Chapitre II: Endommagement de la sous-couche
II.. 3.4.2.2 Identification des paramètres
II.6 Modélisation de la rupture fragile de la protection en fatigue à 200°C
II.6.1. Configuration du modèle
II.6.1.1. Terminologie
Les quelques termes qui sont définis ci-dessous sont utilisés dans le modèle développé.
Séquence: nombre de cycles réalisés à même amplitude de déformation
Section: les sections de l’éprouvette d’essai sont numérotées par diamètres croissants à partir de 0. S0 est donc la section centrale. Dans le fichier de saisie du logiciel, les sections de la première éprouvette testée sont numérotées de 0 à i, celles de la deuxième éprouvette testée sont numérotées de i+1 à j et ainsi de suite.
Etape: ce terme n’est pas relatif à l’expérience. Il désigne, dans le logiciel d’identification, le groupe d’éléments courants de la protection qui sont affectés par la propagation de la fissure.
Elément: résulte de la discrétisation de la protection pour l’identification des paramètres de la loi de Basquin.
Elément i: l’élément qui clive en premier à l’étape 0 (i signifie initial).
Ensemble {i+k}: ensemble des éléments affectés par la fissuration à l’étape k.
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La couche d’aluminiure de nickel, C1A ou CN22, est discrétisée par des éléments circonférentiels (Figure II.45).
substrat protection couche 1 protection couche 2 Elément i Elément i+1
Elément i+1 Elément i+1 Elément i+1
Elément i+1 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+2 Elément i+k Elément i+k
Elément i+k Elément i+k Elément i+k Elément i+k Elément i+k Elément i+k Elément i+k
Elément i+k Elément i+k dθθθθ dr dr dr
Figure II.45: discrétisation de la protection et du substrat
Deux épaisseurs dr composent la protection. Une troisième épaisseur dr, introduite dans le substrat, constitue une couche virtuelle qui supportera les transferts de charge lors de l’extension de la fissure dans la protection.
L’essai de fatigue mené jusqu’à la rupture totale de l’éprouvette et décrit dans le paragraphe II.5.3 a montré que la durée de vie de la protection, en terme d’amorçage d’une fissure fragile, était environ 1000 fois inférieure à la durée de vie qui permet de propager une fissure de 0,5mm dans le substrat (Le paragraphe II.5.3 fournit davantage de précisions sur le faciès de rupture). Cela montre que le substrat ne fissure, ni au stade de l’amorçage des fissures dans la protection, ni lors de la propagation brutale de la fissure. Dans le modèle, l’extension de la fissure est donc parallèle au substrat et la couche virtuelle dans le substrat ne se fissure pas.
On choisit l’angle dθ de telle sorte que Rdθ=dr, où R est le rayon du substrat. Comme R est grand devant dr, on peut supposer que l’aire de tous les éléments est constante et égale à Rdθdr.
II.6.1.3. Mécanisme de fissuration
On suppose que la rupture du premier élément i (initial) correspond à la rupture d’un grain orienté de manière idéale. Or la contrainte critique mesurée expérimentalement par les essais de traction sur éprouvettes multisections est une contrainte macroscopique. Dans un polycristal dont les grains sont orientés de manière isotrope, il existe des grains dont l’orientation leur confère une contrainte critique plus faible que la contrainte macroscopique si bien que la rupture de l’élément i intervient dès le premier cycle de fatigue.
L’étape 0 correspond au clivage de l’élément i.
A l’étape 1, la fissure initiale de l’élément i avance dans l’ensemble {i+1}. Un transfert de charge a lieu de l’élément i aux éléments de l’ensemble {i+1}
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A l’étape k, l’ensemble {i+k-1} vient de se fissurer totalement et l’ensemble {i+k} se trouve affecté.
II.6.2. Mécanique de la fissuration
II.6.2.1. Le transfert de charge
Il est défini par l’accroissement de charge subi par un ensemble d’éléments {i+k} lors du passage de l’étape k-1 à l’étape k. Cet accroissement est une fonction des aires relatives entre deux ensembles d’éléments.
σ{i+k}= σ{i+k−1}(1+surface qui vient de fissurer / surface des plus proches voisins)
σ{i+k}= σ ∞
1 k
∏
(1+surface qui vient de fissurer / surface des plus proches voisins) En considérant la géométrie du problème, les transferts de charge relatifs aux étapes 1 et 2 doivent être décrits de façon particulière puis, une tendance générale s’installe. L’étape 1 consiste à reporter la charge d’un élément sur ses cinq voisins {i+1} (voir Figure II.45).A l’étape 2, cinq éléments cassent et leur charge se reporte sur neuf éléments, dont quatre dans la protection et cinq dans le substrat. En toute rigueur, il faudrait tenir compte des modules d’élasticité respectifs de la protection et du substrat pour pondérer le transfert de charge. Nous avons négligé cet aspect puisque la différence de modules d’élasticité entre la protection et le substrat à 200°C n’est que de 20000 MPa.
