4.3.1 Quasi-p´ eriodicit´ e des diagrammes
Les diagrammes de diffraction th´eoriques obtenus pour des fibres transparentes sont extrˆemement complexes, voir la figure 1.7. On remarquera que les structures observ´ees (”franges” de diffractions) pr´esentent une certaine p´eriodicit´e avec le diam`etre de la fibre.
La figure 4.4 montre l’´evolution de la position angulaire des extr´emums (”franges” brillantes et franges
”sombres”) correspondant `a l’analyse de la figure 1.7. Figure 4.4, en haut : le diam`etre est dans l’intervalle 5< D <50µmet l’angle de diffusion est dans l’intervalle 0.7< θ <15◦. Figure 4.4, en bas : le diam`etre est dans l’intervalle r´eduit 20 < D < 25µm et l’angle de diffusion : 1 < θ < 11◦. Les couleurs (ou le d´egrad´e de gris...) symbolisent l’ordre d’apparition de l’extr´emum. Il clair que la d´eterminationbiunivoque du diam`etre des fibres n´ecessite une analyse tr`es fine de la position des extr´emums ...
2Du fait de leur haute fr´equence spatiale elles n’ont pas d’incidence sur la mesure de nos fibres.
3On remarquera que le cas (b) correspond `a une vitesse de bobinage plus faible que le cas (c). La perturbation (c) est donc consid´erablement plus ´etal´ee spatialement.
4.3.2 Principe de la m´ ethode d’inversion
On cr´ee une base de donn´ees contenant tous les diagrammes de diffusion, pour des fibres de diam`etre DT = 5,5.01. . .45µm, et sur le domaine angulaireθ= 0,0.01. . .15deg. Ces calculs4 sont effectu´es,une seule fois, `a l’aide de la th´eorie de Lorenz-Mie (voir le chapitre 1), et pour les param`etres de l’exp´erience : λ, P, m(T0, D, F) (voir le chapitre 2). avec, pour les maximums locaux (”franges brillantes”), l’exposant +, et pour les minimums locaux (”franges sombres”), l’exposant−. C’est cette proc´edure qui permet d’obtenir les r´esultats de la figure 4.4 `a partir de l’analyse de la figure 1.7 de gauche.
De mˆeme, pour une acquisition exp´erimentale denE diagrammes successifsn, avec n= 1,2, . . . , nE, on peut d´eduire pour chaque diagramme la position des extr´emums locaux :
DE(n)→
En principe, pour un diam`etre donn´e, le nombre des extremums trouv´es pour un diagramme exp´erimental devrait ˆetre ´egal `a celui obtenu pour le diagramme th´eorique correspondant, i.e. kE+(n) = k+T (i) et kE−(n) =k−T (i). En pratique, en raison du bruit optique et ´electronique, et du fait du peu de contraste de certains extremums, ces nombres sont souvent diff´erents mˆeme s’ils restent proches :kE+(n)≈kT+(i), kE−(n)≈ kT−(i).
S’ils sont tr`es diff´erents, c’est que le diagramme associ´e au diam`etre th´eorique DT(i) est tr`es diff´erent du diagramme exp´erimental mesur´e pour le diam`etreDE(n), i.e.DT(i)=DE(n). On introduit alors un coefficient de discriminationδk(i) tel que :
δk(i, n) =
"
0, pour kE+(n)−k+T (i)> σk(i) ou k−E(n)−k−T (i)> σk(i)
1, pour kE+(n)−k+T (i)σk(i) et k−E(n)−kT−(i)σk(i) (4.3) o`uσk(i) est un param`etre de contrˆole qui quantifie l’´ecart maximum tol´er´e, entre le nombre d’extr´ e-mums d’un diagramme th´eorique et d’un diagramme exp´erimental, pour que ceux-ci correspondent `a une fibre ayant les mˆemes caract´eristiques.
Pour une large plage de variation du diam`etre des fibres, le nombre d’extr´emums correspondant varie beaucoup (i.e. 0 kT+ 9, pour 5 D 35µm). Ce nombre est plus important pour les ”grosses”
fibres, ceci peu g´en´erer un biais de la proc´edure d’inversion, au d´etriment des fibres les plus petites. Afin d’´eviter ce biais, on introduit la fonction de pond´eration ou de«normalisation»suivante :
∆K(i, n) = δk(i, n)
k+T(i)kT−(i) + 1 (4.4)
Cette derni`ere est maximale pour les petites fibres et d´ecroˆıt avec leur taille. Elle est nulle si le nombre d’extr´emums trouv´es pour le diagramme exp´erimentaln, diff`ere trop de celui du diagramme th´eorique,i.
L’´ecart angulaire absolu entre la position th´eorique et la position exp´erimentale de chacun des extr´emums s’´ecrit :
a) Signature d’une fibre creuse (bulle)
b) Evolutions tem porelles rapides: passage d’une perturbation probablem ent sym étrique m ais à vitesse
variable.
c) ibre de faible diam
-ètre: les franges sont m oins nom breuses et d’intensité très faible
Evolutions tem porelles lentes, f
q=1-11±
Zoom s
Fig. 4.3 –Exemple d’´evolution des diagrammes exp´erimentaux (en fausses couleurs) pour une fibre sou-mise `a une rampe de vitesse.
Fig.4.4 –Evolution de la position angulaire des extr´emums,θ+T(i), θ−T(i), en fonction du diam`etre de la fibre (i.e. analyse de la figure 1.7 gauche).
