Modes propres

L’équation des vibrations libres des structures non dissipatives, sous une forme discrétisée, est :

Mq

+

Kq

=0 (4.9)

où le vecteur des déplacements

q

est une fonction du temps et de l’espace. En réalité, les systèmes mécaniques sont toujours dissipatifs, cependant, les amortissements sont souvent très faibles : c’est le cas des matériaux métalliques. Les éléments constitutifs étant reliés entre eux de telle

manière que l’amortissement global soit très faible, les structures sont alors dites faiblement dissipatives. Les programmes d’analyse modale traditionnels, commeCAST3Mpar exemple, ne calculent que des vecteurs propres réels au sens algébrique, dont les fréquences associées sont des nombres réels, correspondant donc à un système non dissipatif. Dans le cas des structures faiblement dissipatives, les modes propres du système considéré comme non dissipatif sont peu différents des modes propres physiques. Pour cette raison, on peut utiliser les codes de calcul en analyse modale, bien que les modes propres du système réel soient complexes.

On cherche la solution de l’équation 4.9 sous la forme :

q

=

x

(

t

) (4.10)

où

x

est un vecteur de constantes donnant la forme propre du mode et



(

t

) est une fonction décrivant l’évolution temporelle de l’amplitude du mode.

La partie spatiale de l’équation 4.9 vérifie :

(

K

;

!

2

M

)

x

=0 (4.11)

Pour que les vecteurs

x

soient non identiquement nuls, le déterminant du système doit être nul : les solutions sont alors les valeurs propres du système. A chaque valeur propre

!

i est associé un mode propre réel, noté

x

i, tel que :

(

K

;

!

2i

M

)

x

i =0 (4.12)

!

i est la pulsation propre,

f

i =

!

i

=

2



est la fréquence propre associée au vecteur propre

x

i. Pour des systèmes continus stables, il existe une suite infinie de pulsations propres avec des fonctions propres

x

i vérifiant les relations d’orthogonalité(

x

Ti

Mx

j)=0si

i

6=

j

, et formant une base complète pour toutes les réponses du système. Si

i

=

j

, on définit le produit

x

Ti

Mx

i =

m

i comme la masse généralisée du mode

i

et

x

Ti

Kx

i =

k

i comme le raideur généralisée du mode

i

.

Dans cette étude, on a d’abord calculé les modes propres des cavités TESLAavec les anneaux de rigidification à l’aide de CAST3M. Les premiers modes trouvés sont de type ((transverse )), correspondant aux modes de flexion, par exemple, les deux premiers modes montrés dans les figures 4.5 et 4.6 :

MODE 1, FRÉQUENCE 60

Hz

4.3. MODES PROPRES

MODE 2, FRÉQUENCE 152

Hz

FIG. 4.6 – Une cavité TTFsollicitée par le deuxième mode transversal

Pour une cavité sans anneaux de rigidification, la figure 4.7 montre que le premier mode transversal est inférieur à une cavité rigidifiée :

f

1 =57

Hz

. D’une manière générale, en augmen-tant la rigidité de la structure, les fréquences propres augmentent.

MODE NUMERO 1 FREQUENCE 57.390 HZ

FIG. 4.7 – Mode propre d’une cavité TTFsans anneaux de rigidification

Les mouvements de vibration libres de la cavité sollicitée par les modes propres illustrés dans les figures 4.5 et 4.6 sont transversaux. Or compte tenu du fait que la distribution spatiale des forces de Lorentz est axisymétrique, et que la structure de la cavité est parfaitement axisy-métrique, ces modes transversaux n’interviennent pas dans les calculs des effets des forces de Lorentz. Par contre, ils peuvent être sollicités par d’autres bruits externes, et cela peut entraîner des fluctuations stochastiques de fréquence de résonance. Le niveau de fluctuation a été estimé à environ ;19

Hz

[30], on ne développe pas davantage ces études de la microphonie ici, par la suite, on s’intéresse uniquement aux modes propres dits((longitudinaux ))qui ont une influence sur les calculs dynamiques en mode axisymétrique.

