Chemins essentiels sur un graphe

Consid´erons un graphe G `a r vertex, et l’espace vectoriel des chemins ´el´ementaires de longueur deux : P ath(2). Un ´el´ement ξ(2) de cet espace sera aussi not´e ξ⊗ η, o`u ξ et η sont des chemins de longueur un (ce sont des arcs). L’op´erateur d’annihilation d’Ocneanu C₁ est d´efini par : C₁ : P ath⁽²⁾ 7−→ P ath(0) ξ⁽²⁾= ξ⊗ η 7−→ δξ,η−1 s µ(r(ξ)) µ(s(ξ))^s(ξ) (2.4)

3La d´efinition ici adopt´ee des mots “sous-groupe” et “module” diff`ere de l’acceptation usuelle de ces termes : nous pr´ecisons dans l’Annexe B ce que nous entendons par l`a.

L’op´erateur C₁ donne un r´esultat non-nul si et seulement si le chemin de longueur deux sur lequel il agit est un aller-retour : C₁[P (v_iv_jv_k)]∼ δi,kv_i. L’op´erateur de cr´eation d’Ocneanu C₁^† est d´efini par :

C₁^†: P ath(0) 7−→ P ath(2) v 7−→ ^X ξ,s(ξ)=v s µ(r(ξ)) µ(s(ξ))^ξ⊗ ξ^{−1 (2.5)}

En d’autres termes, l’op´erateur C₁^† cr´ee des allers-retours avec tous les vertex adjacents `a v. Th´eor`eme 5 La composition de ces deux op´erateurs C₁C₁^† est un scalaire ´egal `a β, la plus grande valeur propre de la matrice d’adjacence du graphe.

d´em. : L’´equationGP = βP , o`u Pi = µ(v_i), implique : X j (G)ijµ(v_j) = β µ(v_i) =⇒ ^X vjvoisin de vi µ(v_j) = β µ(v_i) =⇒ β = ^X ξ,s(ξ)=vi µ(r(ξ)) µ(s(ξ))^.

En composant (2.5) et (2.4), la d´emonstration est alors imm´ediate. 

D´efinition 9 Le projecteur de Jones e₁ est l’op´erateur de projection d´efini par : e₁ = ¹

β^C

†

1C₁. (2.6)

Il est imm´ediat de v´erifier que c’est bien un op´erateur de projection : e^†₁ = e₁, e²₁= e₁. Exemple : diagramme A3 Le diagramme A3 poss`ede 3 vertex not´es τ0, τ1 et τ2, et est repr´esent´e `a la Fig.2.1. Nous donnons entre crochets la valeur de la composante du vecteur de Perron-Frobenius (dimension quantique) de chaque vertex.

t t t

τ₀ τ₁ τ₂

[1] [√

2] [1]

Fig. 2.1 – Diagramme A₃ et dimension quantique de ses vertex

Les chemins ´el´ementaires de longueur deux sur le diagramme A₃ sont au nombre de 6 : P (τ₀τ₁τ₀) = ~01⊗ ~10 P (τ₁τ₂τ₁) = ~12⊗ ~21

P (τ₀τ₁τ₂) = ~01⊗ ~12 P (τ₂τ₁τ₂) = ~21⊗ ~12 P (τ₁τ₀τ₁) = ~10⊗ ~01 P (τ₂τ₁τ₀) = ~21⊗ ~10

L’action de l’op´erateur de cr´eation C₁^†sur les vertex est donn´ee par : C₁^†(τ₀) = 2^1/4( ~01⊗ ~10)

C₁^†(τ₁) = 2^−1/4( ~10⊗ ~01 + ~12⊗ ~21 ) C₁^†(τ₂) = 2^1/4( ~21⊗ ~12)

L’action de l’op´erateur d’annihilation C₁ sur les chemins ´el´ementaires de longueur deux est donn´ee par :

C1( ~01⊗ ~10) = 2^1/4(τ0) C1( ~21⊗ ~12) = 2^1/4(τ2) C₁( ~10⊗ ~01) = C₁( ~12⊗ ~21) = 2^−1/4(τ₁) C₁( ~01⊗ ~12) = C₁( ~21⊗ ~10) = 0

Nous pouvons v´erifier que la composition des deux op´erateurs C₁C₁^†est bien un scalaire ´egal `a la plus grande valeur propre de la matrice d’adjacence (β =√

2) : C₁C₁^†(τ₀) =√

2(τ₀) C₁C₁^†(τ₁) =√

2(τ₁) C₁C₁^†(τ₂) =√ 2(τ₂)

Nous pouvons maintenant ´etendre la d´efinition de ces op´erateurs `a des chemins ´el´ementaires de longueur quelconque.

D´efinition 10 Pour tout entier n > 1, l’op´erateur d’annihilation C_n, agissant sur des chemins ´el´ementaires de longueur p, est d´efini par :

si p≤ n : C_n(ξ₁. . . ξ_p) = 0 ,

si p > n : C_n(ξ₁ξ₂. . . ξ_nξ_n+1. . . ξ_p) = s

µ(r(ξ))

µ(s(ξ))^δξn,ξ⁻¹_n+1(ξ₁ξ₂. . . bξ_nξb_n+1. . . ξ_p) , o`u le symbole bξ signifie que l’on ´elimine l’arc ξ du chemin.

L’op´erateur Cn agissant sur des chemins ´el´ementaires de longueur p donne donc comme r´esultat soit 0, soit un chemin ´el´ementaire de longueur p− 2.

