Mod`ele simple de zone s`eche

Un mod`ele simple, reposant sur quelques hypoth`eses d´ecoulant d’observations pr´eliminaires robustes, permet de rendre compte des principales caract´eristiques des zones s`eches et d’appr´ehender les principaux effets physiques gouvernant le syst`eme. Ce mod`ele a ´et´e d´ecrit dans une publication [62] reproduite en annexe.

Hypoth`eses

Les observations exp´erimentales qualitatives et les ordres de grandeur analys´es pr´ec´edemment permettent de jeter les bases d’un mod`ele simple de zone s`eche isol´ee. L’essentiel de la physique gouvernant les ph´enom`enes observ´es est contenu dans les

hypoth`eses suivantes :

1. L’´ecoulement peut ˆetre divis´e en deux r´egions bien identifi´ees sur les photo- graphies de la figure 2.8 :

Un film d’´epaisseur uniforme hf dans lequel la vitesse est ´egalement uniforme

dans le plan de l’´ecoulement, et dirig´ee selon la ligne de plus grande pente ; Un bourrelet bordant la zone s`eche, qui collecte le liquide provenant du film. Les lignes de courant dans ce bourrelet sont suppos´ees parall`eles `a la ligne de contact (la r´egion de transition entre film et bourrelet o`u s’op`ere la d´eflexion des lignes de courant est suppos´ee de dimensions n´egligeables). 2. L’´equilibre du bourrelet dans la direction perpendiculaire `a la ligne de contact r´esulte essentiellement d’un ´equilibre entre son poids et les forces interfaciales (Bo ∼ 1).

3. Les ´ecoulements dans le film et dans le bourrelet sont trait´es dans l’approxi- mation de Stokes.

4. Enfin le protocole suivi pour l’´etude de la forme des zones s`eches (nucl´eation `a bas d´ebit, puis croissance du d´ebit par paliers), permet de consid´erer que l’angle de contact est uniforme et proche de l’angle d’avanc´ee θa.

Nous supposerons ´egalement dans ce mod`ele que la section du bourrelet est approximativement semi-circulaire. Nous montrons en annexe A que cette approxi- mation suffit `a estimer correctement les diff´erentes relations entre les param`etres g´eom´etriques du bourrelet jusqu’`a des nombres de Bond de l’ordre de 1. Au del`a, on ne peut plus n´egliger l’aplatissement du bourrelet sous l’effet de la gravit´e. L’hypoth`ese de bourrelet de section semi-circulaire paraˆit raisonnable pour la plu- part des situations exp´erimentales o`u la largeur du bourrelet n’exc`ede pas quelques millim`etres. Une justification plus d´etaill´ee de la validit´e de cette hypoth`ese est pr´esent´ee en annexe A.

Equations

Les notations utilis´ees ici sont d´efinies sur la figure 3.1.

Selon les hypoth`eses retenues, l’´equilibre d’un bourrelet liquide bordant une zone s`eche stationnaire r´esulte de l’´egalit´e des forces de gravit´e et de tension de surface projet´ees dans la direction perpendiculaire `a la ligne de contact, qui fait un angle ψ

α

Γ

x

y

R

SU

ψ

+

r

H

hf

S

θ

γ

γ

ρgS

(b)

(a)

L

L cosψ

x

Γ

SU

0

(c)

Fig. 3.1 – Notations utilis´ees dans le mod`ele. a : sch´ema g´en´eral de l’´ecoulement ; b : section du bourrelet liquide ; c : conservation de la masse.

avec la ligne de plus grande pente (fig. 3.1-b) :

γ (1 − cos θ) = ρgS(ψ) sin α sin ψ (3.1) Le bourrelet collecte le liquide provenant du film qui est d´evi´e au voisinage de la zone s`eche. La conservation de la masse implique que le flux entrant soit ´egal au flux sortant (fig. 3.1-c) :

Γ(x + L cos ψ) = SU (3.2) o`u x d´esigne l’abscisse d’un point de la ligne de contact, l’origine ´etant au sommet de l’arche, et U la vitesse moyenne du fluide dans le bourrelet `a l’abscisse consid´er´ee (moyenn´ee sur une section normale `a la ligne de contact). L est la largeur locale du bourrelet. On se place dans la limite d’un bourrelet mince, pour lequel on supposera L cos ψ ≪ x. Dans ces conditions, l’´equation de conservation devient :

Γx = SU (3.3)

Le nombre de Reynolds ´etant faible, on suppose que l’´ecoulement `a l’int´erieur du bourrelet est gouvern´e par un ´equilibre entre gravit´e et frottement visqueux. Dans ces conditions, l’´equation de Navier-Stokes se ram`ene `a :

η∆u = ρgk (3.4)

o`u u est la vitesse locale du fluide et gk la composante de la gravit´e parall`ele `a la

ligne de contact : gk = g sin α cos ψ.

Sans pr´ejuger de la forme de la surface libre, ni du profil de vitesse dans le bourrelet, on peut ´ecrire le terme visqueux (membre de gauche dans l’´equation pr´ec´edente) sous la forme :

η∆u = η m

U

H2 (3.5)

o`u H est la hauteur de ce bourrelet (´epaisseur maximale sur la section), et m un fac- teur de forme qui prend en compte la forme du bourrelet et les d´etails de l’´ecoulement `a l’int´erieur de celui–ci.

Si l’on fait intervenir la vitesse capillaire Uc = γ/η et la longueur capillaire

U Uc = mH 2 l2 c sin α cos ψ (3.6) Les expressions exactes du facteur de forme m et de la hauteur du bourrelet H d´ependent des hypoth`eses que l’on fait sur le profil d’interface. Dans le cas d’une section semi-circulaire, la relation entre H et S est imm´ediate :

H2 = Sf1(θ) (3.7)

avec

f1(θ) = (1 − cos θ) 2

θ − sin θ cos θ (3.8) On peut alors ´ecrire :

U Uc = mf1(θ) S(ψ) l2 c sin α cos ψ (3.9)

La valeur du param`etre m peut ˆetre estim´ee en calculant le profil de vitesse dans un ruisselet de section semi-circulaire dans l’approximation de lubrification, valable pour des angles de contact mod´er´es [62]. Le d´etail de ce calcul figure dans la publication reproduite en Annexe B. Cette estimation d´epend tr`es peu de la valeur de l’angle de contact, et est comprise entre 0,23 et 0,24 pour la gamme d’angles de contacts disponible dans les exp´eriences.

Forme et dimensions d’une zone s`eche

En combinant les ´equations 3.1, 3.3 et 3.9, on peut extraire les ´equations de la ligne de contact, param´etr´ees par l’angle ψ,

x = Rcos ψ sin2ψ (3.10) y = R 3  1 − 3 cos2_ψ sin3ψ − 1  (3.11) avec

R = mf2(θ) l2 c sin α Uc Γ (3.12) f2(θ) = (1 − cos θ) 4 θ − sin θ cos θ (3.13) Les notations r´eduites suivantes peuvent ˆetre introduites :

Γ∗ = Γ f1(θ)(1 − cos θ)2Uclc