cibles canoniques et des surfaces rugueuses
2.5 Mod´ elisation statistique du speckle
En imagerie SAR, l’observation d’une surface rugueuse va se traduire sur l’image du bruit appel´e speckle dont les caract´eristiques d´ependent de la surface observ´ee. Nous allons donc utiliser la mod´elisation de ce bruit afin de l’int´egrer dans nos simulations et ainsi obtenir des r´esultats probants.
Sur la base d’´etudes th´eoriques et exp´erimentales, l’origine physique du speckle a ´et´e d´efinie comme l’interaction entre une onde coh´erente et la texture de la surface. La rugosit´e de la surface entraˆıne une modulation des chemins optiques des ondes diffus´ees et une diminution de la coh´erence spatiale. Les ondes diffract´ees peuvent interf´erer de mani`ere constructive : dans ce cas, l’intensit´e r´e´emise par une cellule de r´esolution sera tr`es grande ce qui ne correspond pas `a la r´ealit´e physique. In-versement, les phases des r´eponses ´el´ementaires peuvent ˆetre en opposition : dans ce cas, la r´eponse globale de la cellule sera tr`es faible. Le r´esultat final est une image SAR pr´esentant de fortes variations (aspect granuleux) `a l’int´erieur des zones g´eographiquement homog`enes.
La nature du speckle a fait l’objet de nombreuses ´etudes [Goo63] [Goo76b] [Goo76a] [TCG82] [UKBW86] [UHA88]. Le speckle d´epend des caract´eristiques
sta-2.5-Mod´elisation statistique du speckle
tistiques de la surface rugueuse observ´ee. Nous utiliserons dans nos simulations le mod`ele le plus souvent utilis´e, celui du speckle dit “totalement d´evelopp´e” de Good-man [Goo76a], dans lequel le speckle est un bruit de nature multiplicative.
2.5.1 Principe
Le mod`ele du speckle dit “totalement d´evelopp´e” repose sur les hypoth`eses sui-vantes [Ogo97] :
– Le nombre N de diffuseurs par cellule de r´esolution est grand.
– L’amplitude et la phase de chaque diffuseur ´el´ementaire sont ind´ependantes de celles des N-1 autres diffuseurs de la cellule de r´esolution.
– L’amplitude et la phase de chaque diffuseur sont ind´ependantes entre elles. – Les phases des diff´erents diffuseurs ´el´ementaires sont ind´ependantes entre elles
et uniform´ement r´eparties sur [0, 2π]. Cette condition est vraie si la cible est consid´er´ee comme rugueuse par rapport `a la longueur d’onde utilis´ee et si aucun diffuseur ne pr´edomine sur les autres dans la cellule de r´esolution.
Soit ak, avec k = 1, 2, ..., N , les amplitudes des r´eponses des diffuseurs
´el´ementaires `a l’int´erieur d’une cellule de r´esolution, et ϕk les phases
correspon-dantes, la r´eponse globale de la cellule consid´er´ee est alors [Mai01] :
z = Aejϕ =
N X
k=1
akejϕk. (2.71)
Les composantes en phase Ap et en quadrature Aq de la r´eponse globale seront
donn´ees par : Ap = A cos(ϕ) = N X k=1 akcos(ϕk), (2.72) et Aq = A sin(ϕ) = N X k=1 aksin(ϕk). (2.73)
En utilisant d’une part, l’ind´ependance entre les amplitudes des divers diffuseurs et d’autre part, l’ind´ependance entre l’amplitude et la phase d’un diffuseur, il r´esulte que les termes qui s’additionnent pour donner les composantes en phase et en qua-drature de la r´eponse globale sont statistiquement ind´ependants. Si on consid`ere, en plus, N suffisamment grand (premi`ere hypoth`ese), les conditions du th´eor`eme de la
limite centrale [Pap91] sont satisfaites, donc on peut consid´erer que Ap et Aq ont des
distributions gaussiennes. Bruniquel a ´egalement montr´e que la distribution d’ordre
2 de Ap et Aq est ´egalement de forme gaussienne [BL97].
