Pr´ esentation des mod` eles fluide et structure utilis´es
2.2 Mod` ele analytique de poutre en structure
Cette partie expose le mod`ele de poutre analytique impl´ement´e dans ICARE afin de prendre en compte les d´eformations ´elastiques de la poutre navire. Les d´etails du mod`ele retenu sont pr´esent´es notamment par Senjanovi´c et al. (2008a), dans le contexte de l’hydro´elasticit´e. La question d´elicate de la r´eduction de la description de la structure du navire `a un jeu de param`etres de poutre pour un navire donn´e a ´et´e abord´ee Section1.2.1. Nous consid´erons ici que l’on connaˆıt les caract´eristiques de la poutre navire.
2.2.1 Mod`ele analytique pour une poutre id´eale en flexion verticale pure
Il s’agit d’un mod`ele tr`es classique en m´ecanique des structures. On s’int´eresse aux vibrations non coupl´ees d’une poutre id´eale dont les extr´emit´es sont libres. Par poutre “id´eale”, on entend infiniment ´elanc´ee, d’´epaisseur nulle. Par flexion verticale “pure”, on entend non coupl´ee avec une flexion horizontale ou une torsion.
A. Hypoth`eses
On se place dans le cadre de la m´ecanique des milieux continus, avec les hypoth`eses suivantes :
(i) Le mat´eriau est homog`ene et isotrope, `a comportement ´elastique lin´eaire. (ii) Petits d´eplacements suivant les degr´es de libert´e rigides.
(iii) Faibles d´eformations suivant les degr´es de libert´e ´elastiques.
L’hypoth`ese (i) d’homog´en´eit´e de la structure est coh´erente avec l’approximation de poutre navire. Elle est pleinement adapt´ee au cas de la barge pr´esent´ee Section3.1.3dont la raideur est donn´ee par une barre relativement flexible en acier, `a laquelle sont reli´es des flotteurs rigides ind´ependants les uns des autres.
L’hypoth`ese (iii) de faibles d´eformations est raisonnable si l’on consid`ere les ordres de gran-deurs connus au r´eel pour les d´eplacements li´es aux d´eformations ´elastiques des navires sur houle : de l’ordre de 1 m pour une longueur de navire de 300 m.
L’hypoth`ese (ii) de faible d´eplacement suivant les degr´es de libert´e rigides est plus discutable dans l’absolu. Pour des vagues de 10 m de haut, on pourrait s’attendre `a des d´eplacements du mˆeme ordre de grandeur autour de la r´esonance. Mais cette hypoth`ese reste valable pour les cas tests envisag´es (voir Section3.1.3).
B. Equation diff´erentielle de vibration en flexion verticale On se dote d’un rep`ere centr´e sur le milieu de la poutre id´eale.
Figure 2.13 – Rep`ere pour le mod`ele de poutre On adopte les notations suivantes :
(x, z) Coordonn´ees des points de la poutre w D´eflection verticale de la poutre
E Module d’Young
I Moment d’inertie g´eom´etrique d’une section de poutre tridimensionnelle l Demie longueur de poutre
m Masse lin´eique de poutre q Chargement externe lin´eique
Dans le cadre de la th´eorie de l’´elasticit´e lin´eaire, il est montr´e que l’on peut relier les efforts internes de la structure aux d´eformations locales (Cartraud,2011). Pour la poutre en flexion, on obtient le moment de flexion MF et l’effort tranchant QF en fonction de la d´eflection verticale w. MF = −EI ∂ 2w ∂x2 QF = −EI ∂ 3w ∂x3 (2.79)
Dans cette formulation, EI peut ˆetre interpr´et´e comme une raideur de flexion.
On raisonne ensuite sur un ´el´ement de poutre de longueur dx pr´esent´e Figure 2.14, pour lequel on r´ealise un bilan des efforts suivant la direction verticale.
Figure 2.14 – Bilan des efforts sur un ´el´ement de poutre
m dx∂ 2w
∂t2 = q dx + QF +∂QF
∂x dx − QF (2.80)
Apr`es simplification et substitution de (2.79) dans (2.80), on obtient l’´equation diff´erentielle r´egissant la dynamique de la poutre en flexion verticale pure.
