Modélisation de la vision du réseau par le collecteur

La théorie des graphes est largement utilisée dans la modélisation des réseaux de capteurs sans fil. Elle offre un cadre de choix pour la modélisation des réseaux dynamiques. Le réseau peut être regardé comme un graphe, où les différents nœuds du réseau sont généralement représentés comme étant les sommets d'un graphe dont les arrêtes représentent l'existence d'une communication, typiquement un canal de radiofréquence, entre les nœuds associés.

Plusieurs modèles de représentation des réseaux de capteurs sans fil utilisant la notion de graphe ont été proposés selon différentes approches. Parmi ces différentes approches nous pouvons citer l’approche aléatoire et l’approche communication.

Souvent, la couche physique du réseau donne lieu à un graphe géométrique aléatoire. En raison de ses ressources limitées, un nœud capteur ne peut communiquer qu'avec les autres nœuds se trouvant à sa portée.

On définit un graphe comme étant connexe, s’il existe au moins une chaîne entre une paire quelconque de somment G. La relation est définie par :

Ainsi, le modèle de Barabasi-Albert et ses variations (Barabási et Albert, 1999) (Albert et Barabàsi, 2002), repose sur des arrêtes qui suivent une loi globale et prédéterminée. Ce modèle intègre la notion de croissance et celle de l’attachement préférentiel. La procédure proposée consiste à générer un graphe aléatoire de degré moyen d avec un petit nombre de nœuds. On augmente ensuite le graphe nœud par nœud. Ainsi le nombre de nœuds dans le réseau augmente avec le temps. Pour chaque nœud qu’on rajoute on le connecte à d voisins. La probabilité de choisir un nœud préexistant est proportionnelle au degré de ce nœud. Généralement, ce type de graphe est caractérisé par une forte hétérogénéité dans la distribution du degré de ses nœuds. Dans ce même type de graphes aléatoires, les auteurs de (Erdős et Rényi, 1960) présentent un graphe où les liaisons entre les nœuds obéissent à une loi probabiliste. C’est à dire qu’entre toute paire de nœuds (u,v) on place une liaison de probabilité p. Un cas particulier des graphes aléatoires est présenté dans (Ferreira et Viennot, 2002). Les auteurs présentent un modèle de graphe géométrique aléatoire qui permet de fournir une exacte représentation de la structure topologique des réseaux de capteurs. Un graphe géométrique aléatoire G(n,r) est obtenu en distribuant (n) nœuds aléatoirement dans un cube unité de d-dimensions [0,1]d .

4.5.1.2.2 Approche communication

Dans l’approche communication nous trouvons comme exemple, les graphes de connectivité et les graphes d’interférences.

Graphes de connectivité : (Li et al., 2009) représentent un réseau de capteurs sans fil par un graphe non orienté noté où représente l’ensemble des nœuds du réseau dans un plan bidimensionnel et l’ensemble des liens de communication sans fil entre les différents nœuds du réseau. Chaque nœud est supposé avoir un identifiant unique et dispose d’une antenne omnidirectionnelle. Soit (u) et (v) deux nœuds, (u) et (v) sont dits adjacents si et seulement si (u) est dans la zone de couverture de (v) ou selon le modèle de connectivité UDG (Unit Disk graph) (Clark et al., 1991), leur distance euclidienne est au plus égale à 1.

Le nœud (u) peut donc communiquer directement avec le nœud (v) d’une manière symétrique en cas d’absence d’interférences. Dans le cas contraire où les problèmes d’imperfections de liens radios doivent être pris en compte, le modèle QUDG (Quasi Unit Disk Graph) paraît le mieux adapté. Ce modèle définit la distance euclidienne entre deux nœuds (u) et (v) comme suit :

, avec , les nœuds sont dits adjacents ;

, les nœuds ne sont jamais dans les mêmes zones de couverture ; , les nœuds peuvent être adjacents comme ils peuvent ne pas l’être.

En effet un nœud (u) peut communiquer avec un nœud (v) positionné à une douzaine de mètres de lui et ne pas pouvoir le faire avec un autre qui est juste à côté de lui. Des obstacles fixes ou temporaires

Graphes d’interférences : (Madan et al., 2006) vont permettre de prendre en compte les accès simultanés au médium par plusieurs stations en utilisant le modèle des graphes d’interférences . Un récepteur (u) peut recevoir des messages d’un émetteur (v) avec succès si et seulement si (u) et (v) sont voisins dans le graphe de connectivité et que (u) n’a pas d’émetteur concurrent dans le graphe d’interférences .

