Le mod` ele des lacs

  div(bu0) = 0, ∂_t(bu0) + div(bu0⊗u0) +b∇h1 = ² Re^div(bD(u 0)), ^(1.32)

Remarque : Notons que la convergence entre le mod`ele de Saint-Venant (1.30) et les ´equations des grands lacs (1.32) est ´etablit seulement dans le cas d’un domaine p´eriodique pour lequel la fonction h et la vitesse u sont suppos´ees p´eriodiques en espace. En plus, la fonctionh est suppos´ee converger vers une fonction b ind´ependant du temps de sorte queb(x)>0 pour tout x∈Ω et ceci due au choix d’une fonction test astucieuse du type^¯

∇ln(h/b). L’extension d’un tel r´esultat au cas d´eg´en´er´e est un probl`eme math´ematiques important. Des travaux restants `a faire `a ce stade par exemple sont multiples : consid´erer le cas de donn´ees mal pr´epar´ees permettre au fond b de s’annuler, traiter le cas born´e dans la convergence de shallow-water vers les ´equations des lacs.

1.3.2 Le mod`ele des lacs

Cette section est d´edi´ee `a l’analyse du syst`eme d’´equations des lacs. En premier temps, nous donnons les r´esultats connues dans le cas du mod`ele des lacs visqueux non d´eg´en´er´ee. Apr`es, nous passons au mod`ele non visqueux o`u l’existence globale d’une solution forte dans le cas d´eg´en´er´e est demontr´e par_Bresch et_M´etivier dans l’ann´ee (2005) et par _{Lacave, Nguyen} et _Pausader (2012) (voir [24], [70]). Ensuite, nous signalons la difficult´e due au terme visqueux et nous donnerons `a la fin nos r´esultats.

Le mod`ele visqueux.Le but donc de cette section est de pr´esenter les r´esultats connues sur le mod`ele des lacs visqueux qui s’´ecrivent dans Ω×[0, T] comme suit

(

∂_t(bu^µ) + div(bu^µ⊗u^µ) +µA_b(u^µ) +∇p^µ= 0,

div(buµ) = 0, ^(1.33)

avecAb(·) est un op´erateur du second degr´e donn´e par l’une des expressions suivantes :

A_b(u^µ) =−2 div(bD(u^µ) +bdivu^µ_I) ou A_b(u^µ) =−b∆u^µ.

Navier-Stokes incompressible o`u l’existence d’une solution forte globale est connue. Le lecteur `a ce stade peut consulter les livres de_{R. Temam} et_{J.-L. Lions} [108], [82] pour plus d’informations.

Quand la hauteur d’eau b varie mais loin de z´ero, c.`a.d.

0< c₁ < b < c₂, 0< c₁, c₂ <∞, (1.34)

Levermore et al. ont d´emontr´e que le syst`eme (1.33) est bien pos´e ; i.e., pour une fonctionb et une condition initiale u<sup>µ</sup><sub>0</sub> suffisamment r´eguli`eres, le syst`eme (1.33) poss`ede une unique solution forte

u^µ∈L^∞(0, T;H²)∩C(0, T;V) ∂tu^µ∈L^∞(0, T;H)∩L²(0, T;V),

o`u V etH sont d´efinit par

V ={v ∈H_b¹(Ω), div(bv) = 0, v·n= 0, x∈Ω}, H ={v ∈L²_b(Ω), v·n= 0, x∈Ω}.