∂4w ∂x4 + m
EI ∂2w
∂t2 = q (2.81)
C. Solution de l’´equation diff´erentielle de vibration en flexion verticale
On utilise une m´ethode de s´eparation des variables. On cherche dans un premier temps `a r´esoudre l’´equation homog`ene avec une solution de la forme :
w(x, t) = ˆw(x) sin(ωt) (2.82)
O`u l’amplitude de d´eflection ˆw, aussi appel´ee par la suite d´eform´ee, ne d´epend que de de l’abscisse initiale, et se trouve modul´ee dans le temps par un signal sinuso¨ıdal de fr´equence ω.
Les d´eriv´ees partielles, d’ordre 4 en espace et d’ordre 2 en temps, prennent alors la forme suivante :
∂4w ∂x4(x, t) = d 4wˆ dx4(x) sin(ωt) ∂ 2w ∂t2 (x, t) = −ω2w(x) sin(ωt)ˆ (2.83) Par substitution de (2.83) dans l’´equation homog`ene de (2.81), on obtient une ´equation dif-f´erentielle homog`ene pour l’amplitude de d´eflection ˆw(x) (2.84).
∂4wˆ ∂x4 −mω 2 EI w = 0ˆ (2.84) On pose : β = 4 r mω2 EI ⇔ ω = r EI m β 2 (2.85)
Les ´equations du type de (2.84) admettent des solutions de la forme :
ˆ
w(x) = A1sinh(βx) + A2cosh(βx) + A3sin(βx) + A4cos(βx) (2.86) O`u A1, A2, A3 et A4 sont des constantes `a d´efinir en fonction des conditions aux limites. Les extr´emit´es de la poutre sont libres. Les efforts tranchants ainsi que les moments de flexion y sont donc nuls.
MF(x = −l) = MF(x = l) = 0 , QF(x = −l) = QF(x = l) = 0 ⇔ d 2wˆ dx2(x = −l) = d 2wˆ dx2(x = −l) = 0 , d 3wˆ dx3(x = −l) = d 3wˆ dx3(x = −l) = 0 (2.87) On cherche `a se doter d’une base de modes sym´etriques et asym´etriques.
Modes sym´etriques
On conserve seulement les termes sym´etriques de la solution (2.86).
ˆ
wsym(x) = A2cosh(βx) + A4cos(βx) (2.88) La prise en compte des conditions aux limites (2.87) donne lieu `a un syst`eme lin´eaire de 2 ´equations `a 2 inconnues (A2, A4), avec un second membre nul.
(
A2β2cosh(βl) − A4β2cos(βl) = 0
A2β3sinh(βl) − A4β3sin(βl) = 0 (2.89) Ce syst`eme admet une infinit´e de solutions si et seulement si :
−cosh(βl) cos(βl) =
sinh(βl)
sin(βl) ⇔ tanh(βl) + tan(βl) = 0 (2.90) La r´esolution num´erique de cette derni`ere ´equation, par exemple sous Matlab, donne les βi ad-missibles pour les modes sym´etriques de la poutre i = 0, 2, 4, . . . . Les valeurs correspondantes sont pr´esent´ees dans le tableau2.1. On d´efinit ainsi la famille des modes propres sym´etriques de la poutre. Avec (2.85), on peut acc´eder aux fr´equences propres de ces modes.
Pour les βi avec i >= 2, on dispose d’une infinit´e de solutions pour le syst`eme lin´eaire 2 × 2. Elles sont telles que :
A2βi2cosh(βil) − A4βi2cos(βil) = 0 ⇔ A4= cosh(βil)
cos(βil) A2 (2.91) Par substitution de (2.91) dans (2.88), on obtient l’expression de la d´eform´ee modale des modes sym´etriques, d´efinis `a une amplitude pr`es.
i βil 0 0 1 0 2 2.3650 3 3.9266 4 5.4978 5 7.0686 6 8.6394 7 10.2102 8 11.7810 9 13.3518
Table 2.1 – Racines de l’´equation diff´erentielle d’une poutre libre aux extr´emit´es
ˆ wi,sym(x) = A2 cosh(βix) +cosh(βil) cos(βil) cos(βix) (2.92) On pose : Ai,sym = 2 A2 cosh(βil)
ˆ wi,sym(x) = Ai,sym 1 2 cosh(βix) cosh(βil) + cos(βix) cos(βil) (2.93) C’est cette expression de la d´eform´ee modale que l’on retient par la suite. On remarque qu’elle est d´efinie `a une amplitude pr`es, amplitude qui sera une inconnue de notre couplage.
