Mod`eles `a gradient

f (x) =

Z

Ω

ω(x, s)f (s)ds (1.35)

o`u ω(x, s) est une fonction de pond´eration d´ependant du point consid´er´e.

Cette fonction de pond´eration est tr`es souvent prise ´egale `a une gaussienne : ω(x, s) = exp  −||x − s||2 2`2 c  (1.36)

La longueur `c correspond `a la longueur caract´eristique du mod`ele non-local.

L’un des inconv´enients de ce type de technique de r´egularisation est que le mod`ele non-local est tr`es sensible au choix de la fonction de pond´eration ω [Planas et al., 1993].

En outre, le choix de la longueur caract´eristique est loin d’ˆetre ais´e et constitue

un point cl´e de la m´ethode dans la mesure o`u c’est pr´ecis´ement cette longueur qui

caract´erise la taille du voisinage « d’influence » d’un point donn´e.

D’autre part, l’implantation num´erique de tels mod`eles est loin d’ˆetre triviale et n´ecessite des modifications importantes de l’architecture globale du code de calcul. En effet, en raison du caract`ere non-local du mod`ele, les quantit´es en un point ne peuvent ˆetre connues que par l’interm´ediaire de la connaissance de ces mˆemes quan-tit´es dans le voisinage du point consid´er´e, voisinage dont la taille est ind´ependante de la taille des ´el´ements. Ainsi, si dans le cas de mod`eles continus locaux, le compor-tement peut ˆetre calcul´e localement au niveau de chaque point d’int´egration, dans le cas des mod`eles non-locaux, les ´el´ements doivent pouvoir « communiquer » les uns avec les autres, de fa¸con `a correctement ´evaluer les quantit´es non-locales.

1.2.5 Mod`eles `a gradient

Deux types de mod`eles `a gradient ont ´et´e d´evelopp´es : – la th´eorie du second gradient ;

– les mod`eles `a gradient de variables internes.

La th´eorie du second gradient

Il s’agit d’intervenir dans ce cas, d`es l’´ecriture des ´equations d’´equilibre, en sup-posant que la puissance des efforts int´erieurs d´epend non seulement du taux de d´eformation mais ´egalement du gradient de la vitesse. Ainsi, la micro-structure sous-jacente `a chaque point mat´eriel est prise en compte par l’introduction d’une cin´e-matique enrichie. En un point du domaine Ω consid´er´e, les variables cin´ecin´e-matiques consid´er´ees sont :

– le taux de d´eformation : ˙ε = ∇sv (premier gradient des vitesses) ;

– le gradient des taux de d´eformation : ∇∇v (second gradient des vitesses). `

A chacun de ces champs sont associ´es des champs duaux, respectivement : – le tenseur des contraintes : σ ;

1. Ph´enom`enes de localisation : limites et extensions des mod`eles continus locaux

– un tenseur de contraintes d’ordre 3 : τ . La puissance des efforts int´erieurs s’´ecrit alors :

Pint= −

Z

Ω(σ : ˙ε + τ : ∇∇v) dΩ (1.37)

L’application du principe des puissances virtuelles permet alors d’´ecrire l’´equa-tion d’´equilibre local sous la forme (en statique) :

div σ − div div τ + b = 0 (1.38)

Les conditions aux limites en effort se trouvent ´egalement modifi´ees, elles s’´ecrivent : (σ − div τ ) · n = h

τ · n = m ^(1.39)

o`u m est une densit´e surfacique de moment.

Les fondements th´eoriques de ces mod`eles ont ´et´e jet´es par Toupin [Toupin, 1962] et Mindlin [Mindlin, 1964] et repris par Germain [Germain, 1973] qui ´etend l’application du principe des puissances virtuelles aux gradients d’ordre sup´erieur. Ainsi, le mod`ele est ´ecrit dans un cadre thermodynamique rigoureux. Il est `a noter que les mod`eles de Cosserat pr´esent´es pr´ec´edemment peuvent ˆetre interpr´et´es comme un cas particulier de la th´eorie du second gradient pour lequel seulement certains gradients des vitesses sont retenus. L’essentiel des travaux r´ealis´es dans ce cadre traitent de comportements adoucissants hyper´elastiques [Triantafyllidis et A¨ıfantis, 1986]. Cependant, peu de travaux concernent l’utilisation de tels mod`eles dans le cadre de comportements an´elastiques [Chambon et al., 2001].

S’appuyant sur le cadre thermodynamique strict propos´e par Germain, Fr´emond et Nedjar [Fr´emond et Nedjar, 1996] ont ´etendu la th´eorie du second gradient aux mod`eles d’endommagement : l’endommagement est repr´esent´e par un d´eplacement microscopique consid´er´e comme li´e `a l’endommagement du mat´eriau. D’autres au-teurs ont d´evelopp´e des mod`eles comparables s’appuyant sur l’introduction de l’´evo-lution de la porosit´e du milieu [Pijaudier-Cabot et Burlion, 1996], souvent dans un cadre thermodynamique moins rigoureux que celui propos´e initialement par Ger-main. Dans tous les cas, les ´equations sont r´egularis´ees par l’enrichissement de la cin´ematique.