Notons ici l’espaceL²_b(Ω) est d´efinit comme dans le chapitre 2, c.`a.d.

v ∈L²_b(Ω)⇔ⁿv mesurable telle que

Z

Ω

|v|2b dx <∞^o,

mais commeb v´erifie (1.34) alors on peut ´ecrire

c₁kuk2

L2(Ω) ≤ kuk2 L2

b(Ω) ≤c₂kuk2 L2(Ω)

et donc les deux normes k · k_L2(Ω) et k · k_L2

b(Ω) sont ´equivalentes. La d´emonstration de r´esultat de_Levermoreet al.est bas´ee sur les r´esultats connues sur le mod`ele de Navier-Stokes incompressible. Plus pr´ecis´ement, comme b ne s’annule jamais, alors en suivant la mˆeme d´emarche que dans les ´equations de Navier-Stokes incompressible, les auteurs montrent que la solution est assez reguli`eres d`es que la condition initiale est r´eguli`ere. ´

Evidement quand b proche de z´ero, on n’a pas cette ´equivalence et dans ce cas, nous sommes confront´es `a introduire des espaces de Sobolev `a poids.

Le mod`ele non visqueux. En n´egligeant le terme visqueux (c.`a.d. prendre µ = 0) dans le mod`ele des lacs visqueux, nous obtenons le mod`ele des lacs non visqueux qui s’´ecrivent sous la forme suivante

(

∂_tu+ (u· ∇)u+∇p= 0,

div(bu) = 0, bu·n|∂Ω = 0 ^(1.35) Ce syst`eme a ´et´e obtenu par<sub>C. D. Levermore, M. Olivier</sub>et<sub>E.S. Titi</sub>([78]) `a partir du mod`ele 3D-Euler incompressible dans un bassin avec bathymetrie et surface libre. Il est facilement de voir que pour un fond plat, le mod`ele des lacs non visqueux se ram`ene au mod`ele d’Euler incompressible en dimension 2 (voir par exemple [85], [115] pour plus

des questions sur le mod`ele d’Euler incompressible). La proc´edure de la construction de la solution du syst`eme (1.35) suit l’approche de Yudovich pour Euler. En fait, en notant par ω_r =b⁻¹curlu la vorticit´e relative, nous pouvons d´emontrer facilement que le syst`eme liant la vitesse-vorticit´e s’´ecrit

   ∂_tω_r+u· ∇ω_r = 0, u=Kω_r, ω_r(0) =ωⁱⁿ. (1.36)

avecK l’op´erateur d´efini comme suit : pourωr donn´ee, on d´efinitu=Kωr =b⁻¹∇ψ o`u

ψ est la solution du syst`eme :

ω_r=b⁻1div(b⁻1∇ψ) dans Ω,

ψ = 0 sur ∂Ω, ^(1.37)

sugg´er´e par :

div(bu) = 0 bu·n|_∂Ω = 0.

Cas non d´eg´en´er´ee.En supposant 0< c ≤b <∞,suffisamment r´egulier, la th´eorieLp

(voir par exemple [1], [2]) pour les ´equations elliptiques nous donne l’estimation suivante

||ψ||_W2,p(Ω) ≤C p||curlu||_Lp(Ω) =C p||bω_r||_Lp(Ω). (1.38) Cette estimation permet les auteurs dans [78] de conclure l’existence et l’unict´e d’une solution forte globale tout en suivant la mˆeme d´emarche introduite dans [115]. Tout d’abord, un terme r´egularisant est ajout´e `a l’´equation comme dans le cas des ´equations d’Euler incompressible. On cherche alors une solution `a valeurs dans des espaces de di-mension infinie et on utilise un sch´ema de Galerkin pour l’approcher par des fonctions `

a valeurs dans des espaces de dimensions finie puis on utilise le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz pour les ´equations diff´erentielles ordinaires. Ensuite, on passe `a la limite dans la solution approch´ee pour trouver une solution du probl`eme initial. On utilise alors les estimations d’´energie du mod`ele pour parfaire la d´emonstration. On limite les d´etails dans cette partie parce qu’elle est plus simple que le cas d´eg´en´er´e pr´esent´e ci-dessous.

