Modélisation du problème aéroélastique

La modélisation du problème d’aéroélasticité commence par la représentation du mouvement qu’effectue une turbine à axe vertical. Ce mouvement se caractérise par une vitesse angulaire constante (𝜔) de la pale autour d’un axe perpendiculaire à un écoulement donné. Ce mouvement est représenté à la Figure 14. Cette dernière illustre une vue de haut d’une turbine qui serait placée à la verticale dans un écoulement provenant de la gauche vers la droite de vitesse (𝑈∞). Le profil d’aile utilisé dans le présent

mémoire est un profil NACA 0015. Le choix de ce profil provient des analyses menées par Gosselin (2015) et Gosselin, et al. (2016) qui ont démontré le potentiel intéressant de ce profil pour une application à la turbine à axe vertical.

Figure 14 : Définition des paramètres géométriques d'importance pour le problème.

Le point d’attache de la pale est situé à une distance (𝑥𝑝) du bord d’attaque de l’aile le long de la

corde de cette dernière. Ce point représente l’emplacement du lien rigide reliant la pale au centre de rotation. Le calcul de la performance d’une turbine à axe vertical s’obtient dans un premier temps en déterminant le coefficient de puissance instantané. Ce dernier est défini dans la littérature comme étant :

𝐶𝑃=

𝑃(𝜃) 1

2 𝜌𝑓𝑈∞3𝐷

, _(1.1)

où (𝜌_𝑓) est la densité du fluide considéré, (𝐷) est le diamètre de la turbine et (𝑃(𝜃)) est la puissance instantanée pour une position angulaire (𝜃) donnée dans le cycle. Cette puissance instantanée est obtenue en multipliant le couple instantané de la turbine (𝑀(𝜃)) à sa vitesse angulaire (𝜔) comme :

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𝑃(𝜃) = 𝑀(𝜃)𝜔 . (1.2)

La mesure du couple est tirée des forces fluides ainsi que des forces inertielles agissant à un point positionné à une distance (𝑥𝑝) du bord d’attaque. Ainsi les forces agissant sur ce point de retenue sont par

la suite exprimées en termes de moment au centre de la turbine. L’efficacité de la turbine s’obtient enfin en intégrant la puissance instantanée sur un cycle comme suit :

𝜂 = 1

2𝜋∫ 𝐶𝑃(𝜃) 𝑑𝜃

2𝜋

0

. (1.3)

Dans le même ordre d’idée, il est possible de définir un coefficient de force pour la composante de force tangente (𝐶_𝑥) et normale à la pale (𝐶_𝑦). Tous deux définis comme suit :

𝐶𝑥 = 𝐹𝑥(𝜃) 1 2 𝜌𝑓𝑈∞2𝐷 , 𝐶𝑦= 𝐹𝑦(𝜃) 1 2 𝜌𝑓𝑈∞2𝐷 . _(1.4)

Les paramètres importants permettant de définir le problème sont donnés sous leur forme sans dimension. Dans un premier temps, il y a le facteur de vitesse spécifique (𝜆) qui peut être interprété comme une vitesse de rotation sans dimension. Ce facteur est défini par :

𝜆 =𝜔𝑅 𝑈∞

. (1.5)

Également, il y a le nombre de Reynolds qui est utilisé pour caractériser le rapport entre l’inertie convective et les forces visqueuses dans l’écoulement. Ce dernier est exprimé comme suit :

𝑅𝑒 =𝑈∞𝐷

𝜈 . (1.6)

Ensuite, le paramètre de solidité permet de donner une relation sur le nombre de pales utilisées. Il permet notamment de représenter le blocage moyen de la turbine dans l’écoulement, en caractérisant la proportion de l’aire des pales par rapport à l’aire balayée par ces dernières. Ce dernier est défini comme suit :

18 𝜎 =2𝑁𝑐

𝐷 , (1.7)

où (𝑁) est le nombre de pales et (𝑐) la corde d’une pale. Dans ce mémoire, une seule pale a été considérée (𝑁 = 1) alors que des configurations à trois pales sont habituellement rencontrées. Ce choix est fait afin de simplifier le problème ainsi que le temps de résolution. Cependant, il est tout de même attendu que les cas présentés représentent le comportement de la turbine munie de plusieurs bras possédant la même solidité. Ce constant a notamment été rapporté par Gosselin, et al. (2016) sur des turbines équipées d’un et trois bras possédant la même solidité.