L’inconv´enient de tels mod`eles r´eside dans l’´ecriture des conditions aux limites qui sont difficiles `a ´evaluer. En outre, l’implantation num´erique n´ecessite l’utilisation d’EF adapt´es pour lesquels la prise en compte du second gradient des vitesses est rendue possible. Cela a pour cons´equence d’alourdir les calculs r´ealis´es avec ce type de m´ethodes.

Les mod`eles `a gradient de variables internes

Dans ce cas, il s’agit de r´egulariser le probl`eme en ajoutant dans les ´equations du mod`ele, le gradient des variables internes. Parmi ces approches `a gradient de variables internes, on peut distinguer deux cat´egories :

1.2. Extension des mod`eles locaux : traitement de la non-objectivit´e – les mod`eles `a gradient implicites.

Les mod`eles `a gradient explicites :

Dans ce cas, il s’agit d’introduire directement le gradient de certaines variables internes dans les ´equations constitutives et lois d’´evolution du mod`ele. Ce type de mod`ele peut ˆetre interpr´et´e comme le sym´etrique des mod`eles non-locaux, pr´esent´es pr´ec´edemment, par rapport aux mod`eles continus locaux classiques. En effet, alors que dans le cas des mod`eles non-locaux il s’agit de remplacer, dans les ´equations du mod`ele, les variables internes par leur convolution sur un voisinage spatial donn´e, dans le cas des mod`eles `a gradient, il s’agit d’introduire dans les ´equations du mod`ele, les d´eriv´ees spatiales de ces mˆemes variables internes.

Cette approche a ´et´e, dans un premier temps, d´evelopp´ee dans le cadre de la plasticit´e `a ´ecrouissage n´egatif [Muhlhaus et A¨ıfantis, 1991], [de Borst et Muhlhaus, 1992].

Pour ce type de mod`ele, le Laplacien de la variable d’´ecrouissage (d´eformation plastique cumul´ee) est introduit dans la d´efinition du seuil de plasticit´e. En notant ξ la variable d’´ecrouissage et q sa variable duale, le seuil de plasticit´e s’´ecrit :

σseuil(ξ) = σy − q(ξ) = σy+ K(ξ + `²∆ξ) (1.40)

o`u ∆ note le Laplacien et ` est une longueur caract´eristique.

Avec ce type d’expression pour le seuil de plasticit´e, la condition de coh´erence va s’´ecrire sous la forme d’une ´equation diff´erentielle du second ordre. Se pose alors le probl`eme de la d´efinition des conditions aux limites : il est, en effet, difficile de d´eterminer les fronti`eres de la zone de localisation sur lesquelles sont d´efinies les conditions aux limites de l’´equation diff´erentielle. D’autre part, la pr´esence des gradients d’ordre 2 des variables internes dans les ´equations rend l’implantation num´erique du mod`ele peu ais´ee.

Il est `a noter que ce type de m´ethode de r´egularisation ne modifie les ´equations du mod`ele continu classique que lorsque la localisation a ´et´e d´etect´ee : tant que les d´eformations plastiques restent homog`enes dans la structure, ∆ξ reste nul ce qui conduit aux ´equations classiques.

Les mod`eles `a gradient implicites :

Ces mod`eles ont ´et´e initialement d´evelopp´es dans le cadre de l’endommagement, [Peerlings et al., 1996]. Il s’agit, dans ce cas, non pas d’introduire directement le gradient des variables internes dans les ´equations mais de d´efinir `a partir des variables locales, des variables « non-locales » solutions d’une ´equation diff´erentielle du second ordre.

Dans le cas du mod`ele `a gradient d’endommagement d´evelopp´e par Peerlings [Peerlings et al., 1996], la force thermodynamique associ´ee `a l’endommagement, Y ,

est remplac´ee par ¯Y d´efinie comme la solution de :

   ¯ Y − `²∆ ¯Y = Y dans Ω ∂ ¯Y ∂n ^{= 0 sur ∂Ω} (1.41)

1. Ph´enom`enes de localisation : limites et extensions des mod`eles continus locaux

` est une longueur caract´eristique, elle permet la r´egularisation des ´equations et la d´efinition d’une taille de zone de localisation.

Comme cela a ´et´e montr´e par Peerlings [Peerlings et al., 2001], ces mod`eles sont proches des mod`eles non-locaux. Ils sont, en fait, ´equivalents si la fonction de pond´eration introduite dans la convolution pour les mod`eles non-locaux ω est prise ´egale `a la fonction de Green.

Ces mod`eles ont ´et´e plus r´ecemment repris pour d´ecrire la localisation de la d´eformation dans le cas de la plasticit´e [Lorentz, 1999], [Engelen et al., 2003].

L`a encore, se pose le probl`eme du traitement des conditions aux limites.