Modélisation : principes

ˆ 0 B_nH_tdθ, (2.3.31) avec

L la longueur active de la machine,

r le rayon au niveau de l’entrefer.

Le couple électromagnétique s’exprime alors par la relation 2.3.32

C_em = rFt. (2.3.32)

2.3.3.5 Modélisation : principes

L’objectif recherché des modèles est de déterminer les cartographies de pertes ou de rendements des machines électriques, données d’entrée des calculs énergétiques véhicule. La Figure 2.3.6 en donne une représentation dans le plan (Couple, Vitesse). On identifie dans la littérature trois principales méthodes de modélisation des ma-chines électriques, les méthodes dites analytiques, les méthodes semi-numériques et les méthodes numériques par éléments finis. Les méthodes analytiques sont basées sur la résolution formelle des équations de Maxwell pour calculer les champs ma-gnétiques dans l’entrefer. Leur mise en œuvre pour obtenir une bonne précision des résultats est délicate, et reste tributaire des nombreuses hypothèses simplificatrices généralement prises en considération. Aussi cette méthode reste plutôt réservée à un pré-dimensionnement de structure. Même si elles présentent un intérêt du fait des temps d’exécution, on ne retiendra dans ce projet de recherche que les méthodes semi-numériques et numériques.

0 500 1000 1500 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 .5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0^.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0^.7 5 0.75 0.75 0.7 0.7₅ 0.75 0.75 0.85 0.85 0^.8 5 0.85 0.85 0.85 0.9 0.9 0.9 0.930.93_0.9 0.9 0 .5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 .6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0 .7₅ 0.75 0.75 0.7 0.⁷⁵ 0.75 0.75 0.85 0.8⁵ 0 .8₅ 0.85 0.85 0.85 0.9 0.9 0.9 0.93 ^0.9 0.9 0.93 Vitesse [rad/s] C o u p le [ N m ]

Figure 2.3.6 – Exemple de cartographie de rendement d’une machine synchrone à aimants permanents

La méthode des éléments finis

Elle permet la résolution numérique des équations aux dérivées partielles de Max-well. Elles établissent que l’intensité du champ magnétique (H) et la densité de flux (B) doivent respecter les deux équations aux dérivées partielles suivantes, où J re-présente une densité de courant. Soit dans l’hypothèse d’un calcul magnétostatique,

∇ ∧ H = J, (2.3.33)

et

∇· B = 0, (2.3.34)

où B et H sont liés entre eux par la relation

B = µH. (2.3.35)

µreprésente la perméabilité du matériau qui dans le cas d’un matériau non linéaire (saturation de l’aimantation) est une fonction de H.

Le code de calcul FEMM [38] utilisé permet de calculer le champ qui satisfait les relations 2.3.33 et 2.3.35 en déterminant un potentiel vecteur A tout en satisfaisant la relation 2.3.34, tel que

B = ∇ ∧ A. (2.3.36)

La relation 2.3.33 peut donc être réécrite en fonction du potentiel vecteur sous la forme :

∇ ∧ 1

µ(B)^{∇ ∧ A}

!

2.3 Les composants des chaînes de traction hybride

L’intérêt de cette réécriture basée sur le potentiel vecteur est de pouvoir, au travers d’une seule équation, intégrer les 3 conditions 2.3.33, 2.3.34 et 2.3.35. Connaissant les propriétés du matériau et la densité de courant J, le potentiel vecteur A peut être calculé en tout point de la structure et pour chaque position angulaire du rotor.

B et H sont alors déterminés en dérivant A. Le couple électromagnétique est calculé en appliquant les relations 2.3.31 et 2.3.32 basées sur le tenseur de Maxwell.

La méthode par éléments finis est réputée pour être très précise en prenant en compte la géométrie de la machine. Mais elle requiert, avec un bon raffinement de maillage, des temps de calcul très importants souvent prohibitifs dans une phase de pré-dimensionnement de machine électrique. Aussi, cette méthode sera généralement utilisée pour affiner la conception d’une machine ou pour valider les autres méthodes.

Les méthodes semi-numériques :

Elles sont associées à la résolution de systèmes électromécaniques en se basant sur des réseaux de perméances ou de réluctances. Elles consistent à discrétiser le circuit magnétique de la machine électrique en éléments appelés tubes d’induction (ou réluctances) et à calculer à chaque instant et pour chaque réluctance le flux magnétique qui les traverse. Ces méthodes permettent d’intégrer la non linéarité des circuits magnétiques avec des temps de calcul relativement courts, et une précision d’environ 10% sur la performance des actionneurs électromécaniques. De ce fait, elles présentent un fort intérêt pour identifier par des approches d’optimisation des voies de progrès en conception, raison de leur mise en œuvre dans bon nombre de travaux de recherche tels que [39], [40], [41], [42], [37], ...