Modes asym´etriques
On conserve seulement les termes asym´etriques de la solution (2.86).
ˆ
wasym(x) = A1sinh(βx) + A3sin(βx) (2.94) La prise en compte des conditions aux limites (2.87) donne lieu `a un syst`eme lin´eaire de 2 ´
equations `a 2 inconnues (A1, A3), avec un second membre nul. (
A1β2sinh(βl) − A3β2sin(βl) = 0
A1β3cosh(βl) − A3β3cos(βl) = 0 (2.95) Ce syst`eme admet une infinit´e de solutions si et seulement si :
sinh(βl) sin(βl) =
sinh(βl)
sin(βl) ⇔ tanh(βl) − tan(βl) = 0 (2.96) La r´esolution num´erique de cette derni`ere ´equation, par exemple sous Matlab, donne les βil admissibles pour les modes asym´etriques de la poutre i = 1, 3, 5, . . . Les valeurs corres-pondantes sont pr´esent´ees dans le tableau 2.1. Avec (2.85), on peut acc´eder aux fr´equences propres des modes asym´etriques de la poutre.
Pour les βi avec i >= 3, on dispose d’une infinit´e de solutions pour le syst`eme lin´eaire 2 × 2. Elles sont telles que :
A1βi2sinh(βil) − A3βi2sin(βil) = 0 ⇔ A3 = A1 sinh(βil)
sin(βil) (2.97) Par substitution de (2.97) dans (2.94), on obtient l’expression de la d´eform´ee modale des modes sym´etriques, d´efinis `a une amplitude pr`es.
ˆ wi,asym(x) = A1 sinh(βix) + sinh(βil) sin(βil) sin(βix) (2.98) On pose : Ai,asym = 2 A2 sinh(βil)
ˆ wi,asym(x) = Ai,asym 1 2 sinh(βix) sinh(βil) + sin(βix) sin(βil) (2.99) C’est cette expression de la d´eform´ee modale que l’on retient par la suite pour les modes asym´etriques.
D. Obtention des param`etres/caract´eristiques modales de flexion verticale Une fois les d´eform´ees modales obtenues, on s’int´eresse aux autres caract´eristiques des modes de flexion : les masses modales mi et les raideurs modales ki. Par produit de l’´equation (2.84) par l’amplitude de d´eflection ˆw et par int´egration sur la longueur de la poutre, on obtient :
EI Z +l −l ˆ w d 4wˆ dx4dx − mω2 Z +l −l ˆ w2dx (2.100)
Avec une double int´egration partielle, on transforme l’expression (2.100) en (2.101), qui peut ˆetre interpr´et´e comme un bilan d’´energie pour la poutre en flexion, libre aux extr´emit´es.
EI Z +l −l d2wˆ dx2 2 dx − ω2m Z +l −l ˆ w2dx (2.101)
Le bilan d’´energie (2.101) est valable pour chaque mode et peut s’´ecrire sous la forme (2.102).
EI Z +l −l d2wˆi dx2 2 dx − ωi2m Z +l −l ˆ wi2dx ⇔ ki− ω2i mi = 0 (2.102) Avec identification de la raideur modale ki et de la masse modale mi :
ki= EI Z +l −l d2wˆi dx2 2 dx (2.103) mi= m Z +l −l ˆ w2idx (2.104)
E. Obtention du moment de flexion
Dans le cadre de l’´etude des structures marines ´elanc´ees travaillant en flexion dynamique, la grandeur dimensionante caract´erisant l’intensit´e des efforts internes est le moment de flexion. On repart des relations (2.79) et (2.83) qui relient le moment de flexion M et la force de cisaillement Q aux d´eriv´ees partielles en espace du d´eplacement vertical w.
[est-il l´egitime de calculer une force de cisaillement alors que notre approche Euler-Bernouilli le n´eglige ?] Mf lex(x, t) = −EI Nmod X i=1 ∂2wˆi ∂x2 (x) sin(ωit) (2.105) Qf lex(x, t) = −EI Nmod X i=1 ∂3wˆi ∂x3 (x) sin(ωit) (2.106)
[ Donner les expressions des d´eriv´ees partielles secondes et troisi`emes en fonction des ampli-tudes de la solution pour ˆw. ]
Comme pr´esent´e dans Seng(2012), on peut ´egalement obtenir le moment de flexion (2.107) et le moment de cisaillement (2.108) `a partir de la donn´ee des efforts externes appliqu´ees le long de la structure. Cette expression est utile pour quantifier les efforts internes dans le cadre d’une approche en rigide et les comparer aux efforts internes obtenus dans le cadre de notre approche en petites d´eformations.
