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Esse anexo tem como objetivo demonstrar as equações que regem uma condição de estabilidade neutra e conceituar temperatura potencial.

A variação da temperatura com a altitude na atmosfera é a variável chave na determinação do grau no qual os materiais se misturam verticalmente. O estudo do perfil da temperatura na atmosfera utiliza o conceito de uma parcela de ar: uma hipotética massa de ar que pode se deforma à medida que se move na atmosfera, mas permanece como uma única unidade sem troca de massa com o seu entorno. Quando se assume que a parcela de ar não troca calor com sua vizinhança, essa parcela de ar é denominada adiabática (SEINFELD & PANDIS, 2006). Vamos assumir que a atmosfera se encontra em um estado na qual as parcelas de ar adiabáticas que movem verticalmente estão em equilíbrio com seu entorno. Essa atmosfera em estado de equilíbrio é definida como neutra, e o perfil de temperatura correspondente é utilizado como perfil de referência para a discussão sobre estabilidade atmosférica. Esse estado neutro corresponde aquele em que a parcela de ar se move de sua posição original onde estava em equilíbrio para uma nova posição, onde também ficará também em equilíbrio. Assim, é possível calcular o perfil de temperatura T(z) que corresponde a uma atmosfera neutra, considerando as seguintes hipóteses definições: i) atmosfera – coluna estacionária de ar no campo gravitacional; ii) ar considerado um gás ideal seco; iii) sem ação de forças de inércia e de atrito (equação hidrostática).

Se uma parcela de ar de massa m se move infinitesimalmente na atmosfera, a troca de energia interna dU satisfaz a 1ª lei da termodinâmica (SONNTAG & BORGNAKE, 2013), também chamada de Lei da Conservação da Energia, que expressa a variação da energia interna de um gás como função do calor transferido e do trabalho produzido:

'Y = '9 + '( Eq. 1

Sendo '9 a variação do calor transferido e '( a variação do trabalho realizado pelo meio sobre a parcela de ar observado.

Para a formulação serão necessárias outras relações, como a variação do trabalho a uma pressão constante, segundo a Eq. 2:

sendo p a pressão e dV a variação de volume.

Uma vez que a parcela do ar é assumida em estado adiabático, a variação do calor transferido passa a ser zero (Eq. 3):

'9 = 0 Eq. 3

A mudança da energia interna é definida na Eq. 4:

'Y = M ?,9-'X Eq. 4

sendo 'Y a variação da energia interna, M é a massa de ar, _?,9- o calor específico do ar a volume constante e 'X a variação de temperatura.

Substituindo-se Eq. 2, Eq. 3 e Eq. 4, tem-se a Eq. 5, que relaciona a variação de temperatura à variação de volume:

M ?,9-'X = −N'` Eq. 5

Na leitura da Eq. 5 observa-se que a mudança na energia devido ao trabalho em expansão é igual à redução de energia devido à diminuição de temperatura. Para trabalhar com o termo dV da Eq. 5 em função de temperatura e pressão, voltamos a utilizar a Equação dos gases ideais:

N` =M5X_K

9- Eq. 6

sendo Mar a massa molecular média do ar.

Isolando o termo de volume da Eq. 6 e utilizando a propriedade de derivadas em ambos os lados, chega-se a Eq. 7:

'•N`Ž =_KM5

9-'X Eq. 7

Aplicando a propriedade de derivada do produto no lado esquerdo da Eq. 7, tem-se:

N•'`Ž + `•'NŽ =_KM5

9-'X Eq. 8

Com o valor de V encontrado na Eq. 6, e substituindo na Eq. 8:

N•'`Ž =_KM5

9-'X −

M5X

Substituindo a Eq. 5 na Eq. 9, resulta em:

M ?,9-'X =_NKM5X•'NŽ −_KM5'X Eq. 10

Rearranjando a Eq. 10, dividindo ambos os lados por dz:

˜M ?,9- +_KM5š'X_{'t =NK}M5X˜'N_'tš Eq. 11

Nesse momento é necessário explicitar também a relação da taxa de variação da Pressão com a Altitude. Inicialmente aplica-se a derivada na equação governante de pressão estática na atmosfera. Assim, tem-se um volume elementar na atmosfera de área horizontal dA entre duas alturas, z e z+dz, conforme mostra a Figura 1:

