V(G) comme module sur A(G) : matrices F i (ou E a )

`

A chaque graphe G de type ADE est associ´e un autre graphe, not´e A(G), appartenant `a la s´erie A_n et ayant la mˆeme norme (et donc mˆeme nombre de Coxeter κ) que G. Si κ

est le nombre de Coxeter de G, alors A(G) = Aκ−1. Nous avons donc les correspondances suivantes : A(An) = A_n κ = n + 1 A(Dn) = A_2n−3 κ = 2n− 2 A(E6) = A₁₁ κ = 12 A(E7) = A17 κ = 18 A(E8) = A₂₉ κ = 30

Les vertex τ_i (i = 0, . . . , κ− 2) du graphe A(G) forment un espace vectoriel, sur lequel nous pouvons d´efinir une multiplication : nous obtenons l’alg`ebre de grapheA(G). Les vertex σ_a(a = 0, . . . , r− 1) du graphe G forment aussi un espace vectoriel, not´e V(G). Nous voulons d´efinir une action deA(G) sur V(G) :

A(G) × V(G) → V(G) τ_i.σ_a = X

b

Fia^bσ_b (3.18)

telle que les coefficients Fb

ia soient des entiers non-n´egatifs (ainsiFb

iarepr´esente la multiplicit´e de σ_b dans τi.σa, en analogie avec le cas classique). Pour que cette action soit bien d´efinie, il faut imposer :

(τi.τj).σa = τi.(τj.σa). (3.19)

Utilisant (3.4) et (3.18), et du fait que les σ sont des ´el´ements lin´eairement ind´ependants de V(G), les coefficients Fk

ij doivent satisfaire les relations suivantes : X

b

Fja^b Fib^c =X

k

Nij^k Fka^c (3.20)

Les indices (a, b, c, . . .) sont r´eserv´es pour les vertex σ de G (a, b, c = 0, 1, . . . , r− 1), et les indices (i, j, k, . . .) sont r´eserv´es pour les vertex τ de A(G) (i, j, k = 0, 1, . . . , κ − 2). Nous pouvons parler d’un analogue quantique de la correspondance de McKay : le graphe G code la d´ecomposition des irreps σ de G par l’irrep fondamentale τ1 du quotient de Uq(sl(2)) correspondant. Il est donc naturel de poser τ₁.σ_a= σ₁.σ_a =P

b:aσ_b (la sommation se fait sur les voisins de σ_a sur le graphe G). L’action explicite de A(G) sur V(G) est d´efinie par :

A(G) × V(G) → V(G) τ₀.σ_a =^. σ₀.σ_a= σ_a (τ1)ⁿ.σa . = (σ1)ⁿ.σa n > 1      ^(3.21) `

A noter que mˆeme pour les cas o`u G ne poss`ede pas de self-fusion, l’action est bien d´efinie : mˆeme si nous ne pouvons calculer σ_a.σ_b, la multiplication σ_a.σ₁ existe toujours. τ₁ est l’irrep fondamentale de A(G) : tout irrep τi s’exprime par un polynˆome sur τ₁ et τ₀. Par exemple :

De mani`ere g´en´erale, nous ´ecrivons : τ_i = P ol_i(τ₀, τ₁). Alors, l’action d’un ´el´ement quelconque τ_i de A(G) sur V(G) s’´ecrit :

τ_i.σ_a= P ol_i(τ₀, τ₁).σ_a= P ol_i(σ₀, σ₁).σ_a (3.22) Matrices F_i

Nous pouvons coder matriciellement l’action (3.18). Introduisons κ− 1 matrices (r × r) F_i telles que (F_i)_ab =Fb

ia. De la propri´et´e de structure de module (3.19), nous concluons que les matrices Fi satisfont :

F_iF_j =X

k

Nij^kF_k (3.23)

Elles forment donc une repr´esentation de l’alg`ebre de fusion de dimension r (les matrices N<sub>i</sub> forment une repr´esentation fid`ele de l’alg`ebre de fusion, de dimension κ− 1). Du fait que τ0.σa= σaet que τ1.σa= σ1.σa, et par (3.23), nous concluons que les matrices Fis’obtiennent directement par : F0 = l1_n×n F₁ = GG F₁.F_i = F_i−1+ F_i−2 i = 2, . . . , κ− 2 F1.F_n−1 = F_n−2 (3.24)

Remarque 4 Par la relation de r´ecurrence (3.24) d´efinissant les matrices F_i et comparant avec la relation (2.9), nous concluons que l’´el´ement (F_i)_ab repr´esente le nombre de chemins essentiels de longueur i, partant du vertex σ_a et arrivant au vertex σ_b, sur le graphe G. Matrices E_a

D´efinissons r matrices (κ− 1 × r) Ea telles que :

(E_a)_ib = (F_i)_ab (3.25)

Alors l’action (3.18) s’´ecrit aussi :

τ_i.σ_a=X

b

(E_a)_ibσ_b (3.26)

Les matrices Ea sont appel´ees les matrices essentielles du graphes G. L’une d’entre elles en particulier, poss`ede des propri´et´es int´eressantes : la matrice E₀, appel´ee dans la litt´erature de physique statistique “intertwiner”.