Mrigid(x) = − Z x −l (x − ˜x)q(˜x)d˜x (2.107) Qrigid(x) = − Z x −l q(˜x)d˜x (2.108) q(x) = Fz(x) − m(x)hg + ¨z − (x − xLCG)¨θi (2.109) O`u Fz(x) est la force verticale lin´eique exerc´ee par le fluide sur le navire, prise dans le r´ef´erentiel bateau. Ce terme correspond aux efforts hydrodynamiques. Pour l’obtenir dans ICARE, une sortie sp´ecifique d’effort par tranche est impl´ement´ee.
[cette formulation est-elle valable ´egalement en flexible ? il faudrait comparer les efforts in-ternes obtenus par les deux moyens pr´esent´es ci-dessus- dans le cadre d’une approche en flexible]
[Ne pas oublier de revoir : (Kim et al.,2013) ”the axial stress is computed by integrating the vertical bending moment and axial force along the x-direction”]
2.2.2 Application au cas d’une structure ´elanc´ee tridimensionnelle
Le mod`ele analytique de poutre id´eale que nous venons de d´ecrire s’applique `a une structure bidimensionnelle, d’´epaisseur nulle. Pour l’appliquer `a une structure ´elanc´ee r´eelle tridimen-sionnelle, quelques adaptations sont n´ecessaires pour la prise en compte de l’´epaisseur et de la troisi`eme dimension. La prise en compte de la troisi`eme dimension, qui est suivant la di-rection transversale `a la structure, est imm´ediate dans notre cas : il s’agit d’un cas de flexion verticale pure donc la solution est constante `a (X, Z) donn´e.
Pour ce qui est de l’´epaisseur de la structure, il existe en m´ecanique des milieux continus deux mod`eles principaux qui s’appuient sur une repr´esentation de la structure via une ligne neutre d´efinie suivant la direction principale de la structure ´elanc´ee, `a laquelle sont attach´ees des sections planes. Le comportement de cette ligne neutre est d´ecrit par le mod`ele de poutre id´eale. Les sections planes sont d´efinies perpendiculairement `a la ligne neutre au repos. Le comportement des sections est d´efini diff´eremment suivant le mod`ele retenu (Figure 2.15). Dans la th´eorie d’Euler-Bernouilli, les sections initialement normales `a la ligne neutre restent normales `a la ligne neutre au cours des d´eformations, ce qui revient `a n´egliger les effets de cisaillement. Dans cette repr´esentation, les sections initialement perpendiculaires `a la ligne neutre restent planes. La r´esolution de la d´eform´ee compl`ete de la poutre r´eelle ne fait in-tervenir qu’une inconnue : la fonction la d´eflection w(x). Le reste de la solution est obtenu g´eom´etriquement.
Dans la th´eorie de Timoshenko, les sections initialement normales `a la ligne neutre restent planes, mais pas n´ecessairement normales `a la ligne neutre. Une variable suppl´ementaire est introduite pour d´ecrire l’orientation des sections par rapport `a la ligne neutre. Ce mod`ele permet la prise en compte des effets de cisaillement.
En pratique, pour des cas o`u l’´epaisseur de la poutre r´eelle reste faible devant la longueur de la poutre, les diff´erences entre les r´esultats apport´es par les deux mod`eles sont indiscernables.
Figure 2.15 – D´eformation d’une poutre r´eelle suivant les mod`eles Euler-Bernouilli et Ti-moshenko
La limite de validit´e commun´ement admise pour le mod`ele Euler-Bernouilli est un rapport ´epaisseur sur longueur de 5%. Pour le cas test qui nous int´eresse par la suite, le rapport ´epaisseur sur longueur est de l’ordre de 0.4%. Le mod`ele d’Euler-Bernouilli est donc valide. Pour les cas d’application envisag´es pour notre m´ethode `a moyen terme, il faut ˆetre plus prudent : le rapport ´epaisseur sur longueur d’un porte conteneurs `a vide est plutˆot de l’ordre de 7%.
