Limitations de l’analyse limite et calcul ` a la rupture

L’analyse limite semble donc ˆetre adapt´ee pour l’´etude de stabilit´e des ma¸conneries topologiquement autobloquantes. Cependant, certaines limitations que nous allons ex- poser font que ce n’est pas n´ecessairement le cas, car nous accordons notamment une certaine importance `a la prise en compte des joints des structures topologiquement au- tobloquantes.

Domaines des solutions d’´equilibre L’analyse limite pour la ma¸connerie selon Hey- man consiste `a trouver un syst`eme de forces en ´equilibre avec le chargement (i.e. statique- ment admissible) ; si les points d’application de ces forces sont au niveau des interfaces de contact (et non en dehors), alors le chargement est support´e. Le TNA que l’on vient de mentionner est une m´ethode pour trouver un syst`eme de forces en ´equilibre avec le chargement. Cependant, cette m´ethode consid`ere une extension du polygone funicu- laire et non de la ligne de pression. Or il peut arriver que les deux soient diff´erents (cf. Section 3.3). En cherchant `a ce que cette extension du polygone funiculaire soit dans l’´epaisseur de la ma¸connerie, on se limite `a un domaine des solutions d’´equilibre plus restreint. Il peut y avoir des cas, pour des st´er´eotomies particuli`eres, dans lesquels le po- lygone de force est en dehors de l’´epaisseur de la ma¸connerie mais les points d’application des forces sont bien au niveau des interfaces.

De plus, avec le TNA, l’espace de recherche des solutions d’´equilibre est ´egalement limit´e par le fait que cette m´ethode ne se pr´eoccupe que d’´equilibre avec des forces concourantes en un point. Or, il est possible d’avoir un ´equilibre en force et moment avec des forces non concourantes (Fig. 3.9). (Fantin, 2017) souligne que cet espace de recherche restreint est trop limit´e pour trouver des solutions stables pour les voˆutes plates d’Abeille avec angle de frottement faible (cf. Fig. 3.10). Fantin and Ciblac (2016) ont ´etendu la m´ethode des r´eseaux de forces par l’ajout de branches partielles additionnelles, m´ethode que nous ne d´etaillerons pas ici. Cette m´ethode ´etendue a ´et´e appliqu´ee avec succ`es aux voˆutes plates, notamment celle d’Abeille (Fantin, 2017), mais elle ne s’applique pas aux voˆutes d’Abeille non planes – et plus g´en´eralement aux ma¸conneries topologiquement autobloquantes non planes. Une piste envisageable pour ´etendre cette m´ethode `a des voˆutes de type Abeille non planes est de trouver une transformation conservant l’´equilibre statique et permettant de passer d’une voˆute plate `a la voˆute courbe voulue. De telles m´ethodes de transformation sont notamment pr´esent´ees dans Fivet (2016).

Frottement non associ´e et calcul `a la rupture Pour appliquer l’analyse limite, le mat´eriau doit ˆetre parfaitement plastique et ob´eir au principe de travail plastique maximal, ce qui veut dire, concernant les interfaces, que la loi de frottement doit respecter la r`egle de normalit´e (le crit`ere de plasticit´e des interfaces ´etant convexe). Comme ´evoqu´e

Figure 3.9 – Syst`emes de forces en ´equilibre. Pour les cas (b), (c) et (d), les forces ne sont pas concourantes en un point. (Issue de Fantin (2017))

pr´ec´edemment, la troisi`eme hypoth`ese d’Heyman n’implique pas le respect de la r`egle de normalit´e. Bagi (2014) a fait ce constat et a propos´e de s´eparer les d´eplacements au niveau des interfaces en deux groupes : heymaniens et non heymaniens (cf. Fig. 3.2). Bagi (2014) remplace ainsi la troisi`eme hypoth`ese d’Heyman par :

3. Pas de d´eplacements non-Heymaniens entre les blocs

L’analyse limite de Heyman s’applique donc avec ces nouvelles hypoth`eses et prot`ege seulement contre les d´eplacements Heymaniens.

Remarquons que les interfaces parfaitement rugueuses respectent la r`egle de norma- lit´e et la cin´ematique d’´ecoulement associ´ee est celle des d´eplacements heymaniens (cf. Section 3.2.2). Une autre fa¸con de voir cette troisi`eme hypoth`ese est donc de mod´eliser le contact comme ´etant parfaitement rugueux.

Si la loi de frottement consid´er´ee ne respecte pas la r`egle de normalit´e, nous ne sommes plus dans le cadre de l’analyse limite mais dans celui du calcul `a la rupture. Dans le cadre du calcul `a la rupture, aucune donn´ee n’est n´ecessaire sur le mat´eriau autre que sa r´esistance. L’inconv´enient est que, l`a o`u l’analyse limite donne des char- gements sˆurement support´es, le calcul `a la rupture donne des chargements seulement potentiellement supportables (Salen¸con, 1983, 2002). Il s’av`ere que dans la ma¸connerie, les frottements sont plutˆot de type Coulomb non associ´es (ne respectant pas la r`egle de normalit´e) (cf. Section 3.2.2) et que le calcul `a la rupture surestime donc le chargement r´eellement support´e si la ruine peut avoir lieu selon des d´eplacements non-Heymaniens.

Figure 3.10 – Domaines des solutions d’´equilibre ; intersections possibles des solutions d’´equilibre stables, avec ou sans la propri´et´e d’intersection des forces en un point (Fantin, 2017))

3.4.6 Conclusion

Pour calculer la stabilit´e des assemblages topologiquement autobloquants pr´esent´es dans la premi`ere partie, le calcul `a la rupture ou l’analyse limite ne nous semble pas ˆetre un choix pertinent. D’une part, la recherche d’efforts statiquement admissibles est rendue difficile par la st´er´eotomie particuli`ere de tels assemblages, particuli`erement si la g´eom´etrie consid´er´ee est courbe. Par ailleurs, on souhaite s’int´eresser aux interfaces et `a leur inclinaison. Une ruine par glissement – ou plus g´en´eralement par d´eplacement non heymanien– n’´etant pas exclue, le calcul `a la rupture risque de surestimer le char- gement limite support´e. Cette m´ethode a n´eanmoins l’avantage d’ˆetre param´etrable et de permettre la recherche de formes plus facilement que par des calculs aux ´el´ements discrets.