Chapitre 2 : Modélisation du comportement viscoélastique plastique endommageable du
3 Modèle viscoélastique plastique endommageable pour le simulant
3.2 Modélisation de la viscoélasticité
L’objectif de cette partie est de prendre en compte la viscoélasticité avec l’anisotropie induite et l’effectivité de l’endommagement du modèle microplan. On présentera d’abord quelques modèles de la bibliographie avant de présenter l’approche choisie. Dans cette partie, la plasticité du modèle n’est pas introduite.
3.2.1 Bibliographie sur quelques modèles viscoélastiques
Plusieurs modèles de la littérature développés pour les PBXs, cités dans l’état de l’art, ont pris en compte le comportement viscoélastique (Belmas, et al., 1982) (Bennett, et al., 1998) (Buechler, 2012) (Wang, et al., 2016). Une étude expérimentale réalisée par Le (Le, 2007) a étudié l’influence du niveau du chargement et de la pression sur la viscoélasticité. En analysant les résultats des essais de compression cyclique et compression triaxiale cyclée à niveau de pression hydrostatique de 5 MPa et 10 MPa, Le (Le, 2007) a suggéré que le comportement du matériau PBX étudié présente un comportement viscoélastique linéaire en contrainte. Aussi, en comparant la contrainte visqueuse à deux niveaux d’iso-valeurs de la contrainte globale, l’auteur a conclu que la partie viscoélastique du comportement ne dépend pas de la pression. A partir de ces observations, un modèle viscoélastique de type Maxwell généralisé a été proposé. Concernant le simulant, le post-traitement des résultats expérimentaux des essais de traction, compression, et compression hydrostatique à 5 et 10 MPa montre aussi un comportement qui peut être modélisé avec une viscoélasticité linéaire. Ainsi, le choix d’un modèle de type Maxwell généralisé apparaît judicieux. Nous avons choisi de garder cette architecture pour modéliser le caractère viscoélastique du matériau comme la plupart des modèles existants dans la littérature.
L’intégration de la viscoélasticité avec la formulation microplan a déjà été réalisée, principalement pour les matériaux béton soit avec le modèle de Maxwell soit avec le modèle de Kelvin (Di Luzio & Cedolin, 2007) (Ozbolt & Reinhardt, 2001) (Ozbolt & Bazant, 1992) (Hasegawa & Bazant, 1993) (Bazant, et al., 2000). À cause de la contrainte cinématique inhérente à la formulation microplan, le schéma Maxwell est plus efficace que celui de Kelvin (Zi & Bazant, 2002). Cette contrainte postule que c’est le tenseur de déformation macroscopique qui est projeté sur les microplans et des relations constitutives sont ensuite
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appliquées sur chaque direction pour évaluer les composantes de contrainte (Gambarelli, et al., 2016).
Di Luzio (Di Luzio, 2009) a proposé un modèle microplan avec une viscoélasticité définie au niveau globale. Dans cette approche l’auteur propose de combiner un modèle microplan pour un béton (version modifiée du modèle microplan M4) (Di Luzio & Cedolin, 2007) (Di Luzio, 2007) avec un schéma de Maxwell intégré en série. Dans ce modèle, le comportement viscoélastique est défini à l’échelle globale et non pas à l’échelle des microplans. Cette approche sera dénotée "approche extérieure".
Zi et Bazant (Zi & Bazant, 2002) ont proposé un modèle avec la viscoélasticité définie au niveau des directions des microplans. Dans cette approche, les auteurs ont incorporé le fluage du béton dans le modèle microplan M4 (Caner & Bazant, 2000) (Bazant, et al., 2000), simplement en remplaçant la loi de comportement élastique par une loi de comportement viscoélastique donnée par un élément Maxwell dans chaque direction. Cette approche sera dénotée "approche intérieure".
Dans notre étude les deux approches sont étudiées et les équations correspondantes sont développées. La structure rhéologique consiste en un schéma de Maxwell à 9 mécanismes viscoélastiques et un mécanisme élastique. Par analogie avec les matériaux asphaltes (Saadeh, 2005), l’anisotropie de l’opérateur de rigidité due à l’endommagement est censée impliquer l’anisotropie des temps de relaxation, tandis que la viscosité est considérée constante dans le temps et dans l’angle solide.