En exploitant le fait que les phases ´el´ementaires ϕk sont uniform´ement
dis-tribu´ees sur [0, 2π], on peut montrer que les composantes Ap et Aq sont centr´ees et
de variance ´egale [Ogo97] :
E{Ap} = E{Aq} = 0, (2.74)
o`u R est la r´eflectivit´e radar id´eale, c’est-`a-dire la valeur qui caract´erise la cellule de r´esolution, que l’on devrait obtenir en l’absence de speckle.
De plus, on peut montrer que Ap et Aq sont d´ecorr´el´ees, donc ind´ependantes,
puisque conjointement gaussiennes [Pap91] :
E{ApAq} = 0. (2.76)
Cela conduit `a la distribution conjointe suivante pour Ap et Aq :
ωApAq(x, y) = √1
2πσe
x2+y2
2σ2 . (2.77)
Nous allons voir maintenant comment cette distribution s’applique aux images SAR.
2.5.2 Distribution du speckle dans les images SAR
Le capteur radar fournit une image obtenue en prenant l’intensit´e du signal r´etro-diffus´e par la cible [UKBW86] :
I = A2p+ A2q. (2.78)
Sous l’hypoth`ese que les composantes en phase et quadrature du signal sont distribu´ees selon l’equation (2.77), il r´esulte que l’intensit´e I est caract´eris´ee par une loi de probabilit´e exponentielle [UKBW86] :
ωI(x) = 1 Re −x R si x ≥ 0, 0 ailleurs. (2.79) La r´eflectivit´e R joue le rˆole d’un param`etre d’´echelle. Ceci justifie la nature multiplicative du bruit de speckle. Consid´erons le mod`ele de perturbation d’image par du bruit multiplicatif, en associant I `a g et R `a f , et en prenant u comme un signal al´eatoire distribu´e selon une loi exponentielle de param`etre unitaire (2.80), on obtient la mˆeme distribution de l’image bruit´ee que celle dans l’´equation (2.79).
ωI(x) = (
e−x si x ≥ 0,
0 ailleurs. (2.80)
L’autre type d’image radar d´etect´ee est l’image form´ee des amplitudes A des ondes r´etro-diffus´ees par les r´eflecteurs ´el´ementaires [UKBW86] :
A =qA2
p+ A2
q =√
I. (2.81)
La distribution du speckle dans les images d’amplitude est obtenue en effectuant
le changement de variable y = √
x dans la loi exponentielle de (2.80). Il en resulte une distribution de Rayleigh [UKBW86] :
ωu(x) = (
2xe−x2 si x ≥ 0,
2.6-Conclusion
2.5.3 Conclusion
Cette section nous donne les principes de base n´ecessaire `a une mod´elisation statistique du speckle. Ainsi lors de nos simulations sur des surfaces rugueuses, nous pourrons introduire le speckle `a partir de cette repr´esentation et observer son impact sur les images reconstruites.
2.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons pr´esent´e diff´erentes techniques permettant d’es-timer les coefficients de diffusion de cibles. L’Optique G´eom´etrique et la th´eorie g´eom´etrique de la diffraction ont ´et´e pr´esent´es dans un premier temps. Ces m´ethodes permettent d’obtenir les coefficients de diffusion de cibles canoniques. Ces coeffi-cients seront utilis´es dans le chapitre 5 pour mod´eliser des cibles complexes ce qui permettra de v´erifier les caract´eristiques et l’int´erˆet de la configuration bistatique en imagerie radar.
Dans la mˆeme optique, nous nous sommes ensuite int´eress´es aux surfaces ru-gueuses afin d’introduire une surface oc´eanique dans nos simulations. Diff´erents mod`eles de diffusion par une surface rugueuse (Kirchhoff, petites perturbations et deux ´echelles) ont ´et´e pr´esent´es. Face aux caract´eristiques de la surface oc´eanique, le mod`ele deux ´echelles est le plus adapt´e pour l’estimation des coefficients de diffusion et a donc ´et´e retenu. Les caract´eristiques du speckle (bruit g´en´er´e par une surface rugueuse) ont ensuite ´et´e pr´esent´ees afin de les introduire dans nos simulations.