Mod` ele bas´ e sur la th´ eorie ´ electromagn´ etique

Dans le rep`ere (Oxyz) li´e au laboratoire, la fibre est consid´er´ee comme un cylindre infini de section circulaire, homog`ene ou multicouche, de diam`etreD et d’axe Z, voir la figure 2.1. Un syst`eme de coor-donn´ees locales (Ox₁y₁z) est d´efini tel que le faisceau incident 1, de vecteur d’ondek₁, se propage suivant (Ox₁) aveck₁=−k1ex1. Ce faisceau est consid´er´e comme ´etant une onde plane harmonique, lin´eairement polaris´ee, de fr´equenceν₁ et de longueur d’ondeλ. Le rep`ere (Ox<sub>1</sub>y<sub>1</sub>z) se confond avec le rep`ere (Oxyz) par une simple rotation autour de l’axez, d’angleα. Le vecteur champ ´electriqueE₁est d´ecomposable en une composanteEezparall`ele au plan (x<sub>1</sub>z) et une composante−Ey1perpendiculaire au plan (x<sub>1</sub>z).δ<sub>1</sub> est l’angle de polarisation du champ incident, c’est-`a-dire l’angle entre l’axez et la direction du vecteur E₁. Pour tenir compte du faisceaun^◦2, de polarisationδ₂et de fr´equenceν₂, on d´efinit un second syst`eme

Fig.2.1 – G´eom´etrie du mod`ele de calcul de la r´eponse de l’interf´erom`etre.

On consid`ere ici que les dimensions du volume de mesure, form´e par le croisement des deux faisceaux, sont tr`es sup´erieures au diam`etre de la fibre. On peut alors utiliser les r´esultats ´etablis dans le chapitre pr´ec´edent, pour des ondes planes. De mani`ere classique, on suppose ´egalement que les faisceaux laser sont d´ecal´es en fr´equence (de la quantit´eνs) par des cellules de Bragg ou par un r´eseau de diffraction tournant [26].

On peut alors calculer le champ total diffus´e par la fibre sur la surface d’un d´etecteur Da, d’angle de polariseurδa, plac´e dans le plan (Oxy) `a une grande distancerde la fibre, et dont l’axe optique fait un angle ”d’´el´evation”ψa avec l’axe−x, voir la figure 2.1. Dans ces conditions, le d´etecteur collecte la lumi`ere diffus´ee aux angles de diffusion : faisceau n^◦1,θ₁=ψa+αet pour le faisceau n^◦2,θ₁=ψa−α:

Es(ψa) =

Es1(ψa+α) +Es2(ψa−α)

ez+ [E_⊥s1(ψa+α) +E_⊥s2(ψa−α)]eϕ (2.1) Classiquement,ν₁/ν₂≈1 avec pour la fr´equence moyenneν= (ν₁+ν₂)/2. Le vecteur de Poynting total

s’´ecrit alors : On peut le reformuler sous la forme suivante :

Ss= k Dans les ´equations (2.4) et (2.5) les expressions des champs peuvent ˆetre explicit´ees `a partir des r´esultats du chapitre pr´ec`edent. Pour le faisceau 1 et pour le d´etecteurDa, on a par exemple :

E//s1=exp explicite-ment du temps. Quand la fibre se d´eplace dans le plan (Oxy), le produit scalaire varie proportionnellement

`

a la composante de vitesse Vy(t) de la fibre. Lors du fibrage, toute variation de la«fr´equence h´et´erodyne Doppler» νD pourra ˆetre associ´ee `a une fluctuation de la position de la fibre suivant l’axey. De plus, du fait du d´ecalage en fr´equence des faisceaux, νs = (ν<sub>1</sub>−ν<sub>2</sub>) >0,la lumi`ere diffus´ee par la fibre est modul´ee dans le temps mˆeme lorsqu’elle est fixe dans le volume de mesure.

Remarque: Il peut ˆetre utile d’analyser le degr´e de polarisation lin´eaire de la lumi`ere diffus´ee par la fibre (cas d’une fibre bir´efringente :§2.5.5). Pour ce faire, une partie de la lumi`ere qui est diffus´ee par la fibre doit traverser un polariseur lin´eaire avant d’ˆetre focalis´ee sur l’´el´ement photo d´etecteur. Sur la figure 2.1, pour le d´etecteur Da, l’axe optique du polariseurP fait un angleδa avecez. Au final, le champ diffus´e et collect´e s’´ecrit apr`es la travers´ee du polariseur lin´eaire :

Es Pour un d´etecteur r´eel, l’´equation (2.3) doit ˆetre int´egr´ee sur l’angle solide Ω de collection du d´etecteur.

Sous incidence normale, le calcul se r´eduit `a une int´egration sur le domaine angulaire [ψa−Ω/2, ψa+ Ω/2].

