Le mod` ele de Saint-Venant

Cette partie est bas´ee sur la dynamique des ´ecoulements peu profonds de fluides incompressibles newtoniens et donc autour d’´etude math´ematique des mod`eles de type Saint-Venant visqueux qui s’apparentent aux ´equations de Navier-Stokes de type com-pressibles barotropes avec viscosit´es non constantes. Une fois adimensionalis´e, plusieurs nombres sans dimension apparaissent comme le nombre de Reynolds, le nombre de Rossby et le nombre de Froude5. Les diff´erents ordres possibles de ces param`etres per-mettent alors diff´erentes asymptotiques. On retrouve par exemple les ´equations quasi-g´eostrophiques, les ´equations des lacs.

Les ´equations de Saint-Venant, publi´ees en 1871 (CRAS) sont d’une grande impor-tance en hydraulique maritime et fluviale. Elles r´egissent les ´ecoulements `a surface libre en eaux peu profondes (´equations d’ondes longues) d’o`u leur appellation anglaise : shal-low water equations. On suppose que les longueurs d’ondes sont grandes par rapport `a la profondeur :δ =H/Lest tr`es inf´erieur `a 1 o`uH est la hauteur caract´eristique etLla longueur caract´eristique donc on ne s’int´eresse pas aux ph´enom`enes avec de la houle. Si

δtend vers 0, alors les ´equations de Navier Stokes 3D donnent les ´equations de Prandtl, ´equations g´eostrophiques.

Le mod`ele math´ematique de Saint-Venant `a deux dimensions d’espace (2D) dans le plan horizontal d´ecoule de l’int´egration verticale de Navier-Stokes incompressible ho-mog`ene `a trois dimensions d’espace (3D) ([95]). Les ´equations de Saint-Venant visqueuses peuvent s’´ecrire dans Ω×[0, T]

   ∂_tH+ div(Hu) = 0, ∂_t(Hu) + div(Hu⊗u) +A_H(u) + ¹ Fr^2H∇H =Hf, ^(1.29)

La premi`ere ´equation est la conservation de la hauteur o`uuest la vitesse de l’eau,H∈_R+

est la hauteur d’eau `a la surface libre et Fr est le nombre de Froude. Pour le tenseur des contraintesAH, on aura selon le livre de Lions [83] (page 251) plusieurs possibilit´es :

• A_H(u) =−µH∆u •A_H(u) =−µ∆(Hu)

•A_H(u) =−µdiv(H∇u)

Du point de vue num´erique, le syst`eme (1.29) a ´et´e ´etudi´e avec ces trois choix de terme visqueux par<sub>Bernardi</sub> et<sub>Pironneau</sub> [36] o`u les auteurs s’int´eressent `a l’existence de solutions et `a la convergence d’algoritmes. Ils donnent aussi une d´erivation du mod`ele dans le cas o`u A_H(u) = −µH∆u. Du point de vue th´eorique, dans le cas o`u A_H(u) =

−µH∆uetH (la hauteur d’eau) ne s’annule pas, l’existence globale d’une solution faible de syst`eme (1.29) est ´etablit par _{P. Orenga} dans [93]. Pour les deux autres cas, i.e.

5. Le nombre de Froude est un nombre sans dimension qui caract´erise l’importance relative des forces d’inertie et de gravit´e

les cas o`u A_h(u) = −∆(Hu) et A_H(u) = −div(H∇u) (H peut s’annuler), l’histoire est diff´erente et n’entre donc pas dans la th´eorie de _{P.-L. Lions} introduit pour les fluides compressibles avec terme de dissipation de la forme

−µ∆(·)−(λ+µ)∇div(·),

o`u λ etµ sont des constantes de viscosit´e.

Le premier r´esultat d’existence globale de solutions faibles pour le mod`ele de Saint-Venant visqueux avec A<sub>H</sub>(u) = −2 div(HD(u) (qui est consistant d’un point de vue ´energ´etique) dans le tore Ω = T<sup>2</sup> est due `a _{D. Bresch} et _{B. Desjardins} dans [15], [16]. Notons que le r´esultat de_Breschet_Desjardinsest bas´e sur une nouvelle entropie math´ematique, nomm´ee BD entropie qui fait apparaˆıtre un gain de r´egularit´e sur la fonction h ce qui est totalement nouveau et permet par la mˆeme occasion de passer facilement `a la limite dans le terme de pression (alors que cela constituait la difficult´e essentielle pour le syst`eme de Navier-Stokes `a coefficients constants).

Cependant selon le choix des coefficients de viscosit´e, une nouvelle difficult´e entre en jeu, lorsque du vide apparaˆıt effectivement la vitesse u ne peut ˆetre d´efinie lorsque H

s’annule. On perd alors des renseignements sur ∇u. Cette difficult´e rend alors d´elicat le passage `a la compacit´e sur le terme div(Hu⊗u) l’on ne peut utiliser les r´esultats classiques de type Lions. Pour cela, <sub>Bresch</sub> et <sub>Desjardins</sub> ajoutent `a l’´equation de conservation de moment (1.29)₂ des termes de traˆın´ee de la forme

r₀u+r₁H|u|u,

avecr₀ etr₁ sont deux constantes positives afin de gagner une int´egrabilit´e sur la vitesse

uqui permet de passer `a la limite dans le terme convectif.

