Modélisation

Les mouvements de terre générés par le problème de transport optimal de masse servent de données d'entrées au problème de planication. L'ensemble M représente l'ensemble des mouvements de terre m à planier. La réalisation totale d'un mouvement de terre peut varier de quelques jours à plusieurs mois, en fonction du volume de matériaux à déplacer. Une des dicultés majeures du problème réside dans le fait que les matériaux constituant les ouvrages en déblais et en remblais doivent être déplacés et mis en ÷uvre dans un ordre qui ne correspond pas toujours à l'ordre d'extraction (la couche inférieure rocheuse d'un déblai, c'est-à-dire la dernière extraite, peut être utilisée en fond de remblai, soit la première mise en ÷uvre).

Planier les mouvements de terre d'un chantier consiste à générer des tâches notées t ∈ T . On note m(t) ∈ M le mouvement de terre associé à la tâche t qui consiste à déplacer le matériau d'une couche d'un ouvrage vers une autre en utilisant la capacité de travail d'un des échelons e(t) ∈ echelons(m(t)) ⊆ E autorisés pour ce mouvement. Un échelon est constitué d'un engin de production et de plusieurs moyens de transport (par exemple, une pelle reliée à 5 camions). L'association d'un échelon e(t) à un mouvement de terre m(t) dénit la cadence d'une tâche t, notée C (t), qui s'exprime en volume déplacé par heure. Chaque mouvement de terre m peut être réalisé par plusieurs tâches qui doivent toutes être dénies dans les intervalles de réalisation TW (m). Ces fenêtres de temps sont plutôt larges (plusieurs semaines) et permettent d'exprimer des contraintes de disponibilités suivant les zones géographiques du chantier. En eet, la construction de certains ouvrages (voie d'accès,

32 Chapitre 3. Optimisation de mouvements de terre sur des chantiers linéaires

ponts, ...) peut bloquer certains mouvements de terre pendant une période plus ou moins grande.

Pour chaque mouvement de terre m ∈ M , on connaît la liste des échelons echelons(m) en mesure de le réaliser. Par exemple, des échelons sont plus adaptés à travailler la roche, d'autres sont uniquement utilisés pour déplacer de la terre meuble. Chacun des échelons

e est disponible suivant un calendrier dénissant des heures de travail journalier, qu'on

matérialise par des fenêtres de temps AVTW (e). Cette liste d'intervalles temporels est dé- nie par une date de début (inclue) et une date de n (exclue), comme indiqué sur la Figure 3.5. En fonction des conditions météorologiques ou des contraintes de disponibilités des ressources, certaines plages horaires sont indisponibles. Des contraintes physiques addi- tionnelles, comme par exemple la nalisation d'un ouvrage d'art, génèrent des délais partiels et donc des contraintes additionnelles de disponibilités. Chaque tâche t est dénie par une date de début debut(t), une date de n fin(t), avec debut(t) < fin(t). On note As(t )(resp.

Ad(t )), l'abscisse de la source (resp. de la destination) du mouvement associé.

AVTW(e)

SD1 ED1 SD2 ED2

T W1 T W2

Les dates de début de chaque intervalle sont incluses et les dates de n sont exclues. Figure 3.5  Les fenêtres de disponibilité.

Enn, debut(m) et fin(m) dénissent respectivement le début et la n d'un mouvement de terre m, c'est-à-dire le minimum des debut(t) et le maximum des fin(t) de toutes les tâches

t ∈ T (m) satisfaisant le mouvement de terre m. On note une précédence p(m1; m2) ∈ P lorsqu'un mouvement de terre m1 doit avoir lieu avant un mouvement de terre m2. Si la réalisation d'un mouvement de terre entre deux points facilite un autre mouvement de terre plus grand passant par cette zone géographique, il sera planié avant. Sur le schéma 3.6, le mouvement de terre m2 contribuera à la réalisation du mouvement de terre m1 et une précédence stricte est donc posée : p(m2, m1). Cependant, si les mouvements de terre sont croisés, on ne peut pas imposer de conditions car on ne peut pas déduire quel mouvement sera plus intéressant.

