Chapitre 3. Modélisation et outils de simulation
3.2. Modélisation et simulation d’un réseau périodique d’électrodes métalliques déposées à la surface
Dans la majorité des applications, l’épaisseur du substrat permet de considérer le matériau comme un milieu de propagation semi-infini où se propagent des ondes planes monochromatiques. Les modèles physico- mathématiques sont très sophistiqués. Les programmes de simulation utilisent des méthodes de type « éléments finis » (FEM, de l’anglais « Finite Element Method ») et « éléments de frontières » (BEM, de l’anglais « Boundary Element Method »), basées sur des formulations intégrales et les fonctions de Green. Dans le cas de hautes fréquences, il est également nécessaire d’utiliser un simulateur qui permet de prévoir le comportement électromagnétique des dispositifs SAW et leur interaction avec l’environnement. Il est par exemple possible d’utiliser des logiciels comme HFSS ou Qucs qui permettent de connecter des éléments parasites au modèle simulé dans le but de se rapprocher des conditions réelles.
3.2.1. Equations de base de propagation des ondes acoustiques
La propagation d’une onde élastique dans un milieu solide est régie par les équations suivantes :
𝜎𝑖𝑗(𝒓, 𝑡) = 𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙(𝒓)𝑢𝑘,𝑙(𝒓, 𝑡) , Équation 3-1
𝜎𝑖𝑗,𝑗(𝒓, 𝑡) = 𝜌(𝒓)
𝜕2𝑢𝑖(𝒓, 𝑡)
𝜕𝑡2 , Équation 3-2
avec 𝑢𝑖 les trois déplacements dans l’espace, 𝜎𝑖𝑗 les tenseurs de contrainte, c’est la contrainte exercée par la force suivant l’axe 𝑖 (𝑥𝑖) sur la surface notée 𝑗. Concernant les propriétés du matériau, 𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙 sont ses constantes élastiques et 𝜌 sa masse volumique. Ces valeurs sont des constantes pour un matériau donné mais peuvent varier spatialement dans le cas d’un matériau hétérogène. Les indices 𝑖, 𝑗, 𝑘 et 𝑙 prennent une valeur comprise entre 1 et 3, correspondant aux trois dimensions de l’espace. Une virgule qui précède un indice indique une dérivée et une somme de cette dernière sur les indices répétés. Pour une valeur fixe de temps et d’espace, l’équation précédente peut s’écrire de la façon suivante,
𝜎𝑖𝑗 = ∑ ∑ 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜕𝑢𝑙 𝜕𝑥𝑘 3 𝑙=1 3 𝑘=1 Équation 3-3
Ce type d’équation, composée de boucle sur les différents indices, peut être facilement intégré dans un programme de calcul.
3.2.2. Comportement mécanique et piézoélectricité – modélisation par éléments finis
Précédemment, nous avons abordé les notions de base de propagation acoustique en milieu solide. Dans cette étude, le substrat considéré est de nature piézoélectrique. Ainsi, en plus des équations de mécanique du solide, interviennent les notions de champs électriques associés aux déformations. Les coefficients élastiques ne suffisent plus pour formuler le problème. Il est donc nécessaire d’introduire des coefficients de piézoélectricité. Comme tous matériaux piézoélectriques, il apparait des charges électriques si on le déforme et inversement. Ces phénomènes peuvent être formulés par les équations suivantes,
𝑫 = 𝜀𝑬 + 𝑒𝑺 , Équation 3-4
𝜎 = 𝑐𝑺 − 𝑒𝑬 , Équation 3-5
avec 𝑫 le vecteur de déplacement électrique, 𝜀 la matrice de permittivité, 𝑒 la matrice des coefficients piézoélectriques, 𝑬 le vecteur de champ électrique, 𝑺 le tenseur des déformations mécaniques. La première équation montre la polarisabilité du matériau diélectrique lorsque celui-ci est déformé. A l’inverse, la seconde équation exprime, quant à elle, l’apparition de contraintes et de déformations lorsque le matériau piézoélectrique est placé dans un champ électrique.