Il est ´egalement `a noter les travaux de_Melletet_Vasseur([88]) qui montrent com-ment se dispenser des termes de traˆın´ee en employant le multiplicateur (1 + ln(1 +|u|2))u

pour contrˆoler les termes r´esiduels et la nouvelle entropie math´ematique d´ecouverte par

Bresch et _Desjardins. Le r´esultat de _{Mellet, Vasseur} est un r´esultat de stabi-lit´e. Pour garantir un r´esultat final de solutions faibles, comme dans le cas de Bresch et Desjardins il est n´ecessaire de r´eussir a construire une solutions approches (H_n, u_n)_n∈_N

v´erifiant les diff´erentes in´egalit´es d’´energie (celle de Bresch-Desjardins et Mellet-Vasseur) et ceci est compliqu´e ´etant donn´e la complexit´e de deux in´egalit´es d’entropie et notam-ment celle induite sur la vitesse u. _Vasseur et _Yu ont r´eussi r´ecemment (2016) [111] a contourner cette difficult´e par construire une solution approch´e qui satisfait `a la fois l’estimation d’´energie de BD et l’in´egalit´e MV et donc un r´esultat d’existence globale d’une solution sans terme de train´ee.

Notons qu’une d´erivation rigoureuse du mod`ele de Saint Venant visqueux `a partir de mod`ele de 3D-Navier-Stokes incompressible a ´et´e ´etablit r´ecement par <sub>F. Marche</sub>dans [86] conduit `a un terme dissipatif de la forme

Cependant, une existence globale d’une solution pour ce syst`eme reste jusqu’`a maintenant un probl`eme ouvert puisque l’approche introduit par<sub>Bresch</sub>,<sub>Desjardins</sub>est am´elior´e par<sub>Mellet, Vasseur, Yu</sub> ne s’applique pas avec ce choix de terme de dissipation. Le lecteur `a ce stade peut voir l’article int´eressant de _{Vasseur, Yu} pour une revue sur le mod`ele de shallow-water visqueux.

De l’autre cot´e, soulignons que l’existence globale de solutions fortes a ´et´e trait´e dans [68], [109], [107], [114]._Wanget_Xur´ecemment (2005) travaillent dans des espaces de Sobolev d’indice s > 2 pour obtenir des solutions locales quel que soient les condi-tions initiales et globales pour des donn´ees petites. Ils utilisent la m´ethode d’´energie de

Matsumuraet_Nishida.

Faible nombre de Froude.Dans cette section, nous pr´esentons l’obtention du mod`ele des lacs visqueux `a partir du syst`eme de Saint-Venant visqueux (1.29) avec A_H =

−2µdiv(HD(u)). Ce passage fait l’objet du travail de _{Bresch, Gisclon} et _Lin [22]. Ils ont ´etablit alors, math´ematiquement, le lien entre des ´equations de Saint-Venant vis-queuses et des ´equations des lacs visqueuses utilis´ees pour simuler l’´ecoulement de fluides dans les grands lacs. Ici nous voulons pr´esent´e ce passage d’une mani`ere formelle et nous r´ef´erons le lecteur int´eress´e a [22] pour plus des d´etails.

Reprenons maintenant le mod`ele de Saint-Venant visqueux en une forme non-dimensi--onnelle (en gardant les grandeurs caract´eristiques et les nombres sans dimensions). Pr´ecis´ement, nous obtenons dans Ω×[0, T], le syst`eme suivant

   ∂_tH+ div(Hu) = 0, ∂t(Hu) + div(Hu⊗u) +H∇H F r2 = ² Re^div(HD(u)), (1.30)

Nous consid´erons alors que Re est fix´e et nous posons F r = ε. Nous d´eveloppons les variables en puissances deε en utilisant le d´eveloppement de Taylor

H =H⁰ +εH¹+. . . , u=u⁰ +εu¹ +. . . .

Nous mettons ces expressions dans les ´equations (1.30). Au premier ordre, l’´equation de la conservation de la quantit´e de mouvement s’´ecrit

H⁰∇(H⁰+b) = 0.

DoncH⁰+b est une constante par rapport aux variables d’espaces, H⁰+b=f(t).

Nous reportons cette ´egalit´e dans l’´equation (1.30)₂ au premier ordre

f⁰(t) + div((f−b)u⁰) = 0,

et nous l’int´egrons en espace en consid´erant que nous avons des conditions aux bords p´eriodiques. Nous obtenons f⁰(t) = 0 et donc f(t) est constante, donn´ee par la valeur initiale deh0−b. Nous pouvons supposer que cette valeur est ´egale `a 1, et donc

Nous pouvons alors remarquer que l’´equation (1.30)₂ au premier ordre se simplifie en : div(H⁰u⁰) = 0.

Nous ´ecrivons ensuite l’´equation (1.30)₁ au second ordre, nous obtenons

∂_t(H⁰u⁰) + div(H⁰u⁰⊗u⁰) = −H⁰∇H¹+ ²

Re^div(H

0D(u⁰)). (1.31)

En r´esum´e, le mod`ele des lacs visqueux s’´ecrit dans Ω×[0, T] (nous rempla¸cons H0 par

b juste pour simplifier la notation)

   div(bu0) = 0, ∂_t(bu0) + div(bu0⊗u0) +b∇h1 = ² Re^div(bD(u 0)), ^(1.32)

Remarque : Notons que la convergence entre le mod`ele de Saint-Venant (1.30) et les ´equations des grands lacs (1.32) est ´etablit seulement dans le cas d’un domaine p´eriodique pour lequel la fonction h et la vitesse u sont suppos´ees p´eriodiques en espace. En plus, la fonctionh est suppos´ee converger vers une fonction b ind´ependant du temps de sorte queb(x)>0 pour tout x∈Ω et ceci due au choix d’une fonction test astucieuse du type^¯

∇ln(h/b). L’extension d’un tel r´esultat au cas d´eg´en´er´e est un probl`eme math´ematiques important. Des travaux restants `a faire `a ce stade par exemple sont multiples : consid´erer le cas de donn´ees mal pr´epar´ees permettre au fond b de s’annuler, traiter le cas born´e dans la convergence de shallow-water vers les ´equations des lacs.