D´efinition 11 Pour tout entier n > 1, l’op´erateur de cr´eation Cn^†, agissant sur des chemins ´el´ementaires de longueur p, est d´efini par :

si p < n + 1 : Cn^†(ξ₁. . . ξ_p) = 0 , si p≥ n − 1 : Cn^†(ξ₁. . . ξ_n−1ξ_n. . . ξ_p) = X η,s(η)=r(ξn−1) s µ(r(ξ)) µ(s(ξ))^{(ξ1. . . ξn−1η η} −1ξ_n. . . ξ_p) .

L’op´erateur C_n^† agissant sur des chemins ´el´ementaires de longueur p donne donc comme r´esultat soit 0, soit une combinaison lin´eaire de chemins ´el´ementaires de longueur p + 2.

Les projecteurs de Jones e_k sont d´efinis par : e_k=^{. 1}

β^C

†

kC_k, (2.7)

D´efinition 12 L’espace des chemins essentiels de longueur n est d´efini par : Ess⁽ⁿ⁾= EssP ath⁽ⁿ⁾(G) = n

ξ ∈ P ath⁽ⁿ⁾| Ckξ = 0 ∀k = (1, 2, · · · , n)^o

= n

ξ ∈ P ath⁽ⁿ⁾| ekξ = 0 ∀k ∈ (1, 2, · · · , n)^o

Un chemin est donc essentiel s’il appartient `a l’intersection du noyau de tous les op´erateurs d’annihilation C_k ( ou de tous les projecteurs de Jones e_k). Tout chemin ´el´ementaire de longueur 0 et de longueur 1 est aussi un chemin essentiel, car il appartient au noyau des op´erateurs d’annihilations. Notons qu’un ´el´ement de Ess⁽ⁿ⁾ n’est pas toujours un chemin ´el´ementaire de longueur n, mais possiblement une combinaison lin´eaire de tels ´el´ements. Exemple : diagramme A3 Nous avons vu que C1( ~01⊗ ~12) = C1( ~21⊗ ~10) = 0, donc ces deux chemins sont des chemins essentiels. Nous avons vu aussi que C₁( ~10⊗ ~01) = C₁( ~12⊗ ~21). Soit le chemin γ = ~10⊗ ~01− ~12⊗ ~21, nous avons alors C₁(γ) = 0. γ est donc aussi un chemin essentiel, bien qu’il ne soit pas ´el´ementaire mais une combinaison lin´eaire de chemins ´el´ementaires.

Soit Ess⁽ⁱ⁾_a,b l’espace des chemins essentiels de longueur i partant du vertex v_a et arrivant au vertex v_b. Alors :

Ess⁽ⁱ⁾= X

va,vb∈V

Ess⁽ⁱ⁾_a,b. (2.8)

Th´eor`eme 6 (Ocneanu[67]) La dimension de l’espace des chemins essentiels Ess⁽ⁱ⁾_a,b est donn´ee par la formule de r´ecurrence suivante (loi mod´er´ee de Pascal) :

dim(Ess⁽ⁱ⁺¹⁾_a,b ) = X

ξ,r(ξ)=vb

dim(Ess⁽ⁱ⁾_a,s(ξ))− dim(Ess⁽ⁱ⁻¹⁾_a,b ). (2.9)

Les chemins essentiels de longueur 0 et 1 sont des chemins ´el´ementaires (vertex et arcs). La loi (2.9) nous permet alors de calculer la dimension des chemins essentiels de longueur donn´ee. Ces r´esultats sont plus facilement cod´es dans des matrices.

Matrices F_i D´efinissons les matrices carr´ees r× r Fi telles que la composante (a, b) de F_i soit ´egale au nombre de chemins essentiels de longueur i reliant le vertex vaau vertex v_b (donc ´egale `a la dimension de Ess⁽ⁱ⁾_a,b). La loi mod´er´ee de Pascal (2.9) nous permet d’obtenir une r´ecurrence simple pour calculer ces matrices F_i :

F₀ = l1_r×r

F₁ = G

La dimension de l’espace vectoriel des chemins essentiels de longueur i est donc donn´ee par : dim(Ess⁽ⁱ⁾) =X

a,b

(F_i)_ab (2.10)

Rappel : `A chaque diagramme de type ADE est associ´e un nombre κ (nombre dual de Coxeter), d´efini `a partir de la norme β de la matrice d’adjacence du graphe par la relation β = 2 cos ^π_κ

.

Th´eor`eme 7 (Ocneanu[67]) Pour les diagrammes de type ADE, il n’existe pas de chemins essentiels de longueur plus grande que κ− 2.

Au niveau matriciel, ceci se traduit par le fait que la matrice F_κ−1 est nulle. Au vue de la correspondance de Mc-Kay, nous verrons au chapitre 3 que les matrices F_i codent la d´ecomposition du produit tensoriel τ_i⊗ σa en irreps σ_b, o`u les irreps σ<sub>a</sub> et σ<sub>b</sub> sont associ´ees aux vertex v<sub>a</sub> et v<sub>b</sub> du graphe G de nombre de Coxeter κ, et l’irrep τ<sub>i</sub> est associ´ee au vertex vi du graphe A<sub>κ−1</sub> Les graphes An correspondent `a un quotient H du groupe quantique U_q(sl(2)), tandis que les graphes G sont associ´es `a des “sous-groupes” ou “modules” deH. Matrices essentielles E<sub>a</sub> Il existe une autre mani`ere de coder ces r´esultats. D´efinissons r matrices E_a associ´ees `a chaque vertex v_a de G et appel´ees matrices essentielles, par :

E_a[i + 1, b]= F^. _i[a, b] (2.11)

Alors la composante (i+ 1, b) de la matrice E_aest le nombre de chemins essentiels de longueur i reliant le vertex v_aau vertex v_b. Pour le cas de graphes ADE, nous obtenons donc r matrices E_a, de κ− 1 lignes et r colonnes.