1−µ(D)−µ(Z)nD−nZ )[(µ(D)−µ(Z))−(nD−nZ)]∏n i=1
(µ(di) ndi
).
La deuxi`eme ´etape consiste `a d´eterminer la zoneZb={Z:L(Z)≥(L(Z′)∀Z′∈ Z}.
Remarque 3.2. Les expressions de L0 et L(Z) issues de la m´ethode pr´esent´ee par M. Kulldorff (donn´ees ponctuelles) et celles bas´ees sur les donn´ees latticielles sont, `a une constante pr`es, ´egales.
4.1.4 Test du rapport de vraisemblance
A la suite de la d´etermination du MLC, Z, sa significativit´e est test´ee au moyen d’un test deb rapport de vraisemblance qui pour expression :
λ= supZ∈Z,p>qL(Z, p, q)
suppL(p) =L(Zb) L0
Remarque 3.3. L0ne d´epend pas deZ. Aussi, le cluster le plus probable maximise `a la foisL(Z) et la statistique de testλ.
Remarque 3.4. L’expression deλest identique quel que soit le type de donn´ees : ponctuelles ou latticielles.
Remarque 3.5. Dans le cadre du mod`ele de Bernoulli, la distribution de λ ne poss`ede pas de forme analytique. Elle est approxim´ee au moyen de simulations de Monte Carlo sousH0.
4.2 Mod` ele de Poisson
4.2.1 Conditions d’application
Le mod`ele de Poisson s’applique uniquement aux donn´ees latticielles. Les donn´ees sont ainsi agr´eg´ees `a une unit´e spatiale (ex : iris, canton, d´epartement, etc.) et le nombre de cas au sein de chaque unit´e spatiale est distribu´e selon une loi de Poisson dont l’esp´erance est proportionnelle `a une mesure d’intensit´eµcaract´erisant la population sous-jacente de l’unit´e spatiale (ex : population du canton). Par ailleurs, ce type de mod`ele est conseill´e lorsque le nombre de cas est n´egligeable face `a la taille de la population sous-jacente.
4.2.2 Mod`ele
Consid´erons D un ensemble discret fix´e, D ⊂ R2, structur´e par un graphe de voisinageG = {D, A} et muni d’une matrice d’adjacence U = (uij) et d’une matrice de poids W = (wij). Soit X ={Xd, d∈D}un processus al´eatoire index´e parD={d1, d2, ...., dn} et `a valeurs dans l’espace d’´etatsE=N.
∀d∈D,Xd∼ P(pµ(d)) ouµ(d) correspond `a la population sous-jacente observ´ee `a la localisa-tiond. Par construction,
∀A⊂D ,µ(A) =∑
d∈A
µ(d), et par stabilit´e par la somme de la loi de Poisson
XA=∑
d∈A
Xd et XA∼ P(pµ(A)).
L’objectif est de tester l’hypoth`ese nulleH0 d’absence de cluster stipulant que dans l’ensemble de l’aire ´etudi´ee, le nombre attendu de cas dans chaque unit´e spatiale di, 1 ≤ i ≤n est ´egal `a
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4. PRINCIPAUX MODELES` 78/117
pµ(di), contre une hypoth`ese alternative, H1, supportant l’existence d’au moins une zone Z ∈ Z dans laquelle le nombre de cas attendus pour chaque unit´e spatiale est ´egal `apµ(di) et ´egal `aqµ(di)
`
a l’ext´erieur deZ,p > q. De mani`ere plus formelle, les hypoth`eses de test du mod`ele de Poisson sont les suivantes :
{H0 : p=q, XA∼ P(pµ(A)), ∀A⊂D
H1 : p > q, XA∼ P(pµ(A∩Z) +qµ(A∩Zc)), ∀A⊂D
Autrement dit, sous H1, le nombre de cas `a l’int´erieur de la zoneZ est distribu´e selon une loi de PoissonP(pµ(Z)) et, `a l’ext´erieur de la zone, selon une loi de PoissonP(qµ(Zc)), avecp > q.
4.2.3 Fonction de vraisemblance
Deux approches ´equivalentes vont ˆetre explicit´ees afin de d´efinir l’expression de la fonction de vraisemblance. La premi`ere, ´enonc´ee par [Kulldorff, 1997] n’est pas classique dans son explicitation car l’expression de d´epart qui permet de construire la fonction de vraisemblance n’est pas celle d’une loi de Poisson ordinaire. Nous proposons une deuxi`eme approche qui se base sur l’expression classique d’une fonction de vraisemblance de Poisson.
Approche de M. Kulldorff. Dans un premier temps, d´efinissons la probabilit´e d’observernD
cas surD de population sous-jacenteµ(D) :
P(XD=nD) = e−pµ(Z)−q(µ(D)−µ(Z))(pµ(Z) +q[µ(D)−µ(Z)])nD nD!