La viscoélasticité est implémentée en utilisant un schéma implicite avant. La présence de l’opérateur d’endommagement anisotrope complique l’implémentation analytique sur le temps d’une étape. L’endommagement est calculé à partir de la seule branche élastique (sans
viscosité). Un seul ensemble de variables d’endommagement 𝑑𝑉, 𝑑𝐷 et 𝑑𝑇 est introduit pour
l’ensemble du modèle multi-branches (pour les parties élastiques et viscoélastiques). Les lois d’évolution de l’endommagement dans le modèle viscoélastique sont non-associées en raison à la fois de la présence des termes d’effectivité précédemment détaillés, et du fait que c’est l’énergie de la branche élastique seule qui pilote l’endommagement agissant sur toutes les
branches. Ces lois sont exprimées de la même manière que l’équation de 𝑑𝑉𝐷𝑇 = 𝑓(𝐹𝑉𝐷𝑇, 𝑝)
pour chaque microplan, mais dans lesquelles FV, FD et FT ne représentent pas les forces
associées des variables d’endommagement. Cet endommagement calculé affecte tous les modules de toutes les branches de la même manière.
110 3.2.2 Approche extérieure
Dans cette approche, l’endommagement est calculé avec le modèle microplan dans un premier temps. Il n’existe pas d’autres variables d’état outre que les variables d’endommagement. Le modèle microplan est utilisé pour générer les 10 opérateurs élastiques endommagés pour les mécanismes du schéma de Maxwell. L’opérateur est un tenseur de
rigidité endommagé de 4ième ordre ℂ𝑑 calculé en utilisant les modules élastiques et
viscoélastiques du schéma de Maxwell de la manière suivante :
ℂ𝑚𝑑 = 3𝜆𝑚𝕀𝑉+ 2𝜇𝑚𝕀 − 6 × 𝒏 × (𝛼𝑉× 𝑑𝑉× 𝐸𝑉𝑚× 𝑽⨂𝑽 + 𝛼𝐷× 𝑑𝐷× 𝐸𝐷𝑚+ 𝑑𝑇× 𝐸𝑇𝑚× 𝑻𝑻. 𝑻)
(Eq. 32)
L’indice m désigne le mécanisme du schéma Maxwell généralisé. 𝐸𝑉𝑚, 𝐸𝐷𝑚 et 𝐸𝑇𝑚 sont
respectivement le module volumique, le module déviatorique et le module tangentiel définis par mécanisme. Pour les mécanismes viscoélastiques, ces modules sont calculés à partir des
modules visqueux 𝐸𝑚𝑣. Dans cette approche, les déformations élastiques et les contraintes
sont obtenues à partir des mécanismes viscoélastiques et du mécanisme élastique du schéma de Maxwell comme on peut le voir sur le schéma rhéologique de la Figure 94.
Figure 94. Schéma de l'approche extérieure
Le schéma de Maxwell implique que :
𝜎𝑡𝑜𝑡= ∑ 𝜎𝑚 𝑚 (Eq. 33) Pour chaque mécanisme viscoélastique, la déformation est décomposée en une déformation
élastique 𝜀𝑚𝑒 et une déformation visqueuse 𝜀𝑚𝑣 :
𝜀 = 𝜀𝑚𝑒 + 𝜀𝑚𝑣 (Eq. 34) La continuité de contrainte impose :
𝜎𝑚 = 𝜎𝑚𝑒 = 𝜎𝑚𝑣 (Eq. 35)
Le comportement à l’intérieur des mécanismes est décrit par :
pour l’élasticité : 𝜎𝑚𝑒 = ℂ𝑒𝑑: 𝜀𝑚𝑒 (Eq. 36)
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La viscosité est désignée par 𝜂𝑚 et la vitesse de déformation visqueuse est désignée par 𝜀̇𝑚𝑣.
En utilisant les équations précédentes, le développement suivant a été fait pour chaque
mécanisme m :
𝜀𝑛+1 = 𝜀𝑛+ Δ𝜀 (Eq. 38)
n et n+1 désigne respectivement, le début et la fin d’un incrément.
L’Eq. 34 et l’Eq. 38 donnent :
𝜀𝑛+1 = 𝜀𝑛+1𝑒 + 𝜀𝑛+1𝑣 = 𝜀𝑛𝑒+ Δ𝜀𝑒+ 𝜀𝑛𝑣+ Δ𝜀𝑣
→ Δ𝜀𝑣 = 𝜀𝑛+ Δ𝜀 − (𝜀𝑛𝑒+ Δ𝜀𝑒) − 𝜀𝑛𝑣
Les Eqs. 35, 36 et 37 donnent :
𝜎𝑛+1 = 𝜂Δ𝜀 𝑣 Δ𝑡 = 𝜂 Δ𝑡(𝜀𝑛+ Δ𝜀 − 𝜀𝑛+1𝑒 − 𝜀𝑛𝑣) = ℂ𝑛+1𝑑 : 𝜀𝑛+1𝑒 → 𝜀𝑛+1𝑒 = (ℂ𝑛+1𝑑 +𝛥𝑡𝜂 𝕀)−1×𝛥𝑡𝜂 (𝜀𝑛𝑒+ 𝛥𝜀) (Eq. 39) La différenciation volumique-déviatorique est considérée dans le modèle viscoélastique.