[refaire et ´epurer le sch´ema (source wikipedia) + beaucoup de ”pris en compte” + attention `
a adopter la mˆeme convention ”porte-conteneurs” et non ”porte conteneurs” dans tout le manuscrit]
Nous retenons le mod`ele d’Euler-Bernouilli, dont les hypoth`eses sont les suivantes :
(i) Le mat´eriau est homog`ene et isotrope.
(ii) Les centres de gravit´e des sections forment une courbe continue et d´erivable, appel´ee courbe moyenne ou ligne neutre.
(iii) La dimension des sections est petite devant la longueur de la courbe moyenne. (iv) Au cours des d´eformations, les sections droites restent perpendiculaires `a la courbe
moyenne (hypoth`ese de Bernouilli).
A partir de ces hypoth`eses, on peut d´eduire g´eom´etriquement le d´eplacement de tout point de la structure tridimensionnelle en flexion par rapport `a sa position de repos, en fonction de son abscisse au repos, de sa distance `a la ligne neutre et de la d´eform´ee locale de la ligne neutre.
Soit A un point quelconque de la structure tridimensionnelle au repos et B son image apr`es d´eplacement ´elastique suivant un mode d´eformation (Figure 2.16). On d´ecompose le d´ epla-cement de A `a B (2.110) en 3 ´etapes pr´esent´ees Figure2.17.
Figure 2.16 – D´eformation en flexion d’une poutre d’´epaisseur non nulle
1. Le d´eplacement du point A vers le point A0, intersection de la section plane du point A et de la ligne neutre au repos (2.111).
2. Le d´eplacement du point A0 vers le point B0 suivant la d´eformation de la ligne neutre en tant que poutre id´eale. Il s’agit d’une translation verticale (2.112).
3. Le d´eplacement du point B0vers le point B. Il s’agit d’une translation suivant la normale `
a la ligne neutre pour rester dans la section plane. La distance de d´eplacement est la mˆeme que celle r´ealis´ee `a l’´etape 1 (2.113).
Figure 2.17 – D´ecomposition du d´eplacement d’un point d’une poutre d’´epaisseur non nulle −−→ AB =AA~ 0+A0~B0+B~0B (2.110) −−→ AA0 = −(z0− zbeam)~ez (2.111) −−−→ A0B0 = ˆw(x0) ~ez (2.112) −−→ B0B = (z0− zbeam) ~n k~nk(x0) (2.113)
O`u ~n est la normale `a la ligne neutre dans la configuration d´eform´ee (2.114).
~ n(x0) = −d ˆw/dx (x0) 1 (2.114) Et ~n/k~nk la normale unitaire (2.115). ~n k~nk(x0) = −d ˆw/dx (x0) 1 / 1 + d ˆw dx(x0) 2! (2.115) Dans le cas des faibles d´eformations : d ˆw/dx 1, ce qui permet de lin´eariser les composantes de la normale unitaire, pour finalement retenir l’expression (2.114) en tant que normale unitaire lin´earis´ee (2.116).
~n k~nk lin (x0) = −d ˆw/dx (x0) 1 (2.116) On substitue cette expression dans (2.113) pour obtenir l’expression lin´earis´ee du d´eplacement −−→ B0B (2.117). −−→ B0B = (zA− zbeam) −d ˆw dx(x0) ~ex + ~ez (2.117) Par assemblage des expressions (2.111), (2.112), (2.117) et projection sur les vecteurs de la base cart´esienne, on obtient l’expression compl`ete du d´eplacement de A `a B dans le cadre des hypoth`eses de faible d´eformation (2.118).
−−→
AB = −(z0− zbeam)d ˆw
dx(x0) ~ex + w(x0) ~ez (2.118) L’expression des composantes horizontale (2.119) et verticale (2.120) de la d´eform´ee modale d´ecoule directement de (2.118) apr`es projection sur des axes du rep`ere cart´esien.
hx=−AB · ~−→ ex = −(z0− zbeam) d ˆw
dx(x0) (2.119)
hz =−AB · ~−→ ez = d ˆw(x0) (2.120) L’obtention de l’expression de la d´eform´ee modale pour un point quelconque de la poutre 3D permet l’application du couplage avec le mod`ele de poutre analytique `a des structures immerg´ees de type poutre tridimensionnelle.