A partir de l’étape 3, la rupture affectera toujours quatre éléments de la protection (les éléments du substrat ne cassent pas) dont la charge sera répartie sur dix éléments (quatre dans la protection et six dans le substrat). Nous avons choisi de ne pas recharger les éléments de substrat qui ne jouxtent pas directement les éléments cassés de la protection. En effet, la singularité causée par la fissuration de la protection et qui induit l’accroissement de la charge, n’affecte que les plus proches voisins de la fissure.
La schématisation du profil de charge dû au report au voisinage de la fissure est représenté en figure II.46.
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La suite géométrique décrivant le transfert de charge est donnée par l’expression II.31:
σ{i+k}= σ ∞5 3 7 5 æ è öø k−1 II.31 substrat i i+1 i+3 i+3 σ σ dans la protection dans le substrat σ 8 σ 8 σ 8.report σ 8.report σ 8 σ 8.report σ 8.report σ 8
Figure II.46: report de charge sur les plus proches voisins.
II.6.2.2. Effet de l’orientation des grains
L’orientation des grains est supposée isotrope dans l’espace. De l’étape 0 à l’étape 1, on passe d’une orientation du grain i idéale, à une orientation quelconque pour les grains de l’ensemble {i+1}.
L’environnement de i est représenté par un milieu homogène équivalent dont la contrainte critique dépend de l’orientation moyenne des grains. Cette contrainte critique est celle mesurée sur les éprouvettes multisections au paragraphe II.2.3.3.1.
II.6.2.3. Effet de volume
Le clivage du premier grain peut avoir lieu n’importe où sur la section. Ensuite, lorsque la fissure progresse, la zone affectée est située en pointe de fissure et le volume concerné n’est donc plus aussi étendu.
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A partir de la troisième étape, le report de charge s’applique toujours sur quatre éléments de la protection et six éléments du substrat. On considèrera donc que le volume de matière associé à cette étape de fissuration est le volume de quatre éléments.
II.6.2.4. Propagation de la fissure
La description de la propagation est très simpliste puisqu’elle est calculée de manière monodimensionnelle, alors que le modèle présente une configuration en tranches bidimensionnelles.
La taille du défaut initial est la taille de l’élément i, c’est à dire Rdθ=dr. La propagation est régie par une loi de Basquin (expression II.32):
da dN = λ ∆σ ˜ 2˜ σ c æ è ç ö ø ÷ 1 b II.32
où ∆σ = ∆σ˜ ∞. (facteur de report de charge);
˜
σ c = σc.(facteur d'effet de volume);
λ et b sont les paramètres du modèle à identifier.
On dira que l’ensemble d’éléments {i+k} est entièrement fissuré à l’étape k lorsque la taille de la fissure a augmenté d’au moins dr au cours de cette étape. Si l’accroissement de taille est supérieure à dr, on incrémente la taille atteinte à la fin de l’étape k de dr seulement. Cela signifie qu’on ne fissure pas plus d’un groupe d’éléments pendant une étape.
En résume, la taille de la fissure à la fin d’une étape k est (k+1)dr.
Le nombre de cycles final est atteint lorsque σ ˜ max =σ ˜ c; II.33 où lorsque da/dN=λ. ΙΙ.34 (ce qui équivaut à ∆σ =˜ 2 ˜ σ c)
II.6.3. Identification des paramètres
Un logiciel écrit en langage Think Pascal permet d’identifier les deux paramètres b et
λ. Il est présenté en annexe 3. Le logiciel fournit l’ensemble des couples (b, λ) admissibles pour chaque section, c’est à dire les valeurs qui sont telles que le critère d’arrêt soit atteint lorsque le nombre de cycles total calculé est compris entre le nombre de cycles avant et après fissuration obtenus expérimentalement.
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L’identification sur chaque section nous donne un ensemble de couples (b, λ) admissibles. Le couple de valeurs choisi pour constituer les paramètres du modèle est un couple appartenant à l’intersection des ensembles de couples de chaque section.
Les couples (b, λ) retenus pour les deux protections sont indiqués dans le tableau II.5.
b λ(µm)
C1A 0,12 57
CN22 0,16 294
Tableau II.5: paramètres identifiés pour les protections C1A et CN22.
D’après le tableau II.2 et la figure II.6, le diamètre moyen des grains de C1A et CN22 est respectivement dC1A=25,6µm et dCN22=29,6µm. Ainsi, une sollicitation ∆σ atteignant 2σc
conduit à une fissure au premier cycle de taille λ, c’est à dire 2 grains de C1A et 10 grains de CN22. On pourrait donc retrouver ici la fragilité accrue de CN22 par rapport à C1A, ou bien mettre en évidence un effet de texture plus important pour le revêtement CN22.