Pour introduire la notion de réluctance, on se propose de se placer dans l’hypothèse d’un milieu linéaire filiforme tel qu’illustré sur la Figure suivante :





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Figure 2.3.7 – Exemple de circuit magnétique filiforme intégrant une bobine d’ex-citation

Le champ d’excitation H est déterminé en appliquant le théorème d’Ampère, soit la force magnétomotrice Fmm telle que

F_mm = ˛

avec l, représentant la longueur du circuit magnétique, N le nombre de spires du bobinage parcouru par un courant I.

Le flux Φ1 produit par le champ d’excitation H s’exprime en fonction de l’induc-tion magnétique B par la relal’induc-tion

Φ= ¨

BdS = BS, (2.3.39)

où S représente la section du circuit ferromagnétique.

Dans l’hypothèse de linéarité magnétique du matériau formant le circuit ferroma-gnétique, comme énoncé précédemment le champ d’excitation H est relié au champ d’induction magnétique par l’expression

B = µH, (2.3.40)

µ, représente la perméabilité du matériau composant le circuit magnétique et s’ex-prime en fonction du produit de la perméabilité magnétique du vide µ0 et d’un coefficient sans dimension correspondant à la perméabilité relative du matériau µr, soit

µ= µrµ₀. (2.3.41)

La combinaison des relations 2.3.38, 2.3.39 et 2.3.40 conduit à la loi d’Hopkinson, soit :

F_mm = Hl = ^Bl

µ = ^l

µS^Φ= <Φ, (2.3.42)

On appelle < la réluctance du circuit magnétique, inversement proportionnel à la perméance P , soit

<= ^l

µS = ¹

P^. (2.3.43)

Connaissant les caractéristiques géométriques du circuit, les propriétés magné-tiques du matériau, le nombre de spires et le courant qui les parcours, on peut en déduire facilement les valeurs de B et de H.

Dans le cas d’un circuit magnétique saturé, les conditions de linéarité ne sont plus respectées. Il faut alors tenir compte de la dépendance des reluctances ou des perméances par rapport au flux. Les grandeurs l et S sont figées par la géométrie du système étudié, par contre µ varie en fonction de la saturation magnétique du matériau. La loi reliant B et H n’est plus linéaire et la force magnétomotrice devient dépendante du flux Φ, soit

F_mm(Φ) = H (B) l = H^Φ S  l= < (Φ) Φ, (2.3.44) donc <(Φ) = ^l Φ^H Φ S  . (2.3.45)

1. Au paragraphe 2.3.3.2, on a présenté le flux total ψ, que l’on doit différencier du flux Φ dans la section du circuit magnétique (dit aussi flux de branche). Le flux total ψ représente le flux capté par l’ensemble des spires N du bobinage tel que ψ = N Φ.

2.3 Les composants des chaînes de traction hybride

Dans le cas d’une machine électrique, il est nécessaire de construire un réseau de réluctances. Chaque partie de la machine pour laquelle on estime qu’il existe une forte probabilité de passage de flux sera matérialisée par une ou plusieurs réluctances. On identifiera ainsi des zones contenant des matériaux ferromagnétiques, des zones avec des risques de fuites de flux et l’entrefer où le couple électromagnétique est créé. Intuition et retour d’expérience du concepteur seront des éléments clefs pour garantir une bonne représentativité du réseau de réluctances à la structure de la machine.

Dans ce cas complexe, le calcul des flux et des reluctances se base sur une résolution matricielle des équations de Kirchhoff par analogie au domaine électrique. La non linéarité du circuit magnétique nécessite la mise en place d’algorithmes de résolution de systèmes implicites. La méthode la plus couramment utilisée est celle de Newton Raphson.

Le calcul des flux traversant les réluctances situées dans l’entrefer permet de déter-miner la valeur de l’induction B et de l’excitation H, données d’entrée pour estimer le couple électromagnétique défini par les équations 2.3.31 et 2.3.32. De même la valeur de l’induction dans l’ensemble des réluctances des parties ferromagnétiques est utilisée pour effectuer le calcul les pertes fer dans le système.