Mod`eles de simulation

La propagation spatiale `a partir de sources r´eparties dans l’espace a ´et´e d´ecrite par des

mod`eles o`u sont explicit´es les trois ´etapes de la propagation spatiale (production de spores,

dispersion des spores et infection des plantes par les spores). Ces mod`eles sont int´egr´es `a

des mod`eles spatio-temporels construits pour simuler des ´epid´emies (e.g. Minogue and Fry,

1983; Lett and Østerg˚ard, 2000).

Exemple

Pr´esentons la composante ‘propagation spatiale’ du mod`ele de Lett and Østerg˚ard

(2000).

4 Par exemple, pour l’exponentielle : log{g(r)}= loga−r/b, pour la loi-puissance : log{g(r)}= loga−blogr.

Production : la quantit´e potentielle de spores qui sont produites par une l´esion en un jour

et qui conduiraient `a des l´esions filles si le champ ´etait infini et sain, suit une loi de Poisson

de moyenne α. Le param`etreα est appel´e facteur de multiplication journalier potentiel de

la maladie.

Dispersion : chaque spore produite est d´epos´ee dans le plan

– `a une distance r de la l´esion m`ere distribu´ee selon la densit´e

f(r) = ²

πµ

1

1 + (r/µ)2δ_r≥0

o`u δ_r≥0 vaut 1 sir ≥0 et 0 sinon,

– dans une direction uniform´ement distribu´ee dans [0^o,360^o[,

et ce ind´ependamment des autres spores.

Infection : quand une spore est d´epos´ee sur la plante i, elle donne une l´esion avec la

pro-babilit´e 1−y_i/y_max o`u y_i est la surface foliaire atteinte de la plante et y_max est la surface

foliaire totale de la plante (y_max−y_i est la surface foliaire libre). Si la spore donne une

l´esion, la surface foliaire atteinte y_i est incr´ement´ee de la surfacesoccup´ee par une l´esion.

Les param`etres de ce mod`ele sont, pour une maladie donn´ee, mesur´es par ailleurs

(uti-lisation de r´esultats donn´es dans la litt´erature).

Choix de la fonction de dispersion (FDD)

La fonction de dispersion (FDD), not´ee h : ² → , est d´efinie comme la densit´e de

probabilit´e de la position al´eatoire de d´epˆot dans 2 d’une spore ´emise par une source

ponctuelle situ´ee en l’origine. Les mod`eles de simulation int`egrent une FDD de mani`ere

explicite⁶. Par exemple, on peut montrer (Tufto et al., 1997) que la FDD int´egr´ee au mod`ele

de Lett and Østerg˚ard (2000) est

h(x, y) = ¹

2πr

2

πµ

1

1 + (r/µ)2,

o`u (x, y) est dans le plan 2 etr =p

x2+y2

Le choix d’une FDD contraint la r´epartition spatiale de la maladie. Diverses formes ont

donc ´et´e propos´ees pour h afin de refl´eter des d´ecroissances diff´erentes de la concentration

de spores avec la distance et afin de refl´eter l’anisotropie de la dispersion des spores. Nous

pr´esentons ici certaines de ces formes.

Mod`eles empiriques pour la FDD

Des densit´es de probabilit´e param´etriques ont ´et´e propos´ees pour la FDDh. Par exemple,

Tufto et al. (1997) pr´esentent la fonction exponentielle-puissance

h(x, y) = ^c

2πb2/cΓ(2/c)^exp

−^r

c

b

6 les mod`eles pour le gradient de dispersion int`egrent ´egalement une FDD, mais de mani`ere implicite : on

consid`ere g´en´eralement que le gradient de maladie est proportionnel `a la FDD.

2.2 Mod`eles existants permettant de d´ecrire la propagation spatiale 21

qui g´en´eralise la fonction exponentielle (c= 1)

h(x, y) = ¹

2πb2 exp(−r/b),

la fonction de Weibull

h(x, y) = ^{c r}

c−2

2πb ^exp

−^r

c

b

qui g´en´eralise la fonction gaussienne (c= 2 etσ²=b/2)

h(x, y) = ¹

2πσ2 exp(−r²/2σ²),

o`u b et c sont des param`etres strictement positifs. Les diff´erents mod`eles qui ont pu ˆetre

propos´es varient selon le type de la d´ecroissance (d´ecroissance `a l’origine plus ou moins forte,

queue de distribution plus ou moins lourde). L’id´ee est que les caract´eristiques physiques de

la spore (ou de l’amas de spores dans le cas de la rouille jaune) jouent sur la d´ecroissance

de la FDD.