Th´eor`eme 9 Soient G un graphe ADE et A(G) le graphe de la s´erie An ayant le mˆeme nombre de Coxeter κ, et soit G₁ = GG et N₁ = G_A(G) leur matrice d’adjacence respective. Alors :

D´emonstration : Consid´erons l’´equation (3.26) pour a = 0, et appliquons τ₁. Le terme de gauche s’´ecrit : τ₁.τ_i.σ₀ = (τ₁.τ_i).σ₀=X j (N₁)_ijτ_j.σ₀=X j X c (N₁)_ij(E₀)_jcσ_c

Le terme de droite s’´ecrit : X b (E₀)_ibτ₁.σ_b =X b (E₀)_ibσ₁.σ_b =X b X c (E₀)_ib(G₁)_bcσ_c

Comme les σ sont lin´eairement ind´ependants, l’´egalit´e est valable pour tout terme : X j (N₁)_ij(E₀)_jc=X b (E₀)_ib(G₁)_bc ⇐⇒ (N1.E₀)_ic= (E₀.G₁)_ic  Corollaire 1 Soit β la plus grande valeur propre de G (donc de A(G) aussi) et P le vecteur propre normalis´e correspondant. Alors (E₀.P ) est le vecteur propre normalis´e de A(G) cor-respondant `a β.

Soient deux graphes G₁ et G₂ tels qu’il existe une matrice card(G₁)×card(G2) E₀qui relie leur matrice d’adjacence comme dans (3.27). Si deux mod`eles statistiques sont d´ecrits par ces deux graphes, alors ils auront certaines propri´et´es communes (´energie libre, charge centrale), bien qu’ils diff`erent au niveau de l’alg`ebre des op´erateurs [80].

R`egles de branchement A(G) ֒→ G

Dans le cas o`u les graphes G poss`edent self-fusion (type I), l’action (3.18) est compatible avec la structure alg´ebrique de G :

τ_i.(σ_a.σ_b) = (τ_i.σ_a).σ_b (3.28)

Au niveau matriciel, ceci se traduit par les relations suivantes entre les matrices F_i et G_a :

[F_i, G_a] = 0, F_i G_a=X

b

(F_i)_abG_b. (3.29)

L’action de τi sur σaest donn´ee par (3.22). Pour a = 0, nous avons : τ_i.σ₀ = P ol_i(σ₀, σ₁) =X

b

(F_i)_0bσ_b (3.30)

Pour les cas poss´edant self-fusion, l’action de τ_i sur σ_a peut donc s’´ecrire : τ_i.σ_a=X

b

L’´equation (3.31) nous donne les r`egles de branchement : τ_i ֒→^X b (F_i)_0bσ_b =X b (E₀)_ibσ_b (3.32)

Les r`egles de branchement sont donc enti`erement cod´ees dans la matrice E0 : la restriction de l’irrep τ_i vers les irreps σ de G se lit dans la ligne correspondante `a τ_i de la matrice E₀. Corollaire 2 La connaissance de E₀ et des matrices G_anous permet de d´eterminer les autres matrices E_a :

E_a= E₀.G_a (3.33)

D´emonstration : D’une part, l’action est donn´ee par : τ_i.σ_a =P

c(E_a)_ic σ_c. D’autre part, en utilisant les r`egles de branchement τ_i ֒→^Pb(E₀)_ibσ_b, nous avons :

τ_i.σ_a=X b (E₀)_ibσ_b.σ_a=X c X b (E₀)_ib(G_a)_bcσ_c =X c (E₀.G_a)_icσ_c

Les σ ´etant lin´eairement ind´ependants, nous avons finalement : (E_a)_ic= (E₀.G_a)_ic  La correspondance entre G etA(G) peut ˆetre vue de deux mani`eres compl´ementaires :

• Dans le langage de la correspondance de Mc-Kay quantique, le graphe G est reli´e `a un “sous-groupe” (ou “module”) du quotient de U<sub>q</sub>(sl(2)) pour q<sup>2κ=1</sup>, ce dernier ´etant reli´e au graphe A<sub>κ−1</sub>, c.`a.d. justement `a A(G). L’espace vectoriel V(G) engendr´e par les vertex de G est toujours un module sous l’action de l’alg`ebre A(G).

• Les chemins essentiels sont d´efinis sur le graphe G, et leur nombre est cod´e dans les ma-trices F_i ou dans les matrices essentielles E_a.B(G) est la dig`ebre des endomorphismes de chemins essentiels. Les deux lois multiplicatives sont la composition ◦ et la convolu-tion ⊙. La diagonalisation de BG pour la loi ◦ donne lieu `a des projecteurs minimaux centraux, dont la multiplication par la loi ⊙ est cod´ee par le graphe A(G).

Ces constructions se g´en´eralisent pour les cas SU (n)_ℓ : les matrices F_i codant l’action de A(G) sur V(G) donnent une repr´esentation de l’alg`ebre de fusion. Cependant, les chemins essentiels n’ont ´et´e d´efinis que pour les graphes de type ADE (plus exactement pour des graphes bi-partites). L’extension de la d´efinition des chemins essentiels pour des graphes de type SU (n)<sub>ℓ</sub> est possible (la notion de “longueur” ´etant remplac´ee par un tableau de Young), et nous pouvons ´etablir un lien avec des g´en´eralisations des alg`ebres de Jones-Temperley-Lieb.