Le Modèle 3.2 propose une formalisation de ce problème de planication. L'équation (E6) indique que pour chaque mouvement de terre, la quantité transportée par ses tâches doit être égale à la quantité attendue. Comme précisé en (E7), chaque tâche ne peut être réalisée

3.3 Planication des mouvements 33 s2 d1 r1 d2 r2 s1

Figure 3.6  Mouvement de terre inclus dans un autre.

que pendant les fenêtres de temps autorisées pour ce mouvement de terre, tandis que la contrainte (E8) garantit que les fenêtres de disponibilités des ressources sont respectées. Les équations (E9) et (E10) dénissent les variables debut(m) et fin(m) pour chaque mouvement de terre m. La contrainte (E11) permet d'assurer que les tâches ne se chevauchent pas. Les contraintes sur les précédences sont spéciées en (E12) : tous les mouvements de terre des couches du même ouvrage ayant un ordre plus grand que la couche en cours doivent être faits après ceux de cette couche. Le graphe de précédences est enrichi avec des contraintes de précédences supplémentaires visant à modéliser les contraintes d'aplanissement de la route ainsi que des contraintes additionnelles xées par les opérationnels.

                                                 ∑ t ∈ T ( fin(t ) − debut(t) ) . C (t) = ∑ m ∈ M Q ( m(t ) ) (E6) ∀ t ∈ T , t ⊆ TW (m(t)) (E7)

∀ t ∈ T , t ⊆ AVTW (e(t)) (E8)

∀ m ∈ M , debut(s) = min t ∈ T (s) debut (t ) (E9) ∀ m ∈ M , fin(s) = max t ∈ T (s) fin(t ) (E10) ∀ e ∈ E, ∀ t1, t2 ∈ T (e), ( fin(t1) < debut (t2) ) ∨

( debut (t1) > fin(t2) ) (E11)

∀ p(m(t1), m(t2)) ∈ P, fin(t1) ≤ debut(t2) (E12)

(3.2)

Les contraintes entre couches génèrent un graphe de précédences entre les mouvements de terre. Le graphique 3.7 illustre un ensemble de précédences entre mouvements de terre sous la forme d'un treillis, que nous obtenons par analyse des précédences entre couches. Chaque n÷ud du graphe représente un des mouvements de terre potentiellement réalisable par la ressource et chaque arc orienté, une relation de précédence entre les deux mouvements

34 Chapitre 3. Optimisation de mouvements de terre sur des chantiers linéaires

de terre.

Figure 3.7  Graphes de précédences d'une ressource

Nous cherchons ici à optimiser l'utilisation des ressources. Pour cela, on tente de minimi- ser le nombre total de ressources ouvertes, notée nbResources c'est-à-dire le nombre total de ressource réalisant au moins une activité sur le chantier. On dénit aussi la distance cumulée

totalDistance parcourue par la ressource entre les sources de chacun de ses mouvements.

totalDistance = ∑ e ∈ E ∑ t ∈ T (e) / t (e,m) ̸= t0(e, m)

| As(t (e, m)) − As(precT (t (e, m))) | + As(t0(e, m))

(3.3) La notation precT (t(e, m)) représente la tâche précédant t(e, m) dans l'ensemble

T (e) et t0(e, m) est la tâche avec debut(t(e, m)) la plus petite de T (m). Enn, on note

coutTemporel le coût temporel, c'est-à-dire la somme pour toutes les ressources du nombre

d'heures passées sur le chantier entre la date d'arrivée et la date de départ multipliée par le coût horaire c(e) de l'échelon e.

coutTemporel = ∑

e ∈ E

3.3 Planication des mouvements 35

Premiere()et Derniere() représentent respectivement les premières et dernières tâches de

l'ensemble de tâches T (e) de l'échelon e. Ces trois composantes du coût total des ressources sont combinées en utilisant des coecients linéaires. L'objectif global s'écrit donc :

min (α . nbResources + β . totalDistance + γ . totalDuration ) (3.5)

L'optimisation de plannings de mouvements de terre est donc un problème en variables mixtes. Les aspects combinatoires concernent ici l'aectation des mouvements aux machines de terrassements (en respectant leur planning de disponibilités) et les aspects continus sont relatifs aux quantités de terre déplacées et au placement de l'activité dans le planning de la ressource. Ce modèle étant décrit en détails, nous présentons dans la section suivante la complexité du problème et l'état de l'art sur ce sujet.