Une cons´equence directe de cette remarque introductive est que l’´etude de la r´esis- tance des structures ma¸conn´ees s’effectue plutˆot en s’int´eressant `a la r´esistance de ses joints. C’est principalement l’apparition de m´ecanismes au niveau des joints qui va mener `
3.2.1 M´ecanismes au niveau des joints
Les interfaces entre deux blocs peuvent ˆetre remplies de plˆatre, de mortier ou bien n’utiliser aucun mortier (on parle alors de joint sec). Pour les constructions anciennes, en raison de la d´egradation du mortier, le comportement des joints est associ´e `a un comportement de joints secs. De mˆeme, les structures autobloquantes que nous mod´eli- serons pr´esenteront des joints secs. En pr´esence de mortier, nous n´egligerons l’´epaisseur de celui-ci. Nous consid´ererons donc par la suite le joint comme une surface plane sans ´epaisseur.
Nous pouvons d`es lors s´eparer les m´ecanismes de rupture au niveau des joints en deux groupes, heymanien et non-heymanien (Fig. 3.2), ces adjectifs faisant r´ef´erence au th´eor`eme d’Heyman expliqu´e en Section 3.4.1. Dans les m´ecanismes heymaniens, la composante tangentielle du d´eplacement est nulle. Inversement, dans les m´ecanismes non-heymaniens, la composante tangentielle est non nulle (Bagi, 2014).
(a) Heymanien (pas de composante tangentielle) (b) Non-heymanien (composante tangentielle) Figure 3.2 – D´eplacement au niveau des interfaces de contact (Bagi, 2014)
3.2.2 Crit`eres de r´esistance des joints
Pour mod´eliser le contact aux interfaces, il faut `a la fois mod´eliser le crit`ere de r´esistance de l’interface et sa r`egle d’´ecoulement – c’est-`a-dire la cin´ematique de rupture de l’interface lorsque la limite du crit`ere est atteinte. Plusieurs mod´elisations du contacts aux interfaces sont possibles. Citons par exemple, les interfaces lisses sans frottement, les interfaces `a frottement de type Tresca (Fig. 3.3a), les interfaces `a frottements de type Coulomb (Fig. 3.3b) et les interfaces parfaitement rugueuses.
Crit`ere de Tresca Selon le crit`ere de Tresca (Fig. 3.3a), pour un ´etat de compression non nulle (Fn< 0), le glissement peut se produire si la composante tangentielle de l’effort
au niveau de l’interface Ft atteint la valeur limite k. Pour un ´etat de compression nulle
(Fn= 0), le d´ecollement peut se produire. En notant, unet utles composantes normales
Ft
Fn k
(a) Crit`ere de Tresca
Ft
Fn C
φ
(b) Crit`ere de Coulomb
Figure 3.3 – Exemples de crit`eres de r´esistance aux interfaces. Fn et Ft sont respec-
tivement les composantes normales et tangentielles de l’effort au niveau de l’interface. Fn< 0 correspond `a de la compression.
associ´ees (par la r`egle de normalit´e1) `a ce crit`ere sont : si Fn< 0 et |Ft| = k ⇒ un= 0 et ut6= 0 (glissement)
si Fn= 0 et |Ft| < k ⇒ un≥ 0 et ut= 0 (d´ecollement
sans composante tangentielle) si Fn= 0 et |Ft| = k ⇒ un≥ 0 et ut6= 0 (d´ecollement
avec composante tangentielle) Les interfaces lisses sans frottement et les interfaces parfaitement rugueuses sont des cas particuliers du crit`ere de Tresca, avec respectivement k = 0 et k = ∞. Pour les interfaces parfaitement rugueuses, la limite du crit`ere est atteinte seulement si Fn est
nulle, et les cin´ematiques associ´ees sont telles que un ≥ 0 et ut = 0 ; elles n’ont pas
de composantes tangentielles. On remarque que les cin´ematiques heymaniennes de la Fig. 3.2 sont associ´ees au crit`ere de r´esistance des interfaces parfaitement rugueuses.
Pour le crit`ere de Tresca (et ses deux cas particuliers) et les cin´ematiques associ´ees, la r`egle de normalit´e est v´erifi´ee.
