Méthode de décomposition en ondes planes (PWE)

Cette méthode n’est décrite que pour les matériaux anisotropes pour simplifier la présentation de la méthode. Elle est issue de l’application du théorème de Bloch-Floquet. Tous les modes propres d’un cristal parfait (dits ondes de Bloch) sont issus du produit d’un terme d’onde plane avec une fonction périodique dans la cellule unitaire. Dans la méthode PWE (Plane Wave Expansion), la fonction périodique est considérée explicitement à travers la décomposition en série de fourrier. Pour tous les déplacements, on peut écrire

𝑢(𝒓, 𝑡) = ∑ 𝑢𝐺 𝐺

(𝜔, 𝒌)𝑒(𝑙(𝜔𝑡−𝒌∙𝒓−𝑮∙𝒓)) _,

Équation 3-21

dans laquelle les vecteurs de la matrice réciproque sont (dans le cas d’une maille carrée), 𝑮 = (2𝜋𝑚1 𝑎 ⁄ , 2𝜋𝑚2 𝑎 ⁄ , 2𝜋𝑚3 𝑎

⁄ )𝑇. On peut noter que les coefficients de Fourier 𝑢𝐺(𝜔, 𝒌) sont ceux de la partie périodique de la solution d’onde de Bloch, 𝑢̅. La périodicité de la structure est également utilisée pour décomposer les constantes du matériau en séries de Fourier,

𝛼(𝒓) = ∑ 𝛼𝐺 𝐺

𝑒(−𝑙𝑮∙𝒓) ,

Équation 3-22

où 𝛼 désigne soit la masse volumique 𝜌 soit les constantes élastiques 𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙. Les harmoniques de Fourier 𝛼𝐺 sont facilement calculées pour différentes géométries de maille.

3.3.5.1.

Diagramme de bandes

En assumant un découpage en N harmoniques de la décomposition en série de Fourier, les notations vectorielles suivantes sont considérées pour les harmoniques des champs de contrainte et de déplacement (3N composantes chacun), 𝑇𝑖 = (𝑡𝑖𝐺1… 𝑡𝑖𝐺𝑁) 𝑇 , _{Équation 3-23} 𝑈 = (𝑈𝐺1… 𝑈𝐺𝑁) 𝑇 . Équation 3-24

Dans ces équations, les vecteurs de la matrice réciproque, 𝐺𝑚, sont notés par un unique indice 𝑚. Les ondes de volumes sont ensuite obtenues par les valeurs propres de l’équation séculaire :

𝜔2𝑅𝑈 = ∑ Γ𝑖 𝑖,𝑙=1,3

𝐴𝑖𝑙Γ𝑙𝑈 ,

Équation 3-25

avec les matrices 3N*3N, Γ𝑖, 𝐴𝑖𝑙 et 𝑅 définies par les N*N blocks contenant 3*3 éléments,

(Γ𝑖)𝑚𝑛= 𝛿𝑚𝑛(𝑘𝑖+ 𝐺𝑖𝑚)𝐼3 , _{Équation 3-26} (A_𝑖𝑙)_𝑚𝑛= A𝑖𝑙𝐺𝑚−𝐺𝑛 ,

Équation 3-27

(R)𝑚𝑛= 𝜌𝐺_𝑚−𝐺_𝑛𝐼3 .

Équation 3-28

𝐼3 est la matrice identité 3*3 et

A𝑖𝑙𝐺(𝑗, 𝑘) = c𝑖𝑗𝑘𝑙𝐺 , _{Équation 3-29}

avec 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 = 1, 2, 3 et 𝑚, 𝑛 = 1, …𝑁. L’Équation 3-25 définit un problème aux valeurs propres généralisé qui peut être résolu pour 𝜔2 _{en fonction de 𝑘 pour obtenir la structure de bande des ondes de volumes. Cette} formulation englobe les problèmes 1D, 2D et 3D des ondes de volume, et également les ondes hors-plans dans les problèmes 2D.

Dans le cas d’un cristal phononique 2D [48] dans lequel on souhaite résoudre le problème pour des ondes se propageant en surface, le modèle est considéré périodique dans les directions 𝑥1 et 𝑥2 et invariant dans la direction 𝑥3, à l’exception de la surface en 𝑥3= 0. Les ondes de surface sont définies par la fréquence angulaire 𝜔 et un vecteur d’onde 𝑘 = (𝑘1, 𝑘2, 0)𝑇 défini dans le plan de la surface. Le cristal phononique n’est pas périodique le long de 𝑥3, 𝑘3 peut être obtenu en fonction des autres paramètres 𝑘1, 𝑘2 et 𝜔. Les déplacements et les tenseurs de contrainte sont regroupés dans un vecteur d’état à 6N composantes et obtenir 𝑘₃ comme valeur propre de l’équation,

[𝜔2𝑅̃ − 𝐵 0 −𝐶2 𝐼𝑑] 𝐻 = 𝑘3[ 𝐶1 𝐼𝑑 𝐷 0] 𝐻 , Équation 3-30 dans laquelle 𝐵 = ∑ Γ𝑖𝐴̃𝑖𝑗Γ𝑗 𝑖,𝑗=1,2 , 𝐶1= ∑ Γ𝑖𝐴̃𝑖3 𝑖=1,2 , 𝐶2= ∑ Γ𝑗𝐴̃3𝑗 𝑗=1,2 , 𝐷 = 𝐴̃33 . Équation 3-31

