Mod´ elisation par automates temporis´ es

Le principe de ce mod`ele g´en´erique repose sur le formalisme des automates temporis´es [AD94] qui permettent `a la fois la mod´elisation qualitative, la gestion

Figure 3.1 – Framework de mod´elisation d’un ´ecosyst`eme marin

du temps et la modularit´e.

Etats qualitatifs. On utilise les automates temporis´es pour mod´eliser les sous-syst`emes au sein de chaque entit´e. Les sommets de l’automate repr´esentent des variables qualitatives d´ecrivant les diff´erents ´etats du sous-syst`eme. Les esp`eces sont d´efinies, par exemple, `a l’aide de niveaux qualitatifs sur leur biomasse tels que {low, normal, high, extinct}, le domaine pouvant ˆetre d´efini au choix. Les forces anthropiques comme les pressions de pˆeche par exemple pour un ´ecosyst`eme marin sont ´egalement repr´esent´ees par des valeurs qualitatives d´ecrivant des pres-sions fortes, normales, inexistantes, etc., tout comme les ph´enom`enes climatiques. Interaction entre composants. L’interaction des automates temporis´es est r´ealis´ee par une synchronisation de type CCS [Mil89] selon le principe d´ecrit section 2.3.1. Deux automates se synchronisent sur une paire d’´ev´enements s’ils partagent la mˆeme ´etiquette. On distingue les ´ev´enements ´emetteurs des ´ev´enements r´ecepteurs. Dans la repr´esentation d’un ´ecosyst`eme, un ´ev´enement peut ˆetre le d´eclenchement d’une activit´e humaine, le changement d’´etat d’une esp`ece, l’occurrence d’un ca-tastrophe naturelle. Ces ´ev´enements se situent sur des transitions qui s’ex´ecutent

instantan´ement (comme le veut la d´efinition de l’automate temporis´es) dans les au-tomates porteurs des deux ´ev´enements (´emetteur et r´ecepteur). Le mod`ele global est obtenu par la synchronisation de tous les automates qui composent le syst`eme dans une op´eration appel´ee composition parall`ele.

Gestion du temps. La dynamique de transition entre ´etats peut se mod´eliser par les horloges des automates, chaque sous-syst`eme pouvant d´efinir sa propre hor-loge. Les diff´erences de valeurs possibles entre gardes et invariants permettent d’introduire des intervalles temporels int´eressants pour repr´esenter l’incertitude du temps de passage d’un ´etat vers un autre ´etat. Cet intervalle de transition est tr`es utile lorsque l’on s’int´eresse aux ´ecosyst`emes vivants en ´evitant un effet de seuil qui parait peu r´ealiste. Les transitions instantan´ees entre ´etats ne posent pas de probl`eme pour repr´esenter l’´evolution des forces anthropiques ou des ´ev´enements climatiques qui surviennent rapidement. Pour les changements d’´etats au sein des esp`eces, il est n´ecessaire de mod´eliser des ´etats interm´ediaires qui d´ecrivent la dynamique croissante ou d´ecroissante de la biomasse entre deux ´etats stables. Dans la mod´elisation, on distingue donc les ´etats stables associ´es aux valeurs qua-litatives des ´etats du syst`emes des ´etats interm´ediaires qui correspondent `a une dynamique croissante ou d´ecroissante du niveau qualitatif. Le syst`eme peut sortir d’un ´etat stable uniquement par la r´eception d’´ev´enement (et non par le temps). Chaque ´etat interm´ediaire est associ´e `a des contraintes temporelles qui d´ependent de l’´ev´enement ayant d´eclench´e la transition (la biomasse d’une esp`ece diminue moins vite si elle dispose de moins de proies qu’elle consomme mod´er´ement que si elle est exploit´ee intensivement, par exemple). Le nombre d’´etats interm´ediaires peut croˆıtre rapidement selon le nombre d’interactions entre les sous-syst`emes.

La figure 3.2 pr´esente un automate temporis´e de l’esp`ece thon pour un ´ecosyst`eme simple : thon ← maquereau ← {sardine, anchois} o`u les esp`eces thon et maque-reau peuvent ˆetre soumis `a une pression de pˆeche qui peut ˆetre normale, faible ou nulle. Les niveaux qualitatifs high, normal et low de la biomasse sont pr´esent´es. Les ´ev´enements li´es `a la pˆeche au thon ´etiquettent les arcs entre les ´etats stables de biomasse (en blanc) et les ´etats interm´ediaires (en noir). Lorsque l’esp`ece change d’´etat, elle d´eclenche un ´ev´enement, thon high! par exemple, qui se synchronise avec les automates voisins (la proie maquereau dans cet exemple). L’unit´e des contraintes temporelles est le mois et ces contraintes sont port´ees par les ´etats interm´ediaires pour indiquer la vitesse du changement. On peut ainsi remar-quer, que partant de l’´etat normal, un ´ev´enement indiquant l’arrˆet de la pˆeche peche thon stop? aura pour cons´equence une ´evolution plus rapide vers une bio-masse high qu’une simple diminution de la pression de pˆeche peche thon low?.

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A chaque moment de l’´evolution en cours, et ´etant donn´e l’´echelle de temps consid´er´ee, un ´ev´enement peut contredire un pr´ec´edent n´ecessitant la remise `a

jour des valeurs d’horloges, ce qui est symbolis´e par les transitions entre les ´etats interm´ediaires. La description du framework de mod´elisation est d´etaill´ee dans la publication [LZC14].

Figure 3.2 – Automate temporis´e de l’esp`ece Thon soumis `a une pression de pˆeche. La biomasse est d´ecrite par trois niveaux qualitatifs thon N ormal, thon Low et thon High. Les ´etats stables sont repr´esent´es en blanc et les ´etats interm´ediaires en noir.

Complexit´e. Soit A un r´eseau de n automates A_i, chacun ´etant d´efini par N niveaux qualitatifs. Pour chaque automate A_i, on d´efinit l’ensemble des voisins N ei(A_i) = {A_j}_{{1≤j≤n−1}} comme l’ensemble des automates temporis´es A_j tel que A_j partage au moins un ´ev´enement synchronis´e avec A_i. Chaque changement d’´etat qualitatif dans N ei(A_i) peut d´eclencher un changement dans A_i et donc d´efinir un ´etat interm´ediaire. Si l’on consid`ere que chaque A_i peut avoir au plus j automates voisins, le nombre maximum d’´etats interm´ediaires pour chaque A_i est donc Nj.