4.5.1.2.3 Modèle de graphe utilisé pour le collecteur

La majorité des modèles cités ci-dessus ne prennent pas en considération la dynamique du réseau. Or notre réseau possède une dynamique plus au moins importante dépendante des courants marins, du vent, et de la mobilité des nœuds sur les nappes. Les paramètres propres du réseau évoluent donc avec le temps. Il est alors judicieux de choisir un modèle représentatif de notre réseau prenant en considération le facteur temps soit d’une manière discrète ou continue. Lorsque le temps est discret, on peut se ramener sans perte de généralité à considérer le réseau aux dates t = 0, 1, 2 . . . T, et on peut supposer que toutes les grandeurs relatives au temps sont des entiers. Le pas de discrétisation représente la période de visite du collecteur aux chefs de clusters qui doit garantir une bonne cohérence du système d’information, malgré les problèmes induit par la dynamique du réseau tels les changement de chefs de clusters, la destruction/construction de nouveaux clusters de tailles variables, etc.

Suite à toutes ces exigences, nous proposons d’utiliser un modèle exploitant la théorie des graphes dynamiques évolutifs mais considérée d’une manière distribuée. Dans ce modèle, le collecteur construit son propre graphe du réseau à 1 ou K-sauts, afin :

• de conserver au maximum les sessions en cours,

• de rétablir la connectivité du réseau (qui n’est que discrète). • d’optimiser sa trajectoire ;

• de trouver les nouvelles positions des chefs de clusters, connaissant les anciennes positions et les valeurs des paramètres de sessions déjà établies. Il s’agit donc d’une vue agrégée où les clusters sont simplement représentés par leur chef.

Ainsi, nous représentons le réseau, vu par le collecteur, par un graphe dynamique évolutif (Monteiro et al., 2006) dirigé . Ce graphe représente tous les nœuds et les connexions possibles, passées, présentes et futures du réseau. : représente l'ensemble des nœuds (chefs de cluster) du réseau, modélise l'ensemble des connections existantes entre ces nœuds et l’ensemble des connexions entre les nœuds à l’instant t. Ainsi, si e = (u, v) ∊ , veut dire que les nœuds u et v sont en mesure de communiquer directement à l'instant t.

Le réseau vu par le collecteur au temps (t = k) est modélisé par un sous-graphe statique

du graphe global . Le graphe ; est une

suite ordonnée de sous graphes partiels de et le graphe est appelé graphe évolutif. Avec :

et

Ainsi à chaque instant (k) :

• Les liaisons entre deux nœuds (u) et (v) sont représentées par la matrice de liaison [(u, v), k]. • La présence d’un nœud (u) dans le graphe est représentée par la matrice [u, k].

• Les matrices [(u, v), k] et [u, k] représentent le graphe S’(k).

Sachant que le processus de clustering qui consiste à un découpage virtuel de V en un ensemble de groupes est représenté par :

Tel que :

Le modèle des graphes évolutifs est un modèle de réseau dynamique à durée finie, où tous les paramètres du réseau évoluent de manière discrète. Il existe un ensemble de dates, appelées événements, qui correspondent à un changement dans l’état du réseau. Entre deux de ces dates, l’état du réseau est constant. Ainsi, un réseau dynamique à N nœuds est considéré comme un simple système dynamique discret dépendant du temps évoluant durant .

Cette définition correspond à un modèle de graphe permettant l’agrégation d’une liste de sous-graphes statiques. Chaque sous-graphe représente l’état du réseau étudié à un moment donné. Les graphes ne peuvent pas être considérés invariants dans le temps. Aussi avec ce type de graphes la dynamique est totale (toutes les combinaisons d’ajouts, de suppression, de modification de liaisons et de nœuds sont envisageables). La topologie sera représentée sous forme de graphe dynamique évolutif.

La Figure 4-7 montre un exemple de sous graphes statiques représentant la vision du collecteur. On retrouve les différentes étapes de l’évolution d’un graphe dynamique dans le temps. Le graphe évolutif construit à partir de cette liste de sous-graphes contient donc tous les chefs de clusters et toutes les liaisons des sous-graphes considérés.

Figure 4-7 : Schéma illustratif de l'évolution des sous-graphes

Ainsi, à une fréquence d’échantillonnage bien définie (dépendante de la dynamique du réseau), notre collecteur mobile peut construire le graphe S’(k) contenant les chefs de clusters présents à cet instant.

L’intervalle de temps , pendant lequel les positions des collecteurs sont mises à jour, est principalement lié au changement topologique du réseau. Un temps court correspond à une topologie très variable, où le déploiement doit s’adapter et correspondre à la morphologie du réseau.