La résolution de ce système mène à 6N valeurs propres complexes 𝑘3𝑞 et des vecteurs propres 𝐻𝑞. En regroupant dans les vecteurs propres les six composantes correspondantes à m harmoniques, on peut écrire,

ℎ𝑚𝑞= (

(𝑢_𝑖)_𝐺𝑚𝑞 (𝑇3𝑗)_𝐺

𝑚𝑞

) , _{Équation 3-32}

avec 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, 𝑚 = 1, …𝑁, et 𝑞= 1, …6𝑁. Le déplacement généralisé et les champs de contrainte normal sont obtenus à partir de la superposition avec les amplitudes relatives 𝐴𝑞,

ℎ(𝑟, 𝑡) = ∑ ∑ 𝐴𝑞ℎ̃𝑚𝑞𝑒(𝐽(𝜔𝑡−(𝐺𝑚+𝑘𝑞)∙𝑟)) 6𝑁

𝑞=1 𝑁

𝑚=1 Équation 3-33

Cette superposition est une approximation finie d’un ensemble infini. De cette décomposition en ondes partielles, les conditions aux limites peuvent être construites pour résoudre les modes de surface et de plaque. La méthode PWE possède cependant un inconvénient visible dans l’Équation 3-21, la transformation en série de Fourrier des déplacements et des champs de contrainte rend implicitement la solution continue dans la cellule unitaire. Les déplacements et les contraintes normales peuvent être considérés comme continues à l’interface de plusieurs solides, ce n’est en revanche pas le cas des contraintes de cisaillement appliquées le long de l’interface. Le problème se pose également dans le cas d’une interface solide/liquide, ce qui rend cette méthode inefficace ici.

3.3.5.2.

Les ondes évanescentes dans un cristal phononique

La méthode PWE est limitée car elle permet de calculer les fréquences propres pour une valeur donnée du vecteur d’onde de Bloch. Par conséquent, ce modèle ne tient pas compte du comportement visqueux du matériau dont les constantes élastiques complexes sont dépendantes de la fréquence. Une extension de cette méthode permet de prendre en considération cette caractéristique particulière. Les ondes évanescentes jouent un rôle important dans la propagation élastique. Celles-ci doivent donc être prises en compte dans la résolution d’un problème, pour une complète caractérisation du cristal phononique. Les ondes évanescentes de Bloch peuvent être caractérisées par les solutions propres de l’équation de Helmotz, décrivant la propagation d’onde monochromatique, pour laquelle le vecteur d’onde peut être complexe. Habituellement, les structures de bande

sont obtenues en considérant le vecteur d’onde comme une valeur réelle. Dans le cas des structures de bande complexes, celles-ci sont obtenues en considérant des fréquences réelles, et en résolvant le problème pour des vecteurs d’onde complexe.

Pour exemple, montrons comment la structure de bande complexe peut être obtenue pour un cristal phononique solide. En partant de l’Équation 3-12, et en la multipliant par 𝛼_𝑗 on obtient,

𝑇̅′𝑖 = 𝛼𝑗𝑇̅𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙𝛼𝑗𝑢̅𝑘,𝑙− 𝑙𝑘𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙𝛼𝑗𝛼𝑙𝑢̅𝑘 . _{Équation 3-34} En insérant l’Équation 3-12 dans l’Équation 3-13, on obtient,

𝜌𝜔2_𝑢̅

𝑖 = −𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙𝑢̅𝑘,𝑗𝑙+ 𝑙𝑘𝑐𝑖𝑗𝑘𝑙𝛼𝑙𝑢̅𝑘,𝑗+ 𝑙𝑘𝑇̅′𝑖 . _{Équation 3-35}

𝑇̅′𝑖 est la composante selon 𝑥𝑖 du tenseur de contrainte projeté dans la direction de propagation. Dans les deux dernières équations, le module du vecteur d’onde 𝑘, est en facteur de termes linéaires dans les champs périodiques et inconnues 𝑢̅ et 𝜙̅. Par conséquent, ces équations peuvent s’utiliser comme base pour formuler un problème aux valeurs propres généralisé pour le vecteur d’onde 𝑘. Le problème aux valeurs propres peut se mettre sous la forme :

( −𝐶2 𝐼𝑑 𝜔2𝑅 − 𝐵 0) ( 𝑈 𝑙𝑇′) = 𝑘 ( 𝐷 0 𝐶1 𝐼𝑑) ( 𝑈 𝑙𝑇′) , Équation 3-36 avec 𝐵 = Γ𝑖A𝑖𝑗Γ𝑗, 𝐶1= Γ𝑖A𝑖𝑗α𝑗, 𝐶2= α𝑗A𝑖𝑗Γ𝑗, 𝐷 = α𝑗A𝑖𝑗α𝑗, et (Γ)𝑚𝑛 = (𝑘0𝑖+ 𝐺𝑖𝑚)𝛿𝑚𝑛. L’Équation 3-30 apparait comme un cas particulier de l’équation ci-dessus.