Afin de pouvoir effectuer des calculs numériques à partir de ces équations, il est nécessaire de connaitre les constantes du matériau étudié. L’organisation de ces données est indiquée dans le Tableau 3-1.
Tableau 3-1 : Organisation d’un fichier de données d’un matériau piézoélectrique.
Concernant les rigidités, elles sont de l’ordre de 1011 N/m² (100 GPa). Dans un souci de simplicité et compacité,
les valeurs dans le tableau sont exprimées en 1011 N/m². Les constantes piézoélectriques sont en général
comprises entre 0.1 et 10 C/m². Souvent, seules sont données les valeurs des constantes indépendantes. En effet, les éléments de symétrie ponctuelle des cristaux réduisent le nombre de composantes indépendantes des tenseurs caractérisant l’élasticité et la piézoélectricité. Ces données sont connues pour la plupart des matériaux. A ce tableau est généralement ajoutée la masse volumique du matériau.
La partie piézoélectrique est prise en compte par une méthode BEM, à l’interface du substrat. Pour décrire l’état de surface du substrat piézoélectrique, on utilise la fonction de Green.
3.2.3. Fonction de green spectrale dans les milieux semi-infinis – éléments de frontière
(BEM)
La partie piézoélectrique du problème est traitée par une méthode BEM [44]. La fonction de Green permet de décrire l’état de surface du substrat en reliant les déplacements mécaniques et le potentiel électrique aux contraintes mécaniques et aux charges électriques. Elle permet la caractérisation complète du comportement électromagnétique d'un substrat semi-infini.
{ 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝜙 } (𝛽, 𝜔) = −𝑗𝜔 [ 𝐺11 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅12 𝐺21 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅22 𝐺13 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅14 𝐺23 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅24 𝐺31 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅32 𝐺41 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅42 𝐺33 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅34 𝐺43 ̅̅̅̅̅ 𝐺̅̅̅̅̅44] (𝛽, 𝜔) { 𝜎21 𝜎22 𝜎23 𝑄 } Équation 3-6
𝑢𝑗 représente le déplacement mécanique suivant les trois dimensions, 𝜙 est le potentiel électrique, 𝜎𝑖𝑗 les contraintes et 𝑄 les charges électriques. Les coefficients en violet correspondent à la partie mécanique, ceux en rouge correspondent à la partie électrique, et ceux en bleu correspondent à la partie piézoélectrique. Les
paramètres de propagation des ondes élastiques peuvent ainsi être déterminés de façon systématique selon le matériau et les orientations cristallines, ce qui permet de prévoir les configurations compatibles avec les applications recherchées.
L’utilisation de matériaux monocristallins rend les prévisions très efficaces, c’est-à-dire que les résultats de simulation sont très proches de ceux obtenus en pratique. Ceci est dû à la grande stabilité de leurs propriétés physiques et à la précision des procédés de photolithographie.
3.2.4. Calcul des courbes de lenteurs
Dans le cas d’un substrat homogène et libre, les vitesses des ondes acoustiques de surface sont déterminées en cherchant les pôles et les zéros de la permittivité effective. Le calcul de permittivité effective est obtenu par résolution de la fonction de Green restreinte à ses composantes électriques [45]. Ce calcul est détaillé dans la référence [46].
Dans le cas d’un substrat surmonté d’électrodes métalliques, deux paramètres supplémentaires sont pris en compte : la dépendance en fréquence engendrée par la périodicité du réseau d’électrodes, et l’effet de masse des électrodes. La résolution du problème passe alors par le calcul de l’admittance harmonique et la détermination de ses pôles. L’effet de masse est pris en compte grâce à la méthode de calcul par éléments finis.
3.2.5. Méthode par éléments finis (FEM)
La partie purement mécanique est traitée par une méthode FEM [47], l’électrode est discrétisée en éléments de base identiques permettant de résoudre le problème numériquement.