Pour chaque couple d’extrema (Exp´erience/Th´eorie) on peut alors associer un estimateur de ”corr´elation” :
∆P+
i, n, jT+, jE+
= ∆θ+ σθ(i) (i,n,jT+,j+E)+1
∆P−
i, n, jT−, j−E
= σθ(i)
∆θ−(i,n,jT−,jE−)+1
(4.6)
o`u σθ(i) 1 est un second param`etre de contrˆole. Il repr´esente l’´ecart angulaire maximum tol´er´e, entre la position d’un extremum th´eorique et d’un extremum exp´erimental, pour que ceux-ci puissent ˆetre consid´er´es comme identiques. ∆P+
i, n, jT+, jE+
et ∆P−
i, n, jT−, jE−
d´ecroissent lin´eairement lorsque l’´ecart angulaire croˆıt et, il sont inf´erieurs `a 1 si l’´ecart angulaire d´epasse la valeur du param`etre de contrˆole correspondant.
Au final, on construit un estimateur de corr´elation entre le diagramme th´eorique iet le diagramme
exp´erimentaln, de la fa¸con suivante : estimateur de corr´elation maximum :
DE(n) =DT(i/M ax{P(i, n), i= 1,2· · ·nT}) (4.8) Afin de r´eduire les temps de calcul, si l’on connaˆıt a priori la plage de variation du diam`etre de la fibre, DminDDmax, il est souhaitable de limiter le nombre de P(i, n) `a l’intervalle :
P(i=imin, imin+ 1· · ·imax, n) o`uDT min=D(imin) et DT max=D(imax).
La figure 4.5 pr´esente une ´evolution typique de P(i, n), obtenue pour une fibre de diam`etre DE ≈ DT = 23.38µm. L’estimateur P(i, n) est infiniment petit en dehors de l’intervalle consid´er´e. De plus, on constate que l’amplitude du maximum est tr`es sup´erieure `a celle des maximums locaux. Ces derniers correspondent `a des diam`etres de fibres,DT = 22.39 etDT = 24.32µm, qui donnent des diagrammes de diffraction tr`es«semblables»`a celui d’une fibre deDT = 23.38µm(p´eriodicit´es).
22.25 22.50 22.75 23.00 23.25 23.50 23.75 24.00 24.25 24.50 1E-3
Fig. 4.5 –Exemple d’´evolution de l’estimateur P(i, n).
4.3.3 Utilisation de la continuit´ e
Nous n’avons pas encore utilis´e le fait que, si la fr´equence d’´echantillonnage est suffisante, deux mesures cons´ecutives du diam`etre de la fibre doivent ˆetre tr`es semblables (continuit´e). Pour prendre en compte cette hypoth`ese, il faut calculer l’estimateur de corr´elation centr´e suri et de largeur±m:
DE(n) =DT La valeur dem joue cependant sur la r´esolution spatiale et donc temporelle de la mesure.
4.3.4 Param` etres de contrˆ ole
Les valeurs des param`etres de contrˆole σk(i), σθ(i) d´ependent du diam`etre de la fibre. L’analyse des diagrammes exp´erimentaux n´ecessite d’introduire d’autres param`etres de traitement. Ainsi, la
re-cherche des extremums requi`ere ´egalement de d´efinir la largeur (et le type) de la fenˆetre de lissage des diagrammes5, la distance minimale entre deux extremums...
Au terme d’une analyse param´etrique nous avons d´etermin´e, une fois pour toute, les valeurs optimales pour ces param`etres. Pour les fibres de verre-E et le syst`emeHIREDI, dans sa version actuelle, elles sont donn´ees par la figure 4.7. Ces valeurs sont donn´ees en fonction du nombre de maximums du diagramme correspondant (et non pas du diam`etre de la fibre, que l’on cherche `a d´eterminer...), avec : Filtering: la largeur totale de la fenˆetre de lissage en centi`emes de degr´e,Width: la distance angulaire minimum entre deux extremums cons´ecutifs,Neighb.correspond `aσk et Sigmacorrespond `a σθ.
En mode auto adaptatif, le logiciel HIREDI adapte automatiquement ses filtres et les autres pa-ram`etres d’analyse, en consultant cette table, pour chaque diagramme mesur´e.
4.4 Logiciel d’acquisition et de traitement
La figure 4.6 pr´esente une copie de l’´ecran principal du logicielHIREDI. Ce logiciel est une applica-tion Windows d´evelopp´ee avec Delphi (i.e. Pascal Objet). Il permet de r´egler les param`etres de la cam´era num´erique et le param`etrage de la proc´edure d’analyse des diagrammes. Dans l’´etat actuel, la dur´ee des acquisitions est limit´ee en temps `a 32 secondes (c’est-`a-dire, par exemple, 32000 diagrammes `a une fr´equence d’acquisition de 1kHz).
La figure 4.7 pr´esente quelques unes des autres fenˆetres du logiciel :
– a) Calibration automatique du syst`eme : Cette fenˆetre permet, entre autres, la recherche automa-tique de la position des pics qui correspondent aux diff´erents ordres de diffraction form´es par un r´eseau. La r´epartition de ces pics sur la matrice CCD est utilis´ee pour calibrer angulairement le syst`eme (i.e. non lin´eaire).
– b) Cr´eation de la table des extr´emums pr´edits par la th´eorie de Lorenz-Mie. Cette table est cr´e´ee, une fois pour toute.
– c) Modification des param`etres de contrˆole.