Cas d´eg´en´er´ee. C’est le cas o`u b s’annule sur le bord ∂Ω. Il est important de si-gnaler que le probl`eme (1.37) est maintenant de type elliptique d´eg´en´er´ee et la th´eorie introduite par_{S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg} ne nous servira pas `a chercher la r´egularit´e sur ψ pour un ω<sub>r</sub> donn´e. N´eanmoins, il est donc naturel de demander si sous certaines conditions `a savoir sur le comportement du poidsb proche du bord, est ce qu’on peut garder la r´egularit´e (1.38) pour le syst`eme (1.37) et donc prouver un th´eor`eme d’existence dans le cas d´eg´en´er´e.

En 2005, _{D. Bresch} et _{G. M´etivier} ont consid´er´e un domaine Ω et une fonction b

d´efinis de la mani`ere suivante

o`u ϕ est une fonction C^∞(Ω) tel que ∇ϕ 6= 0 et a est une constante positive. Dans ce cas, nous pouvons r´e´ecrire l’´equation (1.37)₁ sous la forme

−∆ψ+a∇ϕ· ∇ψ =ϕ^a+1ω dans Ω. (1.39) Notons que le cas o`u a = 1, c.`a.d b = ϕ, est le cas le plus naturel au sens physique. L’´equation (1.39) est une ´equation elliptique d´eg´en´er´ee. Les auteurs dans [24] d´emontrent la r´egularit´eL^p en se basant sur les estimations de Shauder de la solution de (1.39) et une analyse complexe de la fonction de Green associ´ee qui d´epend de la fonction d´eg´en´er´eeb. En utilisant cette estimation, les auteurs d´emontrent aussi l’existence et l’unicit´e d’une solution forte globale tout en suivant la mˆeme d´emarche comme que [78]. Ce r´esultat d´ecoule de la proc´edure de _Yudovich utilis´ee dans la construction de la solution de mod`ele d’Euler. Plus pr´ecis´ement, apr`es ´ecriture d’une ´equation qui d´ecrit la vorticit´e, on peut ajouter au dernier mod`ele une viscosit´e artificielle. Dans ce cas, l’existence d’une solution du dernier mod`ele est ´etablit en utilisant les mˆemes techniques que dans les ´equations de Navier-Stokes. Une fois la construction d’une solution est faite, on peut passer `a la limite en viscosit´e pour r´ecup´erer une solution du probl`eme de d´epart. Bien sˆur, il faut apr`es d´emontrer que la vitesseuexiste une fois on a calcul´eω.Nous soulignons que le point cl´e de la preuve est l’estimation (1.38).

Remarque. Notons que l’hypoth`ese :

b=ϕ^a, ϕ∈C^∞( ¯Ω), ∇ϕ6= 0,

n’est pas compatible avec le cas o`u b = dist(x, ∂Ω)<sup>α</sup>, α > 1. En fait, nous pouvons remarquer g´eom´etriquement que ce cas correspond `a un cusp (la d´eriv´ee de la fonction

b est z´ero au bord). Nous reviendrons plus tard dans le chapitre 2 sur ce point. Ici, nous voudrons juste mettre un lien entre le comportement de la fonction b pris par _Bresch,

M´etivier et celle que nous avons consid´er´e dans notre travail (voir Th´eor`eme 1.1).

Remarque. Un r´esultat int´eressent est ´etablit r´ecemment par_{Lacave, Nguyen,}

Pau-sader [70] o`u les auteurs ´etendent le r´esultat de <sub>Bresch, M´etivier</sub> vers le cas d’un domaine singulier. Cependant, dans ce cas les auteurs perdent l’unicit´e de la solution du mod`ele des lacs non visqueux parce que l’estimation (1.38) n’est plus valable.

Remarque. Nos r´esultats dans la section suivante autour des ´equations des lacs visqueux ne traitent que le cas o`u le domaine est r´egulier. Un travail que nous esp´erons faire dans le future proche est de reprendre les techniques introduites dans le papier [70] afin d’am´eliorer nos r´esultats vers un domaine singulier.