’unicité de sa longueur positive.
L’analyse de cet extrait fait apparaitre que les interventions de l’enseignant et des élèves relèvent de deux domaines différents. L’enseignant fonctionne dans un plan orienté et interprète la longueur de la ficelle enroulée comme une mesure de l’arc orienté d’origine I et d’extrémité N.
Cependant, Les élèves fonctionnent dans le domaine géométrique dans un plan non orienté et distinguent entre l’arc géométrique d’extrémités I et N et l’arc qui résulte de l’enroulement de la ficelle autour de la poulie afin d’atteindre l’extrémité N plusieurs fois. Nous supposons que la notion d’arc géométrique constitue un obstacle à la notion de d’arc géométrique chez les élèves.
C’est le problème de passage de la géométrie non orienté à la géométrie orienté.
Pour expliciter son projet focal et permettre aux élèves de s’engager dans ce projet pour en faire un projet commun, l’enseignant fait appel à des médiateurs visuels ainsi qu’un vocabulaire spécifique. D’une part il utilise des médiateurs visuels et un vocabulaire contextualisé étroitement lié à l’activité avec l’artefact en particulier à l’activité de l’enroulement de la ficelle autour de la poulie. D’autre part, l’enseignant introduit les termes mathématiques relatifs à la notion de mesure d’arc orienté comme le terme « mesure de l’arc » ou « plusieurs mesures ». Cette articulation entre ces deux types de vocabulaires permet à l’enseignant de fait un retour vers expérience pratiquée par tous les élèves avec la situation poulie pour d’abord étendre la métaphore au delà
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de la longueur de la ficelle et passer à la droite des réels en explicitant l’interprétation de la droite des réels comme ficelle enroulée et par la suite introduire la notion de mesure d’arc orienté..
L’analyse de la discussion collective fait apparaitre que la partie de la ficelle enroulée fonctionne comme un médiateur visuel renvoyant à la mesure de l’arc orienté. De même, l’expression « l’arc I N » est un médiateur visuel qui peut renvoyer soit à l’arc géométrique d’extrémités I et N, soit à l’arc orienté d’origine I et d’extrémité N. Cette variation au niveau de l’interprétation du médiateur visuel « l’arc IN » a constitué une source de difficulté pour l’introduction de la notion d’arc orienté et de sa mesure. Ce qui rejoint l’idée de Sfard (2008) que le même médiateur visuel peut être scanné de différentes manières par différents individus.
Conclusion
En nous basant sur l’approche analytique de Nilsson et Ryve (2010) et sur les concepts de l’approche commognitive de Sfard (2008), ce travail est rend compte de l’importance de l’utilisation des médiateurs visuels et d’un vocabulaire mathématique associé pour l’élaboration d’une communication efficace. En fait, les médiateurs visuels permettent à l’enseignant d’établir un projet focal commun à toute la classe et ce projet est explicité à travers l’utilisation d’un vocabulaire spécifique qui est relatif à l’activité avec l’artefact et qui permet de faire le lien avec la notion mathématique visée. Ainsi qu’un vocabulaire mathématique relatif à la notion de mesure d’un arc orienté. Le rôle de l’enseignant est crucial dans l’orientation des discussions collectives vers l’efficacité visée.
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