Crit`ere de Coulomb Le crit`ere de Coulomb (Fig. 3.3b) exprime la d´ependance de l’effort tangent Ft par rapport `a l’effort normal Fn appliqu´e au niveau de l’interface `a 1. La r`egle de normalit´e est `a diff´erencier du principe de normalit´e introduit en Sec. 2.1. Le principe de normalit´e correspond `a une d´ecoupe des joints perpendiculairement `a l’intrados. Alors qu’ici, la r`egle de normalit´e r´ef`ere `a la mod´elisation du comportement plastique ; `a savoir qu’en plasticit´e associ´ee, le taux de d´eformation plastique est dirig´ee suivant la normale ext´erieure au domaine d’´elasticit´e. Pour de plus amples informations, le lecteur pourra se r´ef´erer `a Salen¸con (2002).
travers le domaine de r´esistance d´efini par :
f = |Ft| + Fntan(φ) − C ≤ 0 (3.1)
o`u φ est l’angle de frottement et C la coh´esion. La valeur maximum de la composante normale de l’effort en tension est parfois limit´ee :
Fn≤ Fmax (3.2)
L’angle de frottement d´epend de l’´etat des interfaces consid´er´ees et peut changer de valeur du fait de la d´egradation de celle-ci, notamment lors d’un essai de cisaillement cyclique (Louren¸co and Ramos, 2004). Pour un angle de frottement non nul, la cin´ema- tique associ´ee `a ce crit`ere a une composante normale non nulle (un> 0). C’est-`a-dire
que mˆeme pour un ´etat de compression non nul (Fn< 0), lorsque la limite du crit`ere
est atteinte, il y a d´ecollement des blocs. Le frottement est dit dilatant. Cependant ce ph´enom`ene ne correspond pas `a une r´ealit´e physique. En effet, pour une pr´ecompression mod´er´ee, les joints en ma¸connerie suivent en g´en´eral un crit`ere de Coulomb (Papado- poulos et al., 1998; Pluijm, 1999; Louren¸co and Ramos, 2004). Or pour des joints secs, la coh´esion est consid´er´ee nulle (C = 0) et les exp´eriences montrent que l’angle de dila- tation – qui repr´esente le d´eplacement normal `a la surface accompagnant le glissement – est g´en´eralement tr`es faible et consid´er´e ´egal `a 0 (Papadopoulos et al., 1998; Louren¸co and Ramos, 2004). Autrement dit, il n’y a pas d´ecollement des blocs lorsqu’ils glissent l’un par rapport `a l’autre. L’aspect dilatant des joints de Coulomb ne repr´esente donc pas bien le comportement r´eel des joints en ma¸connerie. Pour d´eterminer les cin´ema- tiques d’´ecoulement du crit`ere on introduit alors un potentiel d’´ecoulement plastique de la forme :
g = |Ft| + Fntan(ψ) − c ≤ 0 (3.3)
Fn≤ Fmax (3.4)
o`u ψ est l’angle de dilatation.
Les cin´ematiques du crit`ere sont alors associ´ees `a ce potentiel g et non plus `a f . Si l’angle de frottement et l’angle de dilatation sont ´egaux, φ = ψ, le crit`ere et l’´ecoulement sont associ´es, la r`egle de normalit´e est respect´ee ; on parlera de crit`ere de Coulomb associ´e. Dans le cas contraire (φ 6= ψ), la r`egle de normalit´e n’est pas respect´ee et on parlera de crit`ere de Coulomb non associ´e.
La valeur de l’angle de dilatation joue un rˆole important dans la r´esistance des struc- tures ma¸conn´ees confin´ees (Godio et al., 2018). Des joints dilatants surestiment le mul- tiplicateur de rupture (coefficient de s´ecurit´e) et cette surestimation est d’autant plus significative pour la ma¸connerie confin´ee, ce qui est le cas pour les voˆutes plates d’Abeille, et les assemblages topologiquement autobloquants.
Nous retiendrons donc de cette section, qu’en premi`ere approche, pour une ma¸connerie topologiquement autobloquante `a joints secs, le crit`ere `a consid´erer est celui de type
Coulomb non associ´e avec un angle de dilatation nul. Ce crit`ere ne respecte pas la r`egle de normalit´e.