Bien que Minogue (1989) pr`ete aux FDD exponentielle et loi-puissance des interpr´etations

physiques, bien que Bicout and Sache (2003) montrent que la FDD exponentielle peut

ˆetre d´eriv´ee, sous certaines conditions, du comportement des spores dans l’atmosph`ere, ces

formes param´etriques ont d’abord ´et´e choisies pour leur simplicit´e math´ematique. On parle

de mod`eles empiriques. Notons que toutes les FDD pr´ec´edentes sont des fonctions isotropes.

Les mod`eles suivants permettent d’introduire de l’anisotropie dans la fonction de dispersion.

Mod`eles quasi-m´ecanistes pour la FDD

Tufto et al. (1997), Stockmarr (2002), Klein et al. (2003) et Bicout and Sache (2003)

proposent des mod`eles param´etriques pour la FDD qui sont d´eriv´es analytiquement de

mod`eles quasi-m´ecanistes7 d´ecrivant le comportement de particules (e.g. de spores) dans

l’atmosph`ere. Ces mod`eles sont dits quasi-m´ecanistes car seuls les m´ecanismes majeurs

auxquels sont soumises les particules sont pris en compte. Par exemple, les mouvements

des spores sont mod´elis´es par des mouvements browniens tridimensionnels avec tendances8

(drifts), et les temps de d´eposition des spores sont mod´elis´es par des temps d’arrˆet⁹. Ne

prendre en compte que les m´ecanismes majeurs permet d’obtenir une fonction de dispersion

ne contenant que peu de param`etres (`a peu pr`es autant que les mod`eles empiriques). Ainsi,

sous certaines hypoth`eses, Tufto et al. (1997) obtiennent la fonction de dispersion suivante

h(x, y) = ¹

2πr√_γ exp







1

(τ_xx+τ_yy)γ − ¹

γ ⁺

τ_x²

γ2 +^τ

2

y

γ2

!1/2

r





^,

o`ur=p

x2+y2etγ,τ_xetτ_y sont des param`etres fonctions des tendances des mouvements

browniens et de la loi du temps de d´eposition des spores. Dans l’´equation ci-dessus, le

premier terme dans l’exponentielle permet de mod´eliser une anisotropie de la dispersion.

7 La formulation est sugg´er´ee par Klein et al. (2003).

8 Les tendances servent `a d´ecrire l’effet moyen du vent horizontal ou la gravit´e.

9 Le temps d’arrˆet peut ˆetre le moment o`u la trajectoire de la particule rencontre une hauteur donn´ee (la

hauteur des ma¨ıs femelles dans Klein et al. (2003)).

Mod`eles physiques ou m´ecanistes pour la FDD

McCartney and Fitt (1985) et Aylor (1990) pr´esentent trois mod`eles physiques ou

m´ecanistes : le mod`ele de panache gaussien, le mod`ele gradient-diffusion et le mod`ele

la-grangien de marche al´eatoire, qui peuvent ˆetre utilis´es pour d´ecrire la dispersion (lib´eration,

transport et d´epˆot) des spores. Les deux premiers mod`eles correspondent `a l’approche

eul´erienne : l’´evolution dans le temps de la concentration de spores est d´ecrite en tout

point de l’espace. Le dernier mod`ele correspond `a l’approche lagrangienne : les trajectoires

des spores dans l’atmosph`ere sont d´ecrites. Ces mod`eles d´etaillent nombre de m´ecanismes

auxquels sont soumises les spores. Leurs param`etres ont un sens physique et sont mesur´es

exp´erimentalement. Les FDD d´eriv´ees de ces mod`eles physiques ont soit des expressions

ana-lytiques tr`es lourdes avec de nombreux param`etres, soit des formes num´eriques obtenues

par simulation (Klein et al., 2003).

Dans le document Spécifier un processus caché non modélisé en déterminant le lien asymptotique entre résidus et processus caché. Application à l'analyse de la variabilité dans les expériences de propagation des rouilles du blé (Page 34-37)