MODE 1

f

1 :230

Hz

MODE 2

f

2 :457

Hz

MODE 3

f

3 :678

Hz

MODE 4

f

4 =890

Hz

MODE 5

f

5 :1088

Hz

MODE 6

f

6 :1263

Hz

MODE 7

f

7 :1399

Hz

FIG. 4.8 – Les modes 1-7 longitudinaux de cavité TESLA

Les modes propres longitudinaux sont calculés par CAST3M, on montre dans la figure 4.8 les sept premiers modes longitudinaux, les modes 8 à 18 sont donnés en annexe 2.

Les mesures expérimentales des modes propres sont effectuées en imposant comme force de sollicitation une force sinusoïdale. En balayant en fréquence, on obtient la courbe de résonance en amplitude autour d’une fréquence propre de la structure mécanique

f

0, cette résonance est corrélée avec la variation de phase de la vitesse, elle varie dans les mêmes conditions de; _{2 à 2} en passant par zéro à la résonance. La bande passante en fréquence 2

f

1=2 est définie comme la variation de fréquence entre;

4 et 4. Le taux d’amortissement 2



est défini comme :

2



= 2

f

1=2

f

0 = 1

Q

_m (4.13)

où

Q

m est le facteur de surtension mécanique. Les mesures partielles des modes longitudinaux de vibration ont été effectués récemment à DESY, grâce aux céramiques piézo-électriques intégrés dans la direction longitudinale [7]. Le spectre en fréquence est montré en figure 4.9.

4.3. MODES PROPRES

FIG. 4.9 – Spectre de résonance mécanique d’une cavité TESLA

Dans la table 4.1, les modes longitudinaux successifs jusqu’à 1

kHz

, concernant des cavités en niobium avec des anneaux de rigidification et dont les contacts avec le réservoir hélium sont supposés rigides, sont comparés avec d’autres calculs [38], et avec les mesures, les écarts sont inférieurs à 6%.

calculsCAST3M calculsDESY[38] mesures

230

Hz

(L) 234

Hz

(L) 239

Hz

457

Hz

(L) 465

Hz

(L) 485

Hz

678

Hz

(L) 693

Hz

(L) 696

Hz

890

Hz

(L) 915

Hz

(L) 860

Hz

TAB. 4.1 – Modes propres des cavités TESLA9 cellules

L’environnement semble avoir peu d’influence sur l’excitation des modes propres longitudi-naux. En effet, les pompes cryogéniques engendrent deux pics de résonance inférieurs à60

Hz

, ils sont assez loin à la première fréquence de propre ( 235

Hz

) ; l’alimentation électrique est à

50

Hz

, elle est aussi assez loin de la première fréquence propre.

On constate que la gamme de fréquences propres qui sont susceptibles d’intervenir dans le problème de stabilité mécanique est très étendue : 18 modes longitudinaux s’étalent de230

Hz

à

4200

Hz

. Le haut contenu en fréquence de notre problème fait que la méthode d’analyse modale apparaît non justifiée : d’une part, il est difficile de dire quel mode est plus important qu’un autre ; d’autre part, vu le grand nombre de modes, il est très lourd de construire la base modale.

Après ces constats, le choix de l’intégration directe de l’équation dynamique au profit de l’analyse modale semble meilleur, car l’intégration directe est une méthode plus générale qui permet de traiter plus correctement notre problème à haut contenu fréquentiel. Elle peut prendre

en compte les composantes de fréquences élevées sans que ces fréquences soient explicitement connues, suite à un calcul modal préalable. De plus, la méthode d’intégration directe n’est pas limitée au cas des systèmes linéaires.

Dans le document Etudes de la stabilité mécanique des cavités supraconductrices et de la méthode de rigidification par projection thermique de cuivre (Page 64-69)