Figure 3-1 : Illustration d’une électrode discrétisée
L’électrode étant un matériau isotrope et homogène, les coefficients élastiques de l’électrode dépendent donc uniquement de E et ν, sa loi de comportement peut s’écrire :
𝜎𝑖𝑗= 𝜆𝑆𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗+ 2𝜇𝑆𝑖𝑗 , Équation 3-7
avec λ et µ les constantes de Lamé calculées à partir du module d’Young E et du coefficient de Poisson ν, 𝛿𝑖𝑗 est le symbole de Kronecker.
Enfin pour modéliser l’électrode il faut prendre en compte sa masse volumique ρ car on utilise la loi fondamentale de la dynamique pour formuler le problème :
∑𝜕𝜎𝑖𝑘 𝜕𝑥𝑘 𝑘 = 𝜌𝜕 2𝑈 𝑖 𝜕𝑡2 . Équation 3-8
Lorsque l’onde acoustique passe sous une électrode, elle est ralentie. Ce ralentissement entraîne une perte d’énergie. L’énergie perdue par l’onde incidente est alors convertie en une onde réfléchie de sens opposée.
3.2.6. Modèle périodique infini
Pour faciliter les calculs, le problème est dans un premier temps simplifié à un modèle d’onde acoustique se propageant sous un réseau d’électrodes périodique et infini. Le modèle est illustré dans la figure ci-dessous,
Figure 3-2 : Illustration du couplage électroacoustique au niveau d’un réseau infini d’électrodes.
Le modèle étant périodique, la résolution du problème se résume à la résolution d’une cellule élémentaire. Le schéma l’illustrant est le suivant,
Figure 3-3 : Représentation de la résolution d’une cellule d’un modèle périodique et infini d’électrodes.
On considère alors une « cellule » constituée d’une seule électrode et l’on ajoute des conditions de périodicité de l’onde de part et d’autre de la cellule dues à la périodicité du réseau.
La matrice mixte décrit le fonctionnement global d’un transducteur. Le port électrique est décrit avec I, V. Les ports acoustiques sont décrits en termes d’ondes entrantes Ei et d’ondes sortantes Si,
{ 𝑆1 𝑆2 𝐼 } = [ 𝐷 𝛼1 𝛼2 𝛽1 𝛽2 𝑌𝑒𝑙 ] { 𝐸1 𝐸2 𝑉 } . Équation 3-9
𝐷 = [𝑡𝑟11 𝑡12
21 𝑟22] 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑡12= 𝑡21 . Équation 3-10
Les paramètres r et t sont respectivement les coefficients de réflexion et de transmission sous l’électrode. Les coefficients 𝛼1 et 𝛼2 caractérisent les couplages électroacoustiques. Les coefficients 𝛽1 et 𝛽2 caractérisent les couplages électroacoustiques. Le scalaire 𝑌𝑒𝑙 représente l’admittance élémentaire d’une électrode. La matrice globale est alors appelée Matrice Mixte.
La directivité peut être définie de la manière suivante :
𝑑 =|𝛼1| 2− |𝛼 2|2 |𝛼1|2+ |𝛼 2|2 . Équation 3-11
Pour caractériser un système à N électrodes, on cascade les matrices chaines élémentaires.
La détermination d’une solution se fait par résolution de plusieurs problèmes à deux dimensions, en combinant différentes simulations, faites dans des plans différents. Le résultat de ce type de simulation est en général très proche de la mesure. Contrairement à une simulation par éléments finis à trois dimensions, qui prendrait plusieurs jours de calculs pour caractériser un dispositif SAW, la résolution du problème par cette méthode ne dure que quelques minutes.
La société SENSeOR dispose ainsi de plusieurs programmes de simulation permettant de caractériser la réponse en fréquence de dispositifs SAW à géométries variables. Ils sont issus de nombreux travaux de recherche menés antérieurement par la société Thales Microsonics puis Temex en partenariat avec le LPMO (Laboratoire de Physique et Métrologie des oscillateurs). Les résultats de simulation sont très précis et permettent de concevoir des dispositifs SAW avec confiance.