Mod` eles d´ evelopp´ es pour les simulations

Nous avons d´evelopp´e des mod`eles du portique `a l’aide de trois logiciels d’analyse dynamique non-lin´eaire : Ruaumoko permet de d´efinir des mod`eles de structure o`u les non-lin´earit´es sont concentr´ees dans des zones pr´ed´efinies, Perform3D a ´et´e d´evelopp´e dans la logique des m´ethodes d’analyse sismique bas´ees sur la performance et offre la possibilit´e de recourir `a des ´el´ements multifibres, Vector2 est un logiciel de calculs par ´el´ements finis pour l’analyse des structures en b´eton arm´e bas´e sur la “Modified Compression Field Theory”.

4.2.1 Mod`ele `a plasticit´e concentr´ee

Les mod`eles construits avec le logiciel Ruaumoko [Car04] (figure 2.5a) sont bas´es sur des ´el´ements de poutre (ou poteau) avec des rotules plastiques concentr´ees `a

Fig. 2.4: Excitation sismique : (a) acc´el´erations mesur´ees sur la table vibrante, (b) spectre de r´eponse ´elastique (calcul´e avec 5% d’amortissement critique). leurs extr´emit´es et dont la longueur est calcul´ee en fonction de la g´eom´etrie des sec-tions (demie hauteur entre des cadres d’acier transversaux). Une version modifi´ee du mod`ele de Takeda (« Q-HYST degrading rule », figure 2.5b) a ´et´e utilis´ee pour repr´esenter la loi de r´eponse moment-courbure des rotules plastiques. La courbe enveloppe de cette loi de comportement hyst´er´etique a ´et´e obtenue `a partir du logi-ciel d’analyse de sections planes Response2000 [Ben01]. Conform´ement aux normes canadiennes sur le b´eton [Canadian concrete standard CSA 1994], afin de prendre en compte la fissuration due au poids propre et aux charges de service au d´ebut des analyses sismiques, le moment d’inertie des sections de poutre est r´eduit `a 40% du moment d’inertie des sections non-fissur´ees et le moment d’inertie des sections de poteaux `a 70% de sa valeur non-fissur´ee [Fil98b]. `A chaque nœud d’ossature, les connections entre ´el´ements de poutres et de poteaux sont mod´elis´ees `a l’aide d’extr´emit´es infiniment rigides dont la longueur correspond `a celle de la partie en-castr´ee dans l’´el´ement adjacent, afin de prendre en compte l’augmentation de rigidit´e au niveau des nœuds d’ossature. Le logiciel Ruaumoko permet d’utiliser les mod`eles d’amortissement global forfaitaire C_[1] et C(t)_[2].

4.2.2 Mod`ele avec ´el´ements multifibres

Un autre mod`ele a ´et´e construit `a partir d’´el´ements multifibres d´efinis dans le logiciel de calculs non-lin´eaires Perform3D [CSI07]. Les sections des diff´erents composants du portique ont ´et´e divis´ees en 6 couches de b´eton et d’acier pour les poteaux et en 8 couches pour les poutres. Une loi de comportement non-lin´eaire a ´et´e associ´ee `a chacun des mat´eriaux ; la figure 2.6a montre celle adopt´ee pour le b´eton. Le maillage est identique `a celui de la figure a. Nous appelons Perform3D 1 le mod`ele

Fig. 2.5: Mod`ele avec plasticit´e concentr´ee : (a) g´eom´etrie, (b) mod`ele de r´eponse structurelle in´elastique de Takeda modifi´e.

de structure pour lequel une loi de b´eton non-confin´e est donn´ee `a toutes les fibres de b´eton et o`u 5 points d’int´egration num´erique ont ´et´e consid´er´es ; et nous appelons Perform3D 2 le mod`ele de structure pour lequel une loi de b´eton confin´e a ´et´e donn´ee aux fibres de b´eton qui se trouvent `a l’int´erieur des cadres d’acier transversaux et une loi de b´eton non-confin´e aux autres fibres (figure 2.6b) et seulement 2 point d’int´egration num´erique ont ´et´e consid´er´es. Les connexions `a chaque nœud indiqu´e sont mod´elis´ees par des zones rigides aux extr´emit´es des poteaux et des poutres : ces zones ont une longueur ´egale `a la profondeur d’encastrement de l’´el´ement dans l’´el´ement voisin et ont une rigidit´e 10 fois sup´erieure `a celle des autres sections de l’´el´ement.

Fig. 2.6: Mod`ele avec ´el´ements de poutres multifibres : (a) g´eom´etrie, (b) mod`ele de b´eton, (c) fibres confin´es et non-confin´es.