Si la r´eponse du d´etecteur est lin´eaire (i.e. signal ´electrique proportionnel au signal optique), le signal

´

electrique produit par ce d´etecteur est de la forme² : I(t) =

Ω

|Ss(t)|dψ (2.9)

Cette derni`ere expression peut ˆetre r´e´ecrite comme suit : I(t) = k avec les quantit´es int´egrales :

G_Ω=

2Dans le cas ou la transmission des optiques d´ependant de l’angle de collection, on ´ecrira plutˆot : I(t) =

Ω

√T r(ψ)|S^s(t)|dψ, voir§3.1.3

Fig. 2.2 – Exemple de simulations des caract´eristiques des signaux Doppler produits par des fibres de verre-E homog`enes : d´ephasage, visibilit´es et piedestal (intensit´e diffus´ee) des deux signaux.

Nous introduisons `a pr´esent les quantit´es caract´eristiques des signaux Doppler : le Piedestal P, la Visibilit´eV et la phaseφ[62] :

P =kG_Ω/(2µ₀ω) (2.12)

V = 2

Hi²_Ω+Hr²_Ω/G_Ω (2.13)

φ=tan⁻¹(Hi_Ω/Hr_Ω) (2.14)

Finalement, l’´equation (2.10) peut ˆetre mise sous la forme caract´eristique d’un signal Doppler laser :

I(t) =P[1 +V cos(2πνDt+ Φ)] (2.15)

La phase φ est une phase absolue, elle ne peut pas ˆetre mesur´ee directement. C’est pourquoi, dans le principe de la technique de l’IPD, deux d´etecteursDa etDbou plus (voir ´egalement [79, 82]) sont utilis´es pour mesurer la diff´erence de phase ∆φab = φa −φb entre deux signaux Doppler Ia(t) et Ib(t). Ces derniers sont obtenus `a l’aide de deux d´etecteurs plac´es `a des angles de diffusion diff´erentsψa etψb :

Ia(t) =Pa[1 +Vacos(2πνDt+φa)]

Ib(t) =Pb[1 +Vbcos(2πνDt+φb)] (2.16) La d´ependance de la diff´erence de phase avec le diam`etre de la particule diffusante,φab=φa−φb, sera appel´ee PDRS<sup>3</sup> dans ce qui suit. D’apr`es le principe de l’IPD, le diam`etre de la particule (la fibre dans

3Phase Diameter RelationShip

le cas pr´esent) est d´eduit de la mesure de la diff´erence de phase ∆φab et de la connaissance«th´eorique/

num´erique»de la PDRS. La figure 2.2 montre, `a titre d’exemple, l’´evolution du d´ephasage, de la visibilit´e et du piedestal des signaux Ia et Ib, pour diff´erents diam`etres de la fibre. La fibre est ici homog`ene et son diam`etre varie entreD= 0.01µmetD= 70µm. Le d´ephasageφab´evolue de mani`ere plus ou moins lin´eaire, par morceaux. Cette lin´earit´e chute de concert avec la visibilit´e des signaux. Le premier saut du d´ephasage (modulo 2π) apparaˆıt pourD≈23µm. La visibilit´e ´evolue de mani`ere beaucoup plus complexe ( i.e.≈fonction de Bessel). Elle passe par un minimum pourD≈44µm. Le piedestal ´evolue de mani`ere plus ou moins lin´eaire. Ces ´evolutions ont ´et´e calcul´ees pour les param`etres optiques suivants :α= 1.11^◦, Ω/2 = 5.15^◦,m= 1.555,ψa = 162.5^◦,ψb=−166.73^◦,λ= 0.6328µmet une polarisation perpendiculaire (syst`emeF IBS).

La validation des mod`eles pr´ec´edents a ´et´e r´ealis´ee en 3 ´etapes. Premi`erement, nous avons compar´e les valeurs num´eriques obtenues pour un cylindre homog`ene avec celles obtenues pour une sph`ere [62, 71]. Les r´esultats ´etaient coh´erents, compte tenu des diff´erences pr´evisibles. Deuxi`emement, nous avons compar´e nos r´esultats avec ceux de la litt´erature (fibres homog`enes et d’indice inf´erieur) : ceux de Schaub et al. [94], bas´es sur la Th´eorie de Lorenz-Mie, et ceux de Mignon et al., bas´es sur l’optique G´eom´etrique [58]. Nos r´esultats concordaient parfaitement avec ceux de Schaub et al. L’accord avec les pr´edictions de l’optique g´eom´etrique n’´etait que tr`es qualitatif, voir `a ce propos le §2.2.2. Au final, diff´erents tests exp´erimentaux ont d´emontr´e la validit´e de nos mod`eles de diffusion (§3.4).