Ces paramètres sans dimension sont les paramètres utilisés dans la littérature des turbines à axe vertical. Dans le présent mémoire, deux paramètres sans dimensions de plus doivent être utilisés pour tenir compte de la flexibilité des pales. Ces derniers utilisent la même approche que celle présentée par Olivier (2014). Le premier paramètre représente le ratio des forces de pression sur les forces inertielles. Ce dernier permet donc de déterminer si les forces dominantes qui produisent la déformation de la pale sont induites par l’inertie de la pale ou bien par les forces de pression du fluide. L’approximation des forces inertielle est définie comme étant :

𝐹𝐼 = 𝜌⏟𝑠𝑒𝑐 𝑚

∙ 𝜔_⏟2_𝑅 𝑎

, _(1.8)

où (𝜌_𝑠) est la densité du solide et (𝑒) l’épaisseur du profil. L’approximation des forces de pression est quant à elle définie selon la théorie des plaques minces (Abbott & Doenhoff, 1959) comme étant :

𝐹𝑃=

1

2𝜌𝑓(𝜔𝑅)

2_{𝑐 𝐶}

𝐿 , (1.9)

où 𝐶_𝐿≈ 2𝜋𝛼 ≈ 2 si 𝛼 est considéré comme étant évalué à 20°. Ce qui représente un angle d’attaque effectif typique vu par la pale dans son cycle. Ainsi, réutilisant les deux dernières équations, le ratio des forces de pression sur les forces inertielle se définit comme étant :

Σ =𝜌𝑓𝑅 𝜌𝑠𝑒

(1.10)

Ce paramètre sera défini comme le paramètre d’interaction. Ainsi, une interaction fluide-structure forte sera caractérisée par Σ ≫ 1 alors qu’une interaction fluide-structure faible sera plutôt caractérisée par Σ ≪ 1.

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Enfin, le dernier paramètre sans dimension utilisé permet de quantifier la magnitude de la déformation de la pale. Ce dernier est analogue à la normalisation d’une solution élémentaire de poutre chargée et se définit comme :

𝛿∗=𝜌𝑓(𝜔𝑅)

2_𝑐3

𝐸𝐼′ , (1.11)

où 𝐼′ _{est l’inertie de section linéique se définissant comme 𝐼}′₌ 𝑒

12. Le paramètre 𝐸 est le module de Young

de la section solide flexible.

En pratique, comme la composition interne de la pale est sujette à de grandes variations en raison des différentes techniques de fabrication des pales une rigidité uniforme a donc été considérée. La rigidité de l’aile est donc applicable à une pale possédant une rigidité composée d’un produit constant entre l’inertie de section et un module de Young (𝐼′_{𝐸 = 𝑐𝑡𝑒). La nomenclature associée à cette flexibilité est illustrée sur}

la Figure 15:

Figure 15: Illustration des paramètres décrivant la flexibilité de l'aile.

Bien que deux configurations de flexibilité aient été analysées, une seule a retourné des résultats intéressants permettant de figurer dans le présent mémoire. La configuration présentée est celle avec un bord de fuite flexible soit la zone en gris pâle sur la Figure 15. Également, la position du point d’attache (𝑥𝑃) va demeurer constante tout au long de ce mémoire comme étant située au tiers de corde, soit

𝑥𝑝

𝑐 = 1 3,

dans le but de se comparer à des études de référence menées sur la même turbine en 2D et 3D (Boudreau & Dumas (2017) et Villeneuve, et al. (2020)). La modélisation 3D n’utilisant pas une inertie de section constante, mais une inertie de section qui est fonction de l’épaisseur du profil devrait fournir des résultats légèrement différents de ceux obtenus avec la pale 2D. Également, l’envergure de la pale considérée en 3D est la même que celle de l’étude de Villeneuve et al. (2020) soit : b/c = 7.5.

La résolution du problème fluide-structure a été réalisée en utilisant la mécanique des fluides numérique. Cette dernière est par la suite jumelée de manière bidirectionnelle à une résolution numérique de la dynamique de déformation des solides via l’utilisation de la méthode des éléments finis. Cette approche consiste donc à étudier la dynamique du fluide autour des corps, via la résolution des équations de Navier-

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Stokes en même temps que de prendre en compte sa rétroaction avec le corps solide. La section suivante 1.2 donne davantage d’information sur cette méthode de résolution numérique employée. De plus, les dimensions des domaines ainsi que les conditions aux limites utilisées avec cette approche de calcul sont schématisées à la Figure 16 et Figure 17. Pour assurer la rotation de la pale autant en 2D qu’en 3D, une zone de maillage en rotation a été utilisée. Une interface non conforme est utilisée pour assurer le raccord des deux zones de maillage employées. Le maillage n’a donc pas besoin d’être conforme c’est-à-dire que les nœuds du maillage en rotation et du domaine ne sont pas obligés de correspondre le long de cette interface.

Figure 16: Schéma de la définition du domaine de calcul en 2D.

Le domaine considéré pour l’étude 3D est illustré à la Figure 17. Ce dernier utilise toutefois un plan de symétrie passant en son centre de manière à diviser le domaine en deux sections symétriquement égales pour ainsi diminuer le temps de calcul d’un facteur 2.

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Figure 17: Schéma de la définition du domaine de calcul en 3D.

Le coefficient de blocage des domaines 2D et 3D définit comme étant :

𝜀 = (𝐴𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑒

𝐴𝐷𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒) × 100, (1.12)

est le même que ceux des simulations des références (Boudreau & Dumas (2017) et Villeneuve, et al. (2020)), soit 1.3% en 2D et de 0.17% en 3D.

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