Un essai de cisaillement simple

L’essai pr´esent´e ici est un test de cisaillement simple en d´eformations planes. La g´eom´etrie consid´er´ee est un rectangle de 200 mm de long, 100 mm de haut et d’´epaisseur unitaire. Les param`etres utilis´es pour les mod`eles continus et discrets sont donn´es dans le tableau 4.4.

Mod`ele continu

Module d’Young 210 GPa

Coefficient de Poisson 0.4999 ¯ σy 0.55 GPa ¯ σ∞ 0.75 GPa ¯ β 200 ¯ K -1.8 GPa

Param`etre de la loi discr`ete ¯¯

K -0.05 GPa/mm

Tableau 4.4: Param`etres des mod`eles continus et discrets

La loi d’´ecrouissage utilis´ee pour le mat´eriau hors discontinuit´e est, comme dans le cas pr´ec´edent, une loi d’´ecrouissage avec saturation telle que le module d’´ecrouis-sage prenne initialement des valeurs positives et ´evolue, de fa¸con monotone, vers des valeurs n´egatives.

Notons que le mat´eriau consid´er´e est suppos´e quasi-incompressible (ν ' 0.5). Ceci nous permettra de tester l’efficacit´e de l’utilisation combin´ee de la m´ethode B-bar et de l’approche `a discontinuit´e.

Par ailleurs, afin de tester le caract`ere r´egularisant de l’approche, le calcul est men´e pour deux maillages diff´erents (l’un comportant environ 130 ´el´ements - le maillage a - l’autre compos´e d’environ 380 ´el´ements - le maillage b). Les conditions aux limites du calcul ainsi que les deux maillages consid´er´es sont repr´esent´es sur la figure 4.5. Afin de contrˆoler le passage de la structure dans le r´egime adoucissant de son comportement, le calcul est men´e en d´eplacements impos´es. La r´eponse de la structure, pour les deux maillages consid´er´es, est donn´ee `a la figure 4.6 en terme d’effort mesur´e (par unit´e d’´epaisseur) sur le bord sup´erieur de la barre en fonction du d´eplacement impos´e. La courbe de r´eponse pour les deux maillages consid´er´es permet de conclure `a l’objectivit´e de la solution vis `a vis de la discr´etisation EF : les courbes de r´eponse sont quasi-identiques ; l’´evaluation de la charge limite ultime et de l’´energie dissip´ee donnent, dans les deux cas, les mˆemes r´esultats.

La figure 4.6 permet, ´egalement, de mettre en avant l’efficacit´e de l’utilisation coupl´ee de la m´ethode B-bar et de l’approche `a discontinuit´e : aucun ph´enom`ene de blocage propre aux probl`emes quasi-incompressibles n’est observ´e (ici essentielle-ment dans la phase post-pic du comporteessentielle-ment, l’efficacit´e de la m´ethode B-bar n’est plus `a d´emontrer pour les probl`emes classiques).

Comme dans l’essai de cisaillement pur pr´ec´edent, la courbe de r´eponse pr´esente trois phases relativement distinctes. En revanche l’interpr´etation de ces trois phases est modifi´ee par l’effet de structure intervenant dans cet essai de cisaillement simple :

4.1. Cas de la rupture ductile : mod`ele de plasticit´e U

U

maillage a maillage b

Figure 4.5: Essai de cisaillement simple : conditions aux limites et maillages consid´er´es 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 F (kN/mm) U (mm) maillage a maillage b a sans Bbar A ^B

Figure 4.6: Essai de cisaillement simple : r´eponse effort/d´eplacement

– la premi`ere phase correspond `a la r´eponse ´elastique de la structure ;

– la deuxi`eme phase voit, dans un premier temps, la plastification diffuse ´evoluer dans la structure de fa¸con non homog`ene. Cette phase uniquement caract´eris´ee