Aucun des mod`eles d’amortissement global forfaitaire C[1]et C(t)[2]n’est disponi-ble pour les ´el´ements multifibres de Perform3D, mais une m´ethode pour ajouter de l’amortissement de type Rayleigh est pr´econis´ee dans le manuel d’utilisation du logiciel [CSI07]. Afin de contrˆoler les modes pr´epond´erants, la proc´edure est bas´ee

sur l’identification des coefficients de Rayleigh `a partir de deux p´eriodes TA etTB que le manuel pour utilisateur conseille – afin de contrˆoler l’amortissement pour un intervalle de p´eriode pertinent – de calculer ainsi : T<sub>A</sub> = 0, 25T<sub>1</sub> et T<sub>B</sub> = 0, 9T<sub>1</sub> o`u T1 est la p´eriode fondamentale de la structure ´elastique. En effet, les premiers modes correspondent aux p´eriodes les plus grandes et – afin de contrˆoler l’amor-tissement dans un intervalle de p´eriodes assez large – il est pr´ef´erable d’identifier les coefficients de Rayleigh `a partir d’une p´eriode plus petite que T1. Dans le logiciel Perform3D, la matrice d’amortissement de Rayleigh est calcul´ee `a partir de la ma-trice de raideur initiale K₀ et ensuite gard´ee constante pendant toute la dur´ee de l’analyse. Cette m´ethode peut g´en´erer des forces d’amortissement trop importantes pour ˆetre r´ealistes dans les fibres de b´eton dont la rigidit´e diminue beaucoup, comme c’est le cas en traction apr`es fissuration. Afin d’´eviter ce probl`eme, une valeur r´eduite de K0 est calcul´ee dans Perform3D en ne consid´erant que 15% de l’aire du mat´eriau b´eton dans les sections de l’´el´ement multifibre. De plus, en raison de la d´egradation de la raideur, les p´eriodes propres de la structure augmentent et il est donc conseill´e de calculer les p´eriodes TAet TB en prenant en compte le fait que, pour une ductilit´e donn´ee µ, la p´eriode est susceptible d’ˆetre multipli´ee par le facteur √µ au cours de l’´evolution de la structure.

Dans cette ´etude pratique, nous d´efinissons deux mod`eles d’amortissement global forfaitaire de type Rayleigh que nous ´ecrivons C<sub>[F 1]</sub> et C<sub>[F 2]</sub>. C<sub>[F 1]</sub> est d´efini de sorte que le pourcentage d’amortissement critique soit d´etermin´e `a partir des deux premi`eres p´eriodes propres T1 = 0, 262 s et T2 = 0, 093 s, sans prendre en compte le fait que les p´eriodes propres de la structure sont susceptibles d’augmenter (`a la mani`ere du mod`ele C[1]). En cons´equence, nous choisissons d’entrer dans le logiciel les rapports suivants : ^TB

T1 = 1 et ^TA

T1 = T2

T1 = ^0,093_0,262 = 0, 355. Nous rappelons que le portique a ´et´e dimensionn´e pour une ductilit´e µ = 2, le second mod`ele d’amortisse-ment global C_{[F 2]} est donc d´efini en entrant dans le logiciel les rapports suivants : TB

T1 = 0, 9√

2 = 1, 273 et ^TA

T1 = 0, 25√

2 = 0, 354 afin de contrˆoler la valeur du pourcentage d’amortissement critique pour les modes pr´epond´erants et prendre en compte l’augmentation des p´eriodes propres au cours de l’analyse (`a la mani`ere du mod`ele C(t)[2]).

4.2.3 Mod`ele avec ´el´ements finis 2D

Vector2 [Won02, Saa07] est un logiciel de calcul par ´el´ements finis pour l’analyse des structures en b´eton arm´e initialement bas´e sur la “Modified Compression Field Theory”. La figure 2.7 montre le maillage du portique et la loi de comportement adopt´ee pour le b´eton. Les effets du confinement sur le comportement du b´eton sont pris en compte par le logiciel en fonction de la quantit´e des aciers [Saa07] ; la

liaison entre l’acier et le b´eton est suppos´ee parfaite. Vector2 permet d’utiliser le mod`ele d’amortissement global C[1]; notons qu’il est recommand´e dans [Saa07] de r´eduire l’amortissement global forfaitaire au minimum de sorte que le calcul soit encore stable.

Fig. 2.7: Mod`ele ´el´ements finis 2D : (a) g´eom´etrie, (b) mod`ele de b´eton non-confin´e.