Avant l’inversion, l’opérateur ℂ𝑚𝑑 est décomposé en une partie volumique et une partie
déviatorique pour obtenir à la fin la déformation élastique volumique 𝜀𝑒𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 et la
déformation élastique déviatorique 𝜀𝑒𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 avec les expressions suivantes (pour chaque
mécanisme) : 𝜀𝑚𝑒𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛+1 = (ℂ𝑛+1𝑑𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 +𝜂𝑚𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝛥𝑡 𝕀𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒) −1 ×𝜂𝑚𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝛥𝑡 (𝜀𝑚𝑒𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛 + ∆𝜀𝑛𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒) (Eq. 40) 𝜺𝑚𝑒𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛+1 = (ℂ𝑛+1𝑑𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 +𝜂𝑚𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝛥𝑡 𝕀𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒) −1 ×𝜂𝑚𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝛥𝑡 (𝜺𝑚𝑒𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛 + ∆𝜺𝑛𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒) (Eq. 41)
𝜂𝑚𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 et 𝜂𝑚𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 sont respectivement la viscosité volumique et la viscosité déviatorique par mécanisme calculées comme suit :
𝜂𝑚𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝐾𝑚× 𝜏𝑚 𝜂𝑚𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝜇𝑚× 𝜏𝑚
(Eqs. 42)
𝜏𝑚 est le temps de relaxation de chaque branche. 𝐾𝑚 et 𝜇𝑚 sont respectivement le module de
compressibilité et le module de cisaillement par mécanisme calculés à partir des modules
112 3.2.3 Approche intérieure
Dans cette approche, le modèle viscoélastique est intégré dans chaque direction de microplan, suivant la décomposition V-D-T. Ceci implique la détermination de la déformation élastique et de la contrainte dans chaque direction et dans chaque mécanisme comme le montre le schéma rhéologique de la Figure 95.
Figure 95. Schéma de l'approche intérieure
L’expression de la déformation élastique dans chaque mécanisme viscoélastique présentée dans l’approche extérieure (Eq. 40) et (Eq. 41), est en fait amenée au niveau des microplans et projetée suivant la décomposition V-D-T donnant ainsi les expressions suivantes :
𝜀𝑚𝑒𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛+1 = ( 𝜂𝑚𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 ∆𝑡×𝐸𝑚𝑉×(1−𝛼𝑉𝑑𝑉)+𝜂𝑚𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒) × (𝜀𝑚𝑒𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛 + ∆𝜀𝑛𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒) (Eq. 43) 𝜀𝑚𝑒𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛+1 = ( 𝜂𝑚𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 ∆𝑡×𝐸𝑚𝐷×(1−𝛼𝐷𝑑𝐷)+𝜂𝑚𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒) × (𝜀𝑚𝑒𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒𝑛 + ∆𝜀𝑛𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒) (Eq. 44) 𝜺𝑚𝑒𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛+1 = ( 𝜂𝑚𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 ∆𝑡×𝐸𝑚𝑇×(1−𝛼𝑇𝑑𝑇)+𝜂𝑚𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒) × (𝜺𝑚𝑒𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒𝑛 + ∆𝜺𝑛𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒) (Eq. 45) avec 𝜂𝑚𝐷é𝑣𝑖𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 = 𝜂𝑚𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒.
Les deux approches développées présentent des équations différentes. L’approche extérieure amène à gérer des tenseurs d’ordre 4 tandis que l’approche intérieure permet de gérer des scalaires seulement. L’anisotropie du comportement dans l’approche extérieure est traduite par l’anisotropie des opérateurs tensorielle d’ordre 4 qui affectent les branches du modèle rhéologique. Dans l’approche intérieure, un comportement viscoélastique est intégré dans chaque direction ce qui donne des déformations élastiques des branches viscoélastiques directionnelles différentes. L’approche intérieure est plus simple à intégrer et à gérer que l’approche extérieure. De plus, avoir un écoulement viscoélastique différent dans chaque direction semble plus intéressant à modéliser. C’est donc cette approche que nous avons retenue.
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