Jusqu'ici, nous avons exprimé les forces, les coe cients de diusion et les intensités sous des formes qui ont un sens physique simple, notamment en terme de taux d'absorption. Ce choix nous a permis de ne pas eectuer d'approximations trop restrictives pour la généralité du modèle. Il nous faut à présent réaliser des hypothèses simpli catrices pour déterminer la dépendance de ces grandeurs en fonction des paramètres de contrôle. Nous allons décrire les atomes par la structure présentée sur la gure 5.1. Nous étudions l'excitation d'une transition J = 0→ J0 = 1 par deux champs lasers.
excitation par les photons lasers
Chaque faisceau laser a une intensité I±(x, t) = 2IsatΩ2±(x, t)/Γ2 et est quasi-résonnant
avec la transition atomique (ωL ' ω0). Nous supposons que le champ magnétique B est
linéaire en tout point de l'espace : B = bx. Le désaccord de chaque faisceau est :
∆± = ωL− ω0± δ (5.30a)
= ∆± δ (5.30b) Comme précédemment, ∆ est le désaccord des faisceaux pour un atome arrêté au centre du piège et δ = kp/m + µBbx/~ est la somme des décalages Doppler et Zeeman.
Nous utilisons une approche perturbative en δ pour déterminer les expressions des taux d'absorption γ± des photons lasers. δ est traité comme une perturbation de la réponse d'un
atome immobile à l'origine du piège. La résolution de ce problème a fait l'objet de la section 2.2. Nous ne donnerons ici que les résultats utiles pour l'étude du modèle VFP. Dans le chapitre 2, nous avons eectué un développement au premier ordre en δ. L'expression des
taux d'absorption, et des grandeurs qui en découlent, sont donc linéaires en position et en vitesse.
À l'ordre 0, les taux d'absorption sont :
γ±(0) = Γ |Ω±|
2
4∆2+ 2Ω2+ Γ2
avec Ω2 =|Ω
+|2+|Ω−|2. Les contributions à la force et au coe cient de diusion associées
aux faisceaux lasers sont donc :
FL(0) = ~ kLΓ 4∆2 + 2Ω2+ Γ2 |Ω−| 2 − |Ω+|2 (5.31a) DL(0) = 7 5~ 2k2 LΓ Ω2 4∆2+ 2Ω2+ Γ2 (5.31b)
Cette force correspond à la force d'eet d'ombre introduite dans le chapitre 2. Elle est proportionnelle à la diérence locale des intensités.
À l'ordre 1, les cohérences entre états excités modi ent les taux d'absorption : γ±(1) = ∓8 ∆ δ Γ (4∆2+ 2Ω2+ Γ2)2 |Ω±|2+ 2|Ω−|2|Ω+|2 4Γ2 − Ω2 16Γ2∆2+ (2Γ2+ Ω2)2 (5.32) Les contributions proportionnelles à δ de la force et du coe cient de diusion sont :
FL(1) = 8~ kLΓ ∆ δ (4∆2+ 2Ω2+ Γ2)2 Ω2+ 4|Ω−|2|Ω+|2 4Γ2− Ω2 16Γ2∆2+ (2Γ2+ Ω2)2 (5.33a) DL(1) = 7 5~ 2k2 LΓ 8 ∆ δ |Ω−|2− |Ω+|2 (4∆2+ 2Ω2+ Γ2)2 (5.33b) La contribution F(1)
L à la force est souvent mise sous la forme F (1)
L =−αp/m−κx, où α est le
coe cient de friction et κ est la raideur du piège. Les variations de ce dernier coe cient ont été discutées dans la section 2.2. Le terme D(1)
L du coe cient de diusion est proportionnel
in uence des photons diusés
La force FDM et le coe cient de diusion DDM dépendent de la somme et de la diérence
des ux 5.19. Les relations 5.28 exprimant les ux en fonction des intensités lasers donnent : Ψ+(x, t) + Ψ−(x, t) = [I+(∞, t) − I−(∞, t)] − [I+(−∞, t) + I−(−∞, t)] 2~ωL (5.34a) Ψ−(x, t)− Ψ+(x, t) = [I+(∞, t) + I−(∞, t)] − [I+(−∞, t) − I−(−∞, t)] 2~ωL (5.34b) +I+(x, t)− I−(x, t) ~ωL
Nous remarquons que le ux total de photons diusés est une constante indépendante de la position. La contribution au coe cient de diusion liée à la diusion multiple est donc une constante dans le nuage.
Une autre grandeur permet de caractériser la diusion multiple. il s'agit de la section e cace de réabsorption σR, dont le calcul et la mesure ont été largement discutés dans les
chapitres 2 et 4.
Conclusion
Nous avons développé un modèle théorique a n de décrire la dynamique spatio-temporelle des atomes refroidis par laser [Romain2011]. Ce modèle à une dimension est composé d'une équation de Vlasov-Fokker-Planck décrivant les variations de la densité dans l'espace des phases. Le modèle prend également en compte l'évolution des faisceaux lasers dans le nuage. Ces équations couplées ont été déterminées à partir des principes de bases de la physique atomique.
L'équation VFP est une équation aux dérivées partielles (EDP) générale décrivant une grande classe de problèmes physiques. L'intérêt des expériences de refroidissement laser est d'autant plus important. Ce système simple à mettre en oeuvre pourrait servir de simulateur pour d'autres systèmes plus compliqués à manipuler, comme les plasmas.
Au regard de la complexité des équations et notamment de leurs nombreuses non-linéarités, une étude analytique semble compromise. Par contre, il paraît envisageable de les intégrer numériquement. Il peut être utile de simpli er le modèle a n d'identi er les mécanismes qui conduisent à des instabilités du nuage. Grâce à ce modèle, il est possible d'étudier l'impact de la symétrie du piège et le rôle des atomes chauds. L'intégration numérique du système d'équations fera l'objet du chapitre suivant.
Chapitre 6
Simulations numériques du système VFP
dans le régime de faible absorption
La complexité des équations du modèle rend di cile une résolution analytique. Pour al- ler plus loin, nous décidons de nous tourner vers l'intégration numérique du système VFP. L'objectif de ce chapitre est de poser les bases d'une étude numérique. Il faut notamment trouver une méthode pour intégrer l'EDP contenue dans le modèle. Dans ce but, nous avons initié une collaboration avec l'équipe d'optique non-linéaire du laboratoire. Cette équipe tra- vaille sur la thématique des électrons stockés dans des accélérateurs circulaires de particules [Roussel2014]. Les similitudes entre nos deux systèmes vont nous permettre de transposer les méthodes utilisées dans ce domaine à notre système d'atomes froids.
Tout d'abord, nous allons eectuer une étape préalable aux simulations numériques : l'introduction de variables sans dimension. Nous allons ensuite simpli er le modèle global pour le faire tendre vers celui des électrons et ainsi faciliter l'adaptation des méthodes de calcul. Nous nous intéresserons précisément au cas d'une absorption faible sans gaz résiduel. Dans de telles conditions, l'état stationnaire du système est simple à obtenir. Le modèle se réduit à une seule équation diérentielle ordinaire (EDO) décrivant la répartition spatiale de la densité atomique. Nous développerons ensuite la méthode d'intégration de l'équation VFP et les résultats correspondants seront nalement analysés.