III. MATERIELS ET METHODES
IV.3. INLFUENCE DES TECHNIQUES DE CONSERVATION SUR DIFFERENTS FACTEURS
IV.3.2. Mode d’action des atmosphères modifiées
Um dado ponto de equilíbrio, representado em espaço de estados por x = 0 é dito estável, se para qualquer região esférica R > 0, houver uma região r > 0 tal que, se o estado inicial do sistema
estiver contido em r, k x(0) k< r, então o estado dos sistema ficará contido em R, k x(t) k< R, para qualquer tempo t = 0. [Slotine e LI 1991]
Logo, um sistema com ponto de equilíbrio estável terá uma trajetória arbitrariamente próxima da origem se seu estado inicial for um ponto arbitrariamente próximo da origem. Três hipóteses podem ser formuladas em relação a estabilidade:
1. Uma trajetória que se inicia num ponto de estado contido pela esfera r ,k x(0) k< r , e que ultrapassa as fronteiras da região delimitada pela esfera R . Trajetória 1 mostrada na Figura 5.13.
2. Uma trajetória que se inicia num ponto de estado contido pela esfera r , k x(0) k< r , mas que tem trajetória com início e fim contidos pela região delimitada pela esfera R . Mostrado na 5.13 pela trajetória 2.
3. Uma trajetória que se inicia num ponto de estado contido pela esfera r , k x(0) k< r , mas que tem trajetória com início e fim contidos pela região delimitada pela esfera r . Mostrado na 5.13 pela trajetória 3.
Figura 5.13: Trajetória 1: instável. Trajetória 2: marginalmente estável. Trajetória 3: assintoti-
camente estável
5.5.4.1 Estabilidade assintótica
Por definição, um ponto de estado x = 0 é assintoticamente estável, se esse ponto for estável e houver uma região r > 0 tal que a trajetória do sistema se inicia dentro dela, k x(0) k< r , e tende para o ponto 0 quando t tende ao infinito (x(t) → 0 quando t → ∞).
A definição de estabilidade assintótica implica que trajetórias iniciadas arbitrariamente pró- ximas ao ponto 0 convergirão para ele quando o tempo tender ao infinito. Seja o modelo do separador centrífugo: se os parâmetros pG, CM 2 ou γ forem funções do tempo o sistema poderá
ser descrito pela equação 5.52. Com esses parâmetros variáveis, pode-se se atribuir uma trajetória de β com tempo. As dimensões da circunferência de referência mostrada da Figura 5.5 mudariam
do ponto mínimo assumido pelo sistema variando com o tempo assim como a inclinação e posição da curva de retrato de fases.
Da mesma forma, como qualquer ponto de estabilidade estará necessariamente sobre a curva de retrato de fases, ter-se-ia uma posição variável para o ponto de convergência. Não seria possível, como impõe a definição de estabilidade assintótica, se estabelecer uma região no espaço de estados de raio arbitrariamente pequeno para a qual, iniciada a trajetória do nível dentro dessa região, o sistema convergisse para o dado ponto com o decorrer do tempo, já que tendo β=β(t) uma trajetória, o ponto de convergência também teria.
Observe a Figura 5.14. Pela circunferência de referência (em azul) percebe-se que há um descolamento dos pontos do retrato de fases à medida que β avança em sua trajetória. O ponto mínimo do retrato de fases, inicialmente na posição p1passará para posição p2ao final da trajetória.
O mesmo comportamento será observado para um dado ponto de convergência já que este estará sobre a curva de retrato de fases (curva verde). Assim, não há como se afirmar uma estabilidade assintótica para o ponto de convergência. De fato, faz mais sentido estabelecer uma convergência em relação a uma trajetória e não a um ponto.
Figura 5.14: Com β variável com o tempo há uma mudança no retrato de fases do sistema. Pode
ser observado pela circunferência de referência (em azul) há um descolamento dos pontos do retrato de fases à medida que β avança em sua trajetória. Como consequência, um ponto (como o ponto mínimo) inicialmente na posição p1 passará para posição p2 ao final da trajetória.
Não é difícil porém, estabelecer hipóteses em que a pressão do gás acima da coluna de líquido no interior do separador tenha uma variação com o tempo que possa ser negligenciada ou uma hipótese em que a pressão e a vazão na tubulação de escoamento de líquido alcancem um estado estacionário, cessados os efeitos de perturbações geradoras de transientes ou ainda, uma situação e que a velocidade de rotação da bomba possa permanecer constante por um longo período de tempo. A combinação desses casos levaria a um β aproximadamente constante. Nesse caso dado o retrato de fases do sistema, é possível se estabelecer uma região no espaço ou um intervalo de níveis arbitrariamente pequeno dentro do qual o nível começaria (num ponto de equilíbrio) e terminaria sua trajetória temporal.
5.5.4.2 Estabilidade exponencial
Nos casos em que β é uma função do tempo não há de se falar em estabilidade exponencial já que esta depende da condição de estabilidade assintótica. Observemos, então, o caso em que β é aproximadamente constante. Por definição um ponto em espaço de estados é exponencialmente estável se existir dois números estritamente positivos tais que k x(t) k≤ k x(0) k e−λt para todo
t > 0. [Slotine e LI 1991]. O sistema alcançará o ponto de convergência mais rápido que uma
função exponencial. Derivando a condição de estabilidade exponencial em relação ao tempo: k ˙x(t) k≤ −λ k x(0) k e−λt (5.55) aplicando-se as desigualdades a equação do sistema de nível do separador
˙l(t) +q β2+ Γ2(l − l c) = 0 ≤ −λl0e−λt+ q β2+ Γ2(l 0e−λt− lc) (5.56)
de forma que haverá estabilidade exponencial para um dado valor de nível l0 quando
−λl0e−λt+
q
β2+ Γ2(l
0e−λt− lc) ≥ 0 (5.57)
A essa altura, dada a complexidade de formas que o modelo do sistema de nível do separador centrífugo pode assumir, optou-se apenas por mostrar a existência de pontos para os quais o sistema apresenta estabilidade exponencial. Da manipulação algébrica da desigualdade acima chega-se a
l0e−λt(λ2l0e−λt−Γ2) ≤ β2−Γ2lc (5.58)
Para muitos casos β2–γ2l
c é um valor positivo já que essa condição garante que a equação
5.11 conduza a uma valor não-imaginário quando o nível estiver na posição l=0. Assumindo-se essa condição, pode-se afirmar que a desigualdade será válida para qualquer valor que satisfaça a desigualdade abaixo
λ2l0e−λt−Γ2≤0 (5.59)
ou
λ2l0e−λt≤Γ2 (5.60)
Esta última desigualdade será verdadeira para qualquer tempo sempre que λ2l
0 ≤Γ2, o que
é facilmente conseguido para pequenos valores de ou l0. Verifica-se que há a possibilidade de
convergência exponencial sob certas condições de funcionamento do separador. É importante lem- brar que além das exigências admitidas até aqui, não foram consideradas possíveis sinais sendo aplicados à entrada do sistema. Não é difícil se imaginar, no entanto, situações em que a en-
trada possa ser considerada aproximadamente constante por um período de tempo suficiente para que se encontre condições semelhantes às discutidas e que possibilitem pontos de convergência exponencial.