Figura 1 – Volume de Controle de área dA com altura entre z e z+dz

Logo, a pressão exercida na massa de ar no volume mencionado é descrito pela Eq. 12, equivalente ao peso da coluna de ar acima da área dA:

N = −•C' 't Eq. 12

Dividindo-se a Eq. 12 por dz, e fazendo dz

→

't = −••tŽC Eq. 13

Na Eq. 13, ρ(z) é a densidade mássica do ar na altura z e g é a aceleração da gravidade. Pela lei dos gases ideais:

••tŽ = −K N•tŽ_5X•tŽ Eq. 14

Rearranjando a Eq. 13 em conjunto com a Eq. 14: 'N•tŽ

't = −K CN•tŽ5X•tŽ Eq. 15

x y

Substituindo o termo da derivada de pressão, chegando à Eq. 16: 'q

't = − _{?,9-F A}C B/

Eq. 16

Nesse ponto será necessária uma relação entre o calor específico a volume constante em relação ao calor específico a pressão constante, chamada Equação de Mayer (WHELAN, 1977), conforme Eq. 17:

?,9-+_K5

9- = *,9- Eq. 17

Finalmente, a temperatura varia em função da altura segundo a na Eq. 18, temos: 'q

't = − *,9-C Eq. 18

Conclui-se, assim, que o gradiente de temperatura vertical para uma atmosfera neutra é igual a uma constante. O calor específico a pressão constante do ar é _*,9- =1005 Jkg-1K-1 e C⁄ *,9- = 0,976 H M⁄ . Esse valor se refere ao ar livre de água, denominado razão de

intervalo adiabático seco, representado por Γ. Se a temperatura na superfície é X , então, por integração da Eq. 18, o perfil de temperatura será T= X − Ct.

Um conceito importante que envolve a atmosfera neutra é o de temperatura potencial. Assumindo que uma parcela de ar em algum lugar na atmosfera tem uma temperatura T e pressão p e está inicialmente em equilíbrio (mesma T e p) com a atmosfera no entorno. Se essa parcela de ar seco é movida e adiabaticamente da superfície até a pressão N = 1 qM, então ela terá uma temperatura denominada temperatura potencial (°). A temperatura potencial pode ser calculada por meio da integração da Eq. 11 das condições iniciais •X, N) ao estado final •°, N ):

° = X ˜N_{N š}5⁄NK Eq. 19

Não importa onde o pacote de ar começa nesta atmosfera, ele sempre vai atingir a mesma temperatura quando trazido para a superfície à pressão N . Em outras palavras, a temperatura potencial da parcela de ar não mudará durante seu movimento e sempre será igual a zero. O equilíbrio da parcela de ar com o ambiente no entorno significa que a atmosfera neutra tem a mesma temperatura potencial em todas as alturas z e, assim, '° 't⁄ = 0. Ao plotar um

gráfico de altura x temperatura potencial para atmosfera neutra (adiabática) terão como resultado linhas verticais em ° = X .

Os resultados podem ser demonstrados matematicamente por diferenciação da Eq. 18 em relação à z:

1

°'°'t =1X'X't − *,9-5K9-

1

N'N't Eq. 20

Após inserir Eq. 15 ('N 't⁄ ) e observando que Γ = C⁄ _*,9-, é apresentada a Eq. 19: 1

°'°'t =1X ˜'X't + Γš Eq. 21

Mas em atmosfera neutra, 'X 't⁄ = −Γ. Com isso, '° 't⁄ = 0. Também ° é similar em magnitude a T (SANTOS, 2000). Assim, é possível escrever:

'°

't ='X't + Γ Eq. 22

e

° = X + Γz Eq. 23

Conclusão: Esse anexo teve como objetivo analisar o significado da condição de estabilidade neutra utilizada nesse trabalho, demonstrando a formulação necessária para dar suporte ao conceito que envolve a definição de temperatura potencial, e que na condição de estabilidade neutra não há variação da temperatura potencial com a altura ('° 't⁄ = 0).

ANEXO II – Detalhe das sub-rotinas de injeção de partículas na