Dans un deuxi`eme temps, d´efinissons la fonction de densit´e de probabilit´e, f(di), qu’un cas soit observ´e au sein du site di, 1≤i≤n: SousH0 (i.e.p=q), la fonction de vraisemblance a pour expression :
L(p) =P(XD=nD)
SousH1 (i.e.p > q)), la fonction de vraisemblance s’´ecrit :
L(Z, p, q) =e−pµ(Z)+q(µ(D)−µ(Z))(pµ(Z) +q[µ(D)−µ(Z)])nD
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CHAPITRE 3. STATISTIQUES DE SCAN SPATIALES 79/117
L’objectif est de d´eterminer le MLC. Aussi, doit-on d´eterminer la zoneZb qui maximiseL(Z, p, q).
A l’instar du mod`ele de Bernoulli, ceci est r´ealis´e en deux ´etapes successives. La premi`ere consiste
`a maximiser la fonction de vraisemblance conditionn´ee en Z (i.e. d´eterminer les estimateurs de maximum de vraisemblance depet q). PosonsL(Z) telle que
L(Z) = sup
p>qL(Z, p, q). (3.2)
L(Z) atteint son maximum lorsque p= nZ/µ(Z) et q = (nD−nZ)/(µ(D)−µ(Z)). Aussi L(Z) peut s’´ecrire de la mani`ere suivante :
L(Z) = e−nD
Approche traditionnelle. En consid´erant les hypoth`eses du mod`ele nous pouvons ´ecrire, sous H0, que
∀di∈D, Xdi ∼ P(pµ(di)) etP(Xdi =ndi) = e−pµ(di)[pµ(di)]ndi ndi! ,
les Xdi ´etant consid´er´ees ind´ependantes. En cons´equence, la fonction de vraisemblance a pour expression En consid´erant le mod`ele sousH1, nous obtenons
∀di∈Z, Xdi∼ P(pµ(di)) etP(Xdi =ndi) = e−pµ(di)[pµ(di)]ndi ndi! ,
∀di∈Zc, Xdi ∼ P(qµ(di)) etP(Xdi =ndi) =e−qµ(di)[qµ(di)]ndi ndi! . En cons´equence la fonction de vraisemblance a pour expression
L(Z, p, q) =P
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4. PRINCIPAUX MODELES` 80/117 L(Z), d´efinie en (3.2) peut s’´ecrire de la mani`ere suivante :
L(Z) = max
La derni`ere ´etape est identique `a l’approche de M. Kulldorff, `a savoir d´eterminer la zoneZb={Z : L(Z)≥(L(Z′)∀Z′ ∈ Z}.
4.2.4 Test du rapport de vraisemblance
Apr`es d´etermination du MLC,Zb, sa significativit´e est test´ee au moyen d’un test de rapport de vraisemblance d’expression
λ= supZ∈Z,p>qL(Z, p, q)
suppL(p) = L(Z)b L0 .
Les expressions des fonctions de vraisemblance par le biais des deux approches pr´ecit´ees m`enent `a la mˆeme formule de la statistique de test. En effet, l’approche de M. Kulldorff conduit `a
λ=supZ∈Z e−nDnD! (
et l’approche traditionnelle m`ene `a l’expression
λ=
4.2.5 Ajustement des analyses sur des facteurs de confusion
Dans le cadre de la d´etection de clusters atypiques, il est int´eressant d’ajuster sur des facteurs de confusion pour trois raisons principales :
— Le facteur est li´e `a la maladie ´etudi´ee. Par exemple, dans le cas de la Maladie de Crohn, il existe une diff´erence av´er´ee d’incidence entre les hommes et les femmes, d’o`u l’int´erˆet d’ajuster sur le sexe ;
— Le facteur n’est pas distribu´e de mani`ere al´eatoire dans la r´egion ´etudi´ee. Nous pouvons imaginer l’exemple de certaines zones dans lesquelles la moyenne d’ˆage est nettement plus
´elev´ee que dans le reste de la population ´etudi´ee, et, par cons´equent, joue un rˆole dans l’incidence de la pathologie ´etudi´ee ;
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CHAPITRE 3. STATISTIQUES DE SCAN SPATIALES 81/117
— La volont´e de d´etecter des clusters que ne puissent pas ˆetre expliqu´es par un facteur de confusion.
Le mod`ele de Poisson permet l’ajustement sur des facteurs de confusion de nature cat´egorielle [Kulldorff, 1997,Kulldorff et al., 1997,Kulldorff et al., 1998]. Sous l’hypoth`ese nulle,H0d’absence de cluster, la variable al´eatoireXdi, qui associe `a un sitedi, 1≤i≤n, son nombre de cas observ´es, est distribu´ee selon une loi de PoissonP(pµ(di)), le nombre de cas attendus au sein du sitedi est donc
E(Xdi) =pµ(di).
Consid´erons d´esormais un facteur de confusion cat´egoriel `akmodalit´es. Le nombre de cas attendus est calcul´e au moyen d’une standardisation indirecte et a pour expression
E(Xdi) =
∑k j=1
E(Xdji) =
∑k j=1
pjµj(di),
o`u, pour chaque modalit´ej,Xdji est le nombre de cas observ´es sur le sitedi,µj(di) est la taille de la population du sitedi,pj ´etant la pr´evalence de la modalit´ej et enfinµj(D) est la taille de la population deD pr´esentant la modalit´ej.