4.Mod`eles de rupture et implantation num´erique : cas de la rupture ductile et fragile

par de la dissipation volumique se poursuit jusqu’`a ce que le crit`ere de localisa-tion soit atteint dans un ´el´ement (points A et B sur la figure 4.6). Une disconti-nuit´e est alors introduite dans cet ´el´ement. Notons que, `a ce stade, la structure n’a pas encore atteint le point limite de la courbe effort/d´eplacement (figure 4.6). La plastification diffuse se poursuit dans la structure, simultan´ement la plastification localis´ee se d´eveloppe le long de la surface de discontinuit´e in-troduite. Au fur et `a mesure de l’augmentation du d´eplacement impos´e, le crit`ere de localisation est atteint dans les ´el´ements voisins de celui dans lequel elle s’est initi´ee. Les surfaces de discontinuit´e se propagent ainsi, de proche en proche, `a travers la barre. Durant cette phase du comportement coexistent les deux types de dissipation : certaines zones sont domin´ees par des ph´enom`enes de dissipation volumique alors que d’autres sont le si`ege de ph´enom`enes de dissipation localis´ee.

– la troisi`eme phase du comportement est entam´ee d`es lors que la barre est travers´ee de part en part par des surfaces de discontinuit´e. La r´eponse de la barre entre alors dans son r´egime adoucissant ; le glissement le long des surfaces de discontinuit´e s’intensifie. Si une d´echarge est entreprise au cours de cette phase, cette derni`ere se fait en suivant une pente correspondant au module ´elastique et fait apparaˆıtre un d´eplacement irr´eversible. Ce dernier est li´e au d´eveloppement de la plastification diffuse mais ´egalement au glissement irr´eversible install´e sur les surfaces de discontinuit´e.

Les figures 4.7 et 4.8 donnent l’orientation et la position des surfaces de discon-tinuit´e introduites pour chacun des deux maillages.

Figure 4.7: Lignes de discontinuit´e pour le maillage a

Figure 4.8: Lignes de discontinuit´e pour le maillage b

Les figures 4.9 et 4.10 repr´esentent, sur la configuration d´eform´ee, les champs de d´eplacement dans la direction x, pour les deux maillages, en fin de test soit pour un d´eplacement impos´e U = 3.6 mm.

4.1. Cas de la rupture ductile : mod`ele de plasticit´e Ces figures permettent de mettre en ´evidence le fort gradient de d´eplacement s’installant dans la bande d’´el´ements localis´es. Le d´eplacement impos´e est repris en quasi-totalit´e par la rang´ee d’´el´ements dans lesquels les surfaces de discontinuit´e ont ´et´e introduites. Le reste de la structure se d´echarge au fur et `a mesure que le d´eplacement impos´e croˆıt.

−3.00E+00 −2.40E+00 −1.80E+00 −1.20E+00 −6.00E−01 1.67E−16 6.00E−01 1.20E+00 1.80E+00 2.40E+00 3.00E+00 −3.60E+00 3.60E+00 DISPLACEMENT 1 Min = −3.60E+00 Max = 3.60E+00 Time = 3.60E+00 Time = 3.60E+00 −3.00E+00 −2.40E+00 −1.80E+00 −1.20E+00 −6.00E−01 1.67E−16 6.00E−01 1.20E+00 1.80E+00 2.40E+00 3.00E+00 −3.60E+00 3.60E+00 DISPLACEMENT 1 Min = −3.60E+00 Max = 3.60E+00 Time = 3.60E+00

Figure 4.9: Champs de d´eplacement dans la direction x en fin de test pour le maillage a Time = 3.60E+00 −3.00E+00 −2.40E+00 −1.80E+00 −1.20E+00 −6.00E−01 1.67E−16 6.00E−01 1.20E+00 1.80E+00 2.40E+00 3.00E+00 −3.60E+00 3.60E+00 DISPLACEMENT 1 Min = −3.60E+00 Max = 3.60E+00 Time = 3.60E+00

Figure 4.10: Champs de d´eplacement dans la direction x en fin de test pour le maillage b

4.Mod`eles de rupture et implantation num´